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8.6 空间直线、平面的垂直
【学习要求】
1.掌握异面直线的判定与夹角的计算；
2.能运用线面垂直的判定定理和性质定理解决相关问题；
3.能运用面面垂直的判定定理和性质定理解决相关问题；
4.掌握线面角、二面角的相关计算问题。
【思维导图】
【知识梳理】
1、两条直线所成的角：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）.
2、异面直线所成角：
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
（2）角的范围：异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.
（3）当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．
3、判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面直线(如图)．
4、求两异面直线所成的角的步骤
1）作角：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
2）证角：证明作出的角就是要求的角，即证明所作角的两边分别与两条异面直线平行
3）计算：求角的值，常利用解三角形得出。
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.
4）结论：若求出的角时锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角。
5、直线与平面垂直的定义
1）文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
2）符号语言：l⊥α
3）有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
它们唯一的公共点P叫做垂足。
4）图形语言：
5）画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
6）点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点到垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做叫做这个点到该平面的距离。
【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
6、直线与平面垂直的判定定理
1）文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
2）符号语言：l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
3）图形语言：
4）作用：证明线面垂直
7、直线与平面垂直的性质定理
1）文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
2）符号语言： a∥b 3）图形语言：
4）作用：①线面垂直 线线平行 ②作平行线
5）推论：（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/
（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.
8、直线和平面所成的角
1）有关概念：
（1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA；（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A
（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO
2）直线与平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角。
3）取值范围：[0°，90°]
9、三心问题结论
设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影
（1）若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB的中点．
（2）若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．
（3）若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．
10、平面与平面垂直
1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2）符号语言：α⊥β. 3）图形语言：
11、平面与平面垂直的判定定理
1）文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
2）符号语言：l⊥α，l β α⊥β 3）图形语言：
12、平面与平面垂直的性质定理
1）文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
2）符号语言： a⊥β 3）图形语言：
4）作用：①面面垂直 线面垂直 ②作面的垂线
13、垂直问题转化关系如下所示：
14、二面角的概念
1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
2）相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
3）画法：
4）记法：二面角α l β或α AB β或P l Q或P AB Q. 5）取值范围：[0°，180°]
6）二面角的平面角：若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α l β的平面角是∠AOB．
【高频考点】
高频考点1. 异面直线的辨别与计算
【方法点拨】求两异面直线所成的角的步骤
1）作角：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
2）证角：证明作出的角就是要求的角，即证明所作角的两边分别与两条异面直线平行
3）计算：求角的值，常利用解三角形得出。
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.
4）结论：若求出的角时锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角。
1.（2022.山东高一期中）如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论：
①直线与是相交直线；②直线与是平行直线；
③直线与是异面直线；④直线与是异面直线．其中正确的结论的序号为________．
【答案】③④
【解析】因为四边不共面，所以直线与是异面直线，所以①错误的；
同理，直线与也是异面直线，直线与是异面直线，
直线与是异面直线，所以②是错误的；③是正确的，④是正确的，故填③④．
2.（2022.江苏高一期中）在正方体ABCD A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，
与直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条．故选C.
3．（2022春·四川雅安·高一统考期末）已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图所示，取的中点，连接，因为点为的中点，可得，
所以异面直线与所成角即为直线与所成角，设，
在正中，由，可得，
在直角中，可得，在直角中，可得，
在中，由余弦定理可得.故选：A.
4．（2022秋·北京昌平·高二校考期末）如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________．
【答案】
【详解】如图，连接，，，因为，，，分别为，，，的中点，
所以∥，∥，为异面直线与所成角或其补角，
因为为正方体，所以三角形为正三角形，所以.故答案为：.
高频考点2 . 线面垂直的辨别
【方法点拨】线面垂直的判定：l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
1．（2022·浙江高一课时练习）在正方体中，与垂直的直线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】连结, 则为直线与所成角,
在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直，选项D不正确.
为直线与所成角,在直角三角形中，为锐角，所以与不垂直
由，所以与不垂直，故选项A,B不正确.
在正方体中,， 平面，且平面,所以
由,所以平面’ 平面,所以 故选: C.
2．（2022秋·河北保定·高三校考阶段练习）若空间中四条两两不同的直线，，，，满足，，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C．与既不垂直也不平行 D．与的位置关系不确定
【答案】D
【详解】
构造如图所示的正方体ABCD A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C. 故选:D.
3．（2022秋·吉林长春·高二校考阶段练习）如果直线l，m与平面，，满足：，，和，那么必有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，且，，A正确，D错误.直线和平面没有确定关系. 故选：A．
4．（2022秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】C
【详解】若垂直于内任意直线，显然有，故充分性成立；
若，则垂直于平面内任意直线，故必要性成立，
故“垂直于内任意直线”是“”的充要条件.故选：.
5.下列说法正确的有________(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．
【答案】②
【解析】因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确．
由线面垂直的定义可得，故②正确．
因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．
如图，l与α不垂直，但a α，l⊥a，故④不正确．
高频考点3 . 线面垂直的判定
【方法点拨】利用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直的步骤：(1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论.
【变式3-4】如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心．求证：PH⊥平面ABC．
【解析】H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC．∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC．
又∵BC 平面PBC，∴PA⊥BC．又AH∩PA＝A，∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥PH.
同理AB⊥PH，∴PH⊥平面ABC．
2．（2023·广西·高三专题练习）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
（1）证明：（1）取的中点，连接，，
∵是的中点，∴，，∵和都垂直于平面，∴，
∵，∴，，∴四边形为平行四边形，从而，
∵平面，平面，∴平面．
（2）证明∵垂直于平面，平面，∴，
∵，∴，∵，平面，∴平面，
由（1）可知：，∴平面．
3．（2022·江西宜春·高二校考期末）如图所示的长方体中，底面是边长为2的正方形，O为与的交点，，M是线段的中点.(1)求证：平面； (2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析
【详解】（1）连接，如图，
∵O、M分别是、的中点，是矩形，则，且，
∴四边形是平行四边形，则，
平面，平面，∴平面.
（2）连接，∵正方形的边长为2，，
∴，，，则，故，
又∵平面，平面，∴，
由为正方形可得：，
，平面，∴平面，
又∵平面，∴，
，面，∴平面.
4．（2022秋·北京·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．(1)求证：平面；(2)若点是棱的中点，求证：平面．
【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析
【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是菱形，则，，平面，所以平面.
（2）连接，如图所示：
因为分别为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面.
5．（2022春·上海闵行·高二校考期末）在棱长为2的正方体中．(1)求证：面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）如图，连接，，
平面，平面，所以，且，
所以平面，平面，所以，
同理，，且，平面 所以平面
高频考点4. 探究线面垂直的条件
【方法点拨】
1．（2022春·北京·高一北京市陈经纶中学校考期中）如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：平面PAD；(2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由．
【答案】(1)证明见详解(2)当时，MN⊥平面PCD
（1）取的中点，连接∵分别为的中点，则∥且
又∵M是AB的中点且四边形ABCD为矩形，则∥且
则∥且，即为平行四边形，则∥
平面PAD，平面PAD∴平面PAD
（2）若MN⊥平面PCD，∥，则⊥平面PCD
∴⊥PD，且为的中点∴ 若且为的中点，则⊥PD
∵PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD 四边形ABCD为矩形，则AD⊥CD
，则CD⊥平面PAD 平面PAD，则⊥CD
，则⊥平面PCD ∥，则MN⊥平面PCD
综上所述：当时，MN⊥平面PCD
2．（2022春·河南开封·高一统考期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，
【详解】（1）取中点，连接，因为是的中点，则，
又，则，则四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面；
（2）存在点，使得平面，此时，证明如下：
连接，易得，
又底面，底面，则，
则，，则，，
又，，
由余弦定理得，，则，
，又，，平面，则平面，
故存在点，使得平面，此时.
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是的中点．
(1)证明：平面；(2)点为线段上一点，设，若平面，试确定的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】解：（1）证明：取的中点，记，连接，，，
在中，，分别是，的中点，所以，同理可得，
又因为，，所以平面平面，
又平面，所以平面；
（2）解：因为底面是菱形，所以，
因为，，所以，则，
又因为是的中点，所以，
因为，所以平面，又平面，所以，即
因为，，所以，
则，
则，所以，即
又因为，所以平面，
若平面，则与重合．故．
4．（2022秋·上海·高二期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；(3)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)
【详解】（1）连接，，，四边形为平行四边形，；
分别为中点，，，
平面，平面，平面.
（2）取中点为，，，
，，又，
，，
又，，则，
，平面，平面，此时，
则线段上存在点，为中点，使得平面，此时.
（3）平面，到平面的距离即为点到平面的距离，
由（2）知：当为中点时，平面，则点到平面的距离即为，
又，直线到平面的距离为.
5．（2022秋·广东茂名·高二统考期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．（1）求证：BM//平面PAD．（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在；N为AE的中点．
【详解】（1）证明：取PD的中点E，连接EM，AE，则有且，而且，
∴，.
∴四边形ABME是平行四边形，即BM∥AE．
∵AE 平面PAD，BM 平面PAD，∴BM∥平面PAD．
（2）解：当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD．理由如下：
∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即AB⊥平面PAD，
∵PD 平面PAD，∴AB⊥PD，又PA＝AD，E是PD的中点，即AE⊥PD，而AB∩AE＝A，
∴PD⊥平面ABME．作MN⊥BE，交AE于点N，
∴MN⊥PD，又PD∩BE＝E，∴MN⊥平面PBD．
易知△BME∽△MEN，而，
∴，即，而，∴N为AE的中点．
高频考点5 . 线面垂直的性质定理的运用
【方法点拨】(1)线面垂直的性质定理、基本事实4及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最后还是要先证明线线平行.(2)要证线线垂直，只需证线面垂直，再利用线面垂直的性质即可得到线线垂直.
1．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）如图，在三棱柱中，，且，底面，为中点．(1)求证：；(2)求证：平面
【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析
【详解】（1）底面且平面，，
又且，平面，平面，
又平面，
（2）取的中点，连接，因为分别为的中点可知，，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，
又因为，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面
2．（2023秋·宁夏吴忠·高三校考期末）如图所示，已知平面，，分别是，的中点，．(1)求证：平面；(2)求证：；
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【详解】（1），分别是，的中点，，
平面，且平面，平面；
（2）平面，，分别是，的中点，，
，平面，平面，
平面，.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知空间几何体中，与均为等边三角形，平面平面平面．求证：.
【答案】证明见解析
【详解】证明：取的中点，连接，
因为与均为等边三角形，所以，
又，所以平面，平面，所以.
4．（2023·全国·高三专题练习）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
【答案】证明见解析
【详解】证明：在中，，所以，，
在中，，，，由余弦定理得，
所以，所以，同理可得，在中，，且，
在中，，所以，
因为，，平面，所以平面，
在中，，在中，，则，
因为，平面，所以平面，所以.
5．（2022春·四川南充·高二校考阶段练习）已知空间几何体中，，是全等的正三角形，平面平面，平面平面.(1)若，求证：；(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1)因为、是全等的正三角形，所以，
又因为，所以，故，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面， 又因为平面，所以；
(2)分别取，中点，，连接，，，
因为是等边三角形，所以，，
因为平面平面，平面， 所以平面，
同理平面，且，所以，且，
所以四边形是平行四边形， 所以，又，所以．
高频考点6. 面面垂直的判定
【方法点拨】利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明.
1．（2023·广东·高三专题练习）如图，在四面体中，若，，是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面，且平面平面
D．平面平面，且平面平面
【答案】C
【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.
因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
故选：C
2．（2022秋·四川眉山·高二校考阶段练习）如图所示，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是（ ）
①直线直线 ②直线直线 ③直线平面 ④平面平面
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【详解】取的中点．连，则，
平面平面，平面平面，平面平面，
，假设，因为与交于，平面，
，这与相矛盾，故假设不成立，即直线与直线垂直不成立．
由平面平面，平面平面，平面，且，可得平面，
又平面，所以直线直线，
又平面，所以平面平面，所以①错误，②③④正确.
故选：D．
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．
(1)求证：；(2)求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD，
因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.
（2）因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD.又PD 平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以PD⊥平面PAB.
又PD 平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，直三棱柱中，为中点．
(1)求证：平面；(2)若三棱柱上下底面为正三角形，，，求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
（1）连接，与相交于点F，连接MF，则为的中点，
因为为中点，所以MF是的中位线，所以，
因为平面，平面，所以平面
（2）因为直三棱柱上下底面为正三角形，，，
所以，所以，
所以，即，由三线合一可得：，
又因为平面ABC，平面ABC，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以
因为所以平面，
因为平面，所以平面平面
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面圆的一条直径，且点是弧的中点，点是的中点，，．
(1)求圆锥的表面积；(2)求证：平面平面．
【答案】(1)(2)证明见解析
（1）圆锥的侧面积，
底面积，故表面积.
（2）证明：由圆锥的性质知，平面，
因为平面，所以，
因为是底面圆的一条直径，所以
又是的中点，所以，
又，平面，平面
所以平面，又平面，所以平面平面．
6．（2023秋·江西新余·高三统考期末）如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.
(1)证明： 平面；(2)若四边形是正方形，，求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）易知分别为的中点，是的中位线， ，
平面平面， 平面；
（2）底面 平面，
又平面，且，平面，
又 平面，四边形是正方形，，
平面，平面，
又平面平面平面.
高频考点7 . 探究面面垂直的条件
【方法点拨】
1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，，是上的一动点，当点满足___________时，平面平面.（只要填写一个你认为正确的条件即可）
【答案】（或，等都可）
【详解】解：可填，由为菱形，则，
∵平面，平面，所以，
又，∴平面，又平面，∴，
又，，所以平面MBD，
又因平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
故答案为：.（或，等都可）
2．（2022·山西·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，为棱的中点，，，.在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】存在，
【详解】当点为的中点，即时，平面平面.
证明如下：设的中点为，连接，，
因为，分别为，的中点，所以且，
又为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，故，
因为，M为棱的中点，故,又因为平面ABC,平面ABC,
故，由平面，
所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面.
3．（2022·高一课时练习）如图，在四棱锥中四边形为平行四边形，，是正三角形，且．
(1)当点M在线段上什么位置时，有平面？
(2)在（1）的条件下，点N在线段上什么位置时，有平面平面？
【答案】(1)当点为线段的中点时，有平面，证明见解析．
(2)点在线段的靠近点的四等分点时，有平面平面
【详解】（1）解：当点为线段的中点时，有平面．下面先证明：平面．
四边形是平行四边形，．
又，即，，
，平面，平面，，
从而平面，平面．．
是正三角形，，，
又，平面，平面，平面．
（2）解：在（1）的条件下，点时，有平面平面，即点在线段的靠近点的四等分点时，有平面平面．
下面给出证明：在（1）的条件下，平面，平面．，又．，平面，平面
平面．因为平面 平面平面．
不妨设，则，．
则，即，解得
．．
点在线段的靠近点的四等分点时，有平面平面．
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为等腰直角三角形，，，F是BC的中点．
(1)在AD上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．(2)为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE与平面SBC所成角的正弦值．
【答案】(1)存在，E为AD的中点 (2)
（1）在线段AD上存在点E满足题意，且E为AD的中点．
如图，取AD中点E连接EF，SE，SF，因为四边形ABCD是矩形，所以．又E，F分别是AD，BC的中点，所以，．
因为为等腰直角三角形，，E为AD的中点，所以．
因为，平面，平面，
所以平面．
又平面．所以平面平面．
故AD上存在中点E，使得平面平面．
（2）过点E作于点G，由（1）知平面，又
则平面，平面，
所以，又，所以平面，
所以直线SE与平面SBC所成的角为，
由为等腰直角三角形，，得，．
又，因为为等边三角形，，所以,
在中，， 所以．
则，即直线与平面所成角的正弦值为．
高频考点8. 面面垂直的性质定理的运用
【方法点拨】在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.证明：平面
【答案】证明见解析
【详解】证明：由题设，，又面面，面面，面，
所以面，而面，则，
由得：，又，则平面.
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.求证：.
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为为矩形，所以.
又平面平面，平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面
【答案】证明见解析
【详解】证明：如图，
连接AF，由题意知为等腰三角形，而为的中点，所以．
又因为平面平面，且，平面平面，平面，
所以平面． 而平面，所以．
而，平面，所以平面．
连接，则，， 而，，所以且，
所以是平行四边形，因此，故平面．
4.如图，在三棱锥中，，，平面平面，点，（与，不重合）分别在棱，上，且.
（1）证明：平面. （2）证明：
【解析】（1）在平面内，因为，，所以.
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为平面平面，平面平面，
平面，，所以平面.因为平面，所以.
又，，平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以.
高频考点9. 直线与平面的夹角计算
【方法点拨】求直线与平面所成的角的一般步骤：
(1)作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键.
(2)证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义.
(3)求：一般借助三角形的相关知识求角.
1．（2023·上海·高三专题练习）如图，三棱台中，，，四边形为等腰梯形，，平面平面.
(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：延长AD、BE、CF交于点P，
∵四边形ACFD为等腰梯形，∠ACF＝45°，∴∠APC＝90°，即CP⊥AP，
∵平面ABED⊥平面ACFD，平面平面ACFD＝AP，平面ACFD，
∴CP⊥平面ABED，∵平面ABED，∴CP⊥AB.
（2）由AC＝2AB＝2DF，可知D为PA的中点，
设AB＝DF＝a，则，，由（1）知，CP⊥AB，
∵∠ABC＝90°，即AB⊥BC，，CP、平面PBC，
∴AB⊥平面PBC，∴AB⊥PB，∴，，
过点P作PM⊥BC于点M，∵AB⊥平面PBC，平面PBC，∴AB⊥PM，
又，AB、平面ABC，∴PM⊥平面ABC，∴PM⊥BC，
由（1）知，CP⊥平面ABED，∴CP⊥PB，∴，即，∴，∵D为PA的中点，∴D到平面ABC的距离，
∴直线BD与平面ABC所成角的正弦值为.
2．（2023秋·上海浦东新·高二统考期末）如图，在直角中，，斜边，是中点，现将直角以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥.点为圆锥底面圆周上一点，且.
(1)求圆锥的体积与侧面积；(2)求直线与平面所成的角的正切值.
【答案】(1)， (2)
【详解】（1）由题意可得，所以底面圆面积，圆锥的高，
所以圆锥的体积为. 圆锥侧面展开图的半径为，
弧长为底面圆周长 圆锥的侧面积为.
（2）取中点，连接，如下图所示：
在中，中位线，易知平面 可得平面，
所以即为直线与平面所成的角，
易知，又，所以，
所以.
所以直线与平面所成的角的正切值为.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图在四棱锥中，底面是边长的正方形，侧面底面，且，设，分别为，的中点.
(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析(2)
（1）连接，因为四边形为正方形，且为的中点，所以为的中点，
又因为为的中点，则，平面，平面，平面.
（2）因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，，
又，所以，即.
又，平面，所以平面，
所以即为与平面所成的角，
设，则，，在中，
所以，因为，
所以，即与平面所成的角为.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为
A．40 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，
可得，又的面积为，
可得，即，可得
与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为：，
则该圆锥的侧面积：，故选A．
5．（2022春·山东聊城·高一统考期末）如图，在三棱柱中，点在平面上的射影为的中点，，，，.
（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以平面平面.
因为，，所以.
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面
（2）解：取中点，连接，，则，所以四边形是平行四边形.
因为，，，，平面，
所以平面，又平面所以平面平面.
作于，则平面，
连接，则为直线与平面所成的角.
由，，，知，
又由（1）知平面，所以，，
.则.
由于，所以，所以.
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.
高频考点10. 二面角的相关计算
【方法点拨】求二面角的关键是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
1．（2023·全国·高三专题练习）如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵是圆上一点(不同于，)，是圆的直径，
∴，，，即面，而面，
∴，又面面，，
∴由二面角的定义：为二面角的平面角.故选：C
2．（2023秋·北京西城·高二统考期末）在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】长方体中，，，
，平面,平面,,
又平面平面，为二面角所成的平面角，
，所以二面角的余弦值为.故选：D.
3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，.
(1)求证：；(2)求平面与平面所成的二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由题意可知，，又，所以，
连接，如下图所示：
由，可知，是正三角形，
又点为棱的中点，所以，
平面，平面，，
所以平面，平面所以.
（2）由（1）知，，
根据二面角定义可知，即为所求二面角的平面角或其补角，
在正三角形中，，所以，
因为，，所以，
又，且，所以平面，
而平面，所以，在中，，
所以，于是平面与平面所成的二面角的正弦值为
4．（2023·全国·高三专题练习）如图．正方体中，棱长为1，
(1)求证：AC⊥平面；(2)求二面角的平面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：∵在正方体中，平面ABCD，
又平面ABCD，∴，
∵，，，BD，平面，∴AC⊥平面；
（2）∵，所以，又，而，面BAC，
∴为二面角的平面角．在中，，，
∴，∴．
5．（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）已知矩形，设是边上的点，且，现将沿者直线翻折至，(1)当为何值时，使平面平面；并求此时直线与平面所成角的正切值；(2)设二面角的大小为，求的最大值.
【答案】(1)为，正切值是 (2)
（1）当为时，可以使面面.证明如下：
取中点，则.
在中，
，此时.
又平面平面面面
此时面为在面上的射影是与面所成角
在中，，即直线与平面所成角的正切值是
（2）作，垂足为，且面，则面，
作，垂足为，则，设
则，
，当且仅当时，取到等号，
故的最大值为.
6．（2023·上海·高二专题练习）二面角的大小是60°，在该二面角内有一点到的距离是3，到的距离是5，又动点和，，，则的周长的最小值是（ ）
A． B． C．12 D．14
【答案】D
【详解】解：如图，作出关于两个平面，的对称点、，交平面，分别为，，过点，分别作，垂直直线，连接，
线段与两个平面的交点坐标分别为，，连接，，，，
则的周长，当与重合，与重合时，
由两点之间线段最短可以得出即为周长的最小值，
根据题意可知：到二面角两个面的距离分别为3、5，，，
面角的大小是60°，，，
根据余弦定理有：，
，周长的最小值等于．故选：D．
高频考点11. 体积与距离问题
【方法点拨】结合具体条件，根据点到平面的距离、线面距、面面距的定义，进行转化求解即可.
1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，点在棱上，平面平面.
(1)证明：；(2)若平面，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，平面．
平面，平面，；
（2）解：连接交于点，连接，
因为平面，平面平面，平面，
所以，因为为的中点，则为的中点，
因为，底面为平行四边形，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，因为，，所以，
又，所以，则，所以，
所以，
所以.
2．（2023·上海·高二专题练习）如图，三棱柱中，是底面边长为2的正三棱锥．
（1）求证：；（2）若异面直线与所成的角为，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）取的中点，连，交于，连、，
因为是正三棱锥，所以三角形为正三角形，所以为三角形的中心，
所以平面，所以，
因为，且，所以平面，所以，又，所以.
（2）因为，异面直线与所成的角为，
所以，又是底面边长为2的正三棱锥．所以为正三角形，
所以，连，则，所以，
所以，所以.
3．（2022春·河北石家庄·高一校考期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面，，.
(1)证明：平面PAC；(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【详解】（1）底面为直角梯形，，，故可得，
又，则，易知，
故，则；
又面面，故；
又面，故面.
（2）由（1）知面，又面，故，
又面面，故，则，
又，则；
因为面，故点到面的距离为，也即点到面的距离为；
又，
设点到面的距离为，则由可得：
，则，解得，故点到面的距离为.
4．（2022秋·江西抚州·高二临川一中统考阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，M为ED的中点，如图2. (1)求证：BC⊥平面BDE；(2)求点D到平面BEC的距离.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD，
因为ED⊥DC，AD∩DC＝D，AD，DC 平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，
∵BC 平面ABCD，∴ED⊥BC，
又在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，故，
由余弦定理，所以BC＝，
在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，所以BD2＋BC2＝CD2，故BC⊥BD，
因为ED∩BD＝D，ED，BD 平面BDE，所以BC⊥平面BDE；
（2）解法一：由（1）知BC⊥平面BDE，因为BC 平面BCE，
所以平面BDE⊥平面BCE，过点D作EB的垂线交BE于点G，
∵平面BDE∩平面BCE＝BE，DG平面BDE，则DG⊥平面BEC，
所以点D到平面BEC的距离等于线段DG的长度，
∵ED⊥平面ABCD，BD在平面ABCD内，∴ED⊥BD，
在三角形BDE中，，所以，
所以点D到平面BEC的距离等于.
解法二：由（1）BC⊥平面BDE，BE平面BDE，所以BC⊥BE，
因为DE＝1，，所以BD＝，BC＝，BE＝，
所以，，
设点D到平面BCE的距离为h，根据VD－BCE＝VE－BCD，由（1）可知ED⊥平面ABCD
即，，解得h＝，即点D到平面BCE的距离为
5．（2023·上海·高二专题练习）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设；（1）求的值；（2）求直线到平面的距离.
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）∵，∴就是异面直线与所成的角，即，
又连接，
∵，则，∴为等边三角形，
∵，，∴，∴，∴；
（2）易知平面，此时有直线上的任意一点到平面的距离等于点到平面的距离，设其为，连接，又∵，，∴平面，并且，
∵的面积，并且的面积，
∵，∴，∴，
∴直线到平面的距离为．
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为的正方体中，、分别是与的中点.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面之间的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2).
（1）若为中点，连接，又F是CC1的中点，
所以，，故为平行四边形，
所以，又E是AA1的中点，易知：，所以，
正方体中，而，面，
由面，则面，同理面，
又，面，故平面EB1D1平面FBD；
（2）由（1）知：平面EB1D1与平面FBD之间的距离等于到面的距离，
而，而，，故△中BD的高为，
所以，而，到面的距离，
所以，可得，故平面EB1D1与平面FBD之间的距离为.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022秋·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）如图，正方体中，
①与平行；②与垂直；③与垂直．
以上三个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③ D．①②③
【答案】C
【详解】解：对于①，在正方体中，由图可知与异面，故①不正确．
对于②，因为，不垂直，所以与不垂直，故②不正确．
对于③，在正方体中，平面，又∵平面，∴与垂直.故③正确．故选：C．
2．（2022·福建厦门·校考模拟预测）已知直线l，平面，，如果，，那么l与平面的位置关系是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【详解】如果，，则.故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】A选项，若，则可能异面，所以A选项错误.
B选项，若，则可能，所以B选项错误.
C选项，若，根据面面垂直的判定定理可知，所以C选项正确.
D选项，若，则可能，所以D选项错误.故选：C
4．（2022·安徽合肥·校考二模）如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．
平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，
在△A2BM中，
．故选A．
5．（2022春·天津河西·高一统考期末）如图，圆柱中，是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（ ）
A．平面 B．平面 C．平面 D．平面
【答案】A
【详解】解：依题意平面，平面，所以，
又是底面圆的直径，所以，
，平面，所以平面，故A正确；
对于B：显然与不垂直，则不可能垂直平面，故B错误；
对于C：显然与不垂直，则不可能垂直平面，故C错误；
对于D：显然与不垂直，则不可能垂直平面，故D错误；故选：A
6．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）在三棱柱中，底面，，点是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】取中点，连接，
由题意知：为等边三角形，则为等边三角形，，
平面，平面平面，平面，
又平面，，平面，平面，
不妨设，则，，，
，，
，，
，即截面分棱柱的两部分的体积比为.故选：D.
7．（2022·河南·高二校联考）如图所示，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列说法中不正确的是（ ）
A．平面平面 B． C．平面平面 D．平面
【答案】D
【详解】选项A . 由平面平面，平面平面,
又，且平面，所以平面
由平面，所以平面平面，故A正确.
选项B . 由上有平面，又平面，则，故B正确.
选项C . 由上可知，，且,
所以平面, 又平面,所以平面平面，故C正确.
选项D . 由上有平面，又平面，则
若平面，由平面,则,这与相矛盾，故D不正确.故选：D
8.（2022.河北高一期中）如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P BC A的大小为( )
A．60° B．30° C．45° D．15°
【答案】C
【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，
又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P BC A的平面角．
在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图，三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．直线CC1与直线B1E相交 B．CC1与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1垂直
【答案】ACD
【解析】因为CE∥B1C1且CE＝B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形．CC1与B1E必相交．A正确．
由几何图形可知B错误，C正确．AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，
又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，选项D正确.
10.（2022春·天津河西·高一期末）如图，圆柱OO’中，AA’是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则下列错误的选项是（ ）
A．BC⊥平面A’AC B．BC⊥平面A’AB C．AC⊥平面A’BC D．AC⊥平面A’AB
【解题思路】根据线面垂直的判定定理及定义判断即可；
【解答过程】解：依题意AA⊥平面ABC ，平面ABC ，所以AA⊥BC，
又AB是底面圆的直径，所以BC⊥AC，
，A’A，平面A’AC ，所以BC⊥平面A’AC ，故A正确；
对于B：显然BC与AB不垂直，则BC不可能垂直平面A’AB，故B错误；
对于C：显然AC与A’C不垂直，则AC不可能垂直平面A’BC，故C错误；
对于D：显然AC与AB不垂直，则AC不可能垂直平面A’AB，故D错误；故选：BCD.
11．（2022·海南海口·统考二模）如图所示，正方体的棱长为2，点E，F分别为和的中点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面截正方体的截面面积为3 D．点D到平面的距离为
【答案】AD
【详解】如图所示，设BC的中点为G，连接GE, 和GA，GE与交于点I，连接与交于点H，连接HI．平面截正方体所得的截面即．
因为在正方体中，分别为的中点，
所以，∥，所以四边形为平行四边形，所以，∥，
因为， ∥，所以，∥，
所以四边形为平行四边形，所以∥，
因为平面， 平面，所以平面，故A正确；
在矩形中可看出与HI不垂直，所以与平面不垂直，故B错误；
截面是一个等腰梯形，上底，下底，在矩形中，，所以，
所以，故C错误；
，所以,
因为，所以，
所以,
设点D到平面的距离为，则,，
所以，得，即点D到平面的距离为，所以D正确，故选：AD
12．（2022·山东·高三专题练习）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起，使平面平面.在平面内过点作，为垂足.设，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】BC
【详解】连接，设，.
因为平面平面，，所以平面.
又因为平面，所以.在中，，
在中，，在中，，
设，在中，，
在中，，
所以，即.又因为，所以.故选：BC
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海闵行·统考一模）如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以是______．（只需写出一个正确的条件）
【答案】（只要使得即可）.
【详解】连接，如下图所示：
因为平面，平面，则，
若，，、平面，平面，
平面，.故答案为：（只要使得即可）.
14．（2022·江苏无锡·校考模拟预测）已知四面体的棱都相等，G为的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为__________.
【答案】
【详解】解：设四面体的棱长为，直线交于取的中点，连接，.由题意知为的中点，所以，
所以∠AEF为异面直线与所成的角.由题意知，，则在中， 故答案为：
15．（2022·河南·校联考模拟预测）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，，则的长为___________.
【答案】
【详解】如下图所示：
因为，，所以，，则，所以，为等腰直角三角形，
因为四边形是边长为的正方形，则且，
，平面，，平面，平面，，
因为，，所以， 是等边三角形，故，
因此，.故答案为：.
16．（2022·四川资阳·统考二模）如图，在长方体中，底面为正方形，，分别为，的中点，点是棱上靠近的三等分点，直线与平面所成角为.给出以下4个结论：
①平面； ②；③平面平面； ④，，，四点共面.
其中，所有正确结论的序号为______.
【答案】①②③
【详解】设，连接，则，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，
所以平面，故①正确；连接，因为底面为正方形，
所以，所以，又，，
所以，故②正确；由题可知平面，
所以为直线BE与平面所成角，即，
则，，
所以，又平面，平面，
所以，又平面，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面，故③正确；
延长交的延长线于，连接交于，连接，则B，E，F确定平面，
由，可得，又点是棱上靠近的三等分点，
所以平面，故④错误，所以所有正确结论的序号为①②③.故答案为：①②③.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·河南·校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，，，，点D，E，F分别为线段BC，，的中点，且.
(1)证明：平面平面ABC；(2)若，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）如图，取AC的中点O，连接OD，，
因为，，所以为等边三角形，所以.
又因为，点O，D分别为线段AC，BC的中点，所以，所以，
因为，，平面，所以平面，
∵平面，则，又因为，平面ABC，所以平面ABC，
又因为平面，所以平面平面ABC.
（2）如图，过B作于点G，由（1）得平面平面ABC，
且平面平面，平面，所以平面，
在直角ABC中，，，，所以，由，
又因为点D为线段BC的中点，所以点D到平面的距离h为点B到平面的距离BG的一半，即.因为点E，F分别为线段，的中点，所以，
又因为，所以的面积为，，所以三棱锥的体积为.
18．（2022·西藏昌都·校考一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PD的中点，，，，，.(1)证明：平面ABCD；(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：在矩形中，，，可得，
所以，即，连接，
又点是的中点，，可得，所以，即.
又，所以平面.
（2）因为，所以平面.又，所以平面，
因为平面，所以， 设点到平面的距离为，
又是的中点，所以到平面的距离为
因为，所以，解得，
即点到平面的距离为.
19．（2022秋·北京房山·高二统考期中）如图，矩形中，分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面.
(1)求证：；(2)若，求证：平面平面.
【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.
【详解】（1）证明:由题意知，,故,则,
又平面平面，平面平面,
且平面，所以平面，又平面，所以,
由,平面,
所以平面,平面,所以；
（2）证明:由题意知,即,
由（1）知平面，故平面，平面，所以,
因为，故矩形为正方形，则,
平面,所以平面,
又平面,所以平面平面.
20．（2022秋·山东·高二沂水县第一中学期末）如图，将边长为的正方形沿对角线折起，使得点到点的位置，连接，为的中点.
(1)若平面平面，求点到平面的距离；
(2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）连接，则，
因为平面平面，平面，所以平面，又平面，
所以，又正方形的边长为，所以，，
设点O到平面的距离为，则，所以，
所以，即点O到平面的距离为；
（2）取的中点，连接，
因为，所以，
所以为二面角的平面角，所以，
由题可知，在中，，，
，所以，
所以，所以.
21．（2022·贵州·校联考一模）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面．
(1)求证：平面平面；(2)若二面角的大小为，求点D到的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）在中, ，，∴，
∵平面,平面，∴.
又∵,平面，∴平面，
又，∴平面，又平面，所以平面平面
（2）由（1）知平面，，，
∴为二面角的平面角，∴.
在中, ，所以，，
设点D到的距离,由，有，
即，解得.即点D到的距离为
22．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明详见解析 (2)
【详解】（1）由于，是的中点，所以.
由于，所以，所以，故，
由于，平面，所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）[方法一]：判别几何关系
依题意，，三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，所以，所以，
由于，所以当最短时，三角形的面积最小
过作，垂足为，在中，，解得，
所以，所以
过作，垂足为，则，所以平面，且，所以，
所以.
[方法二]：等体积转换
，， 是边长为2的等边三角形， 连接
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8.6 空间直线、平面的垂直
【学习要求】
1.掌握异面直线的判定与夹角的计算；
2.能运用线面垂直的判定定理和性质定理解决相关问题；
3.能运用面面垂直的判定定理和性质定理解决相关问题；
4.掌握线面角、二面角的相关计算问题。
【思维导图】
【知识梳理】
1、两条直线所成的角：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）.
2、异面直线所成角：
（1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，
我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
（2）角的范围：异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.
（3）当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．
3、判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A α，B∈α，l α，B l AB与l是异面直线(如图)．
4、求两异面直线所成的角的步骤
1）作角：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
2）证角：证明作出的角就是要求的角，即证明所作角的两边分别与两条异面直线平行
3）计算：求角的值，常利用解三角形得出。
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.
4）结论：若求出的角时锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角。
5、直线与平面垂直的定义
1）文字语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
2）符号语言：l⊥α
3）有关概念：直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
它们唯一的公共点P叫做垂足。
4）图形语言：
5）画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
6）点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点到垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做叫做这个点到该平面的距离。
【注意】过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
6、直线与平面垂直的判定定理
1）文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
2）符号语言：l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
3）图形语言：
4）作用：证明线面垂直
7、直线与平面垂直的性质定理
1）文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
2）符号语言： a∥b 3）图形语言：
4）作用：①线面垂直 线线平行 ②作平行线
5）推论：（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.
（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/
（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.
8、直线和平面所成的角
1）有关概念：
（1）斜线：与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA；（2）斜足：斜线和平面的交点，图中点A
（3）射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO
2）直线与平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.（2）规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角。
3）取值范围：[0°，90°]
9、三心问题结论
设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影
（1）若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB的中点．
（2）若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．
（3）若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．
10、平面与平面垂直
1）定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2）符号语言：α⊥β. 3）图形语言：
11、平面与平面垂直的判定定理
1）文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
2）符号语言：l⊥α，l β α⊥β 3）图形语言：
12、平面与平面垂直的性质定理
1）文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
2）符号语言： a⊥β 3）图形语言：
4）作用：①面面垂直 线面垂直 ②作面的垂线
13、垂直问题转化关系如下所示：
14、二面角的概念
1）定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
2）相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
3）画法：
4）记法：二面角α l β或α AB β或P l Q或P AB Q. 5）取值范围：[0°，180°]
6）二面角的平面角：若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α l β的平面角是∠AOB．
【高频考点】
高频考点1. 异面直线的辨别与计算
【方法点拨】求两异面直线所成的角的步骤
1）作角：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
2）证角：证明作出的角就是要求的角，即证明所作角的两边分别与两条异面直线平行
3）计算：求角的值，常利用解三角形得出。
可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°.
4）结论：若求出的角时锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角。
1.（2022.山东高一期中）如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论：
①直线与是相交直线；②直线与是平行直线；
③直线与是异面直线；④直线与是异面直线．其中正确的结论的序号为________．
2.（2022.江苏高一期中）在正方体ABCD A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2022春·四川雅安·高一统考期末）已知正三棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·北京昌平·高二校考期末）如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于_________．
高频考点2 . 线面垂直的辨别
【方法点拨】线面垂直的判定：l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P l⊥α
1．（2022·浙江高一课时练习）在正方体中，与垂直的直线是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河北保定·高三校考阶段练习）若空间中四条两两不同的直线，，，，满足，，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C．与既不垂直也不平行 D．与的位置关系不确定
3．（2022秋·吉林长春·高二校考阶段练习）如果直线l，m与平面，，满足：，，和，那么必有（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
5.下列说法正确的有________(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．
高频考点3 . 线面垂直的判定
【方法点拨】利用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直的步骤：(1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论.
【变式3-4】如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心．求证：PH⊥平面ABC．
2．（2023·广西·高三专题练习）如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面．
3．（2022·江西宜春·高二校考期末）如图所示的长方体中，底面是边长为2的正方形，O为与的交点，，M是线段的中点.(1)求证：平面； (2)求证：平面.
4．（2022秋·北京·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．(1)求证：平面；(2)若点是棱的中点，求证：平面．
5．（2022春·上海闵行·高二校考期末）在棱长为2的正方体中．(1)求证：面；
高频考点4. 探究线面垂直的条件
【方法点拨】
1．（2022春·北京·高一北京市陈经纶中学校考期中）如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：平面PAD；(2)试确定当△PAD中PA与AD满足什么关系时，MN⊥平面PCD？并说明理由．
2．（2022春·河南开封·高一统考期末）如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是的中点．(1)证明：平面；(2)点为线段上一点，设，若平面，试确定的值．
4．（2022秋·上海·高二期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；(3)求到平面的距离．
5．（2022秋·广东茂名·高二统考期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．（1）求证：BM//平面PAD．（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
高频考点5 . 线面垂直的性质定理的运用
【方法点拨】(1)线面垂直的性质定理、基本事实4及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最后还是要先证明线线平行.(2)要证线线垂直，只需证线面垂直，再利用线面垂直的性质即可得到线线垂直.
1．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）如图，在三棱柱中，，且，底面，为中点．(1)求证：；(2)求证：平面
2．（2023秋·宁夏吴忠·高三校考期末）如图所示，已知平面，，分别是，的中点，．(1)求证：平面；(2)求证：；
3．（2023·全国·高三专题练习）已知空间几何体中，与均为等边三角形，平面平面平面．求证：.
4．（2023·全国·高三专题练习）如图（1），在梯形中，且，线段上有一点E，满足，，现将，分别沿，折起，使，，得到如图（2）所示的几何体，求证：
5．（2022春·四川南充·高二校考阶段练习）已知空间几何体中，，是全等的正三角形，平面平面，平面平面.(1)若，求证：；(2)证明：.
高频考点6. 面面垂直的判定
【方法点拨】利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明.
1．（2023·广东·高三专题练习）如图，在四面体中，若，，是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面，且平面平面
D．平面平面，且平面平面
2．（2022秋·四川眉山·高二校考阶段练习）如图所示，四边形中，，，，将沿折起，使平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是（ ）
①直线直线 ②直线直线 ③直线平面 ④平面平面
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．(1)求证：；(2)求证：平面平面.
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，直三棱柱中，为中点．
(1)求证：平面；(2)若三棱柱上下底面为正三角形，，，求证：平面平面．
5．（2023·全国·高三专题练习）如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面圆的一条直径，且点是弧的中点，点是的中点，，．(1)求圆锥的表面积；(2)求证：平面平面．
6．（2023秋·江西新余·高三统考期末）如图，在三棱柱中，底面是中点，与相交于点.(1)证明： 平面；(2)若四边形是正方形，，求证：平面平面.
高频考点7 . 探究面面垂直的条件
【方法点拨】
1．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，，是上的一动点，当点满足___________时，平面平面.（只要填写一个你认为正确的条件即可）
2．（2022·山西·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，为棱的中点，，，.在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.
3．（2022·高一课时练习）如图，在四棱锥中四边形为平行四边形，，是正三角形，且．(1)当点M在线段上什么位置时，有平面？
(2)在（1）的条件下，点N在线段上什么位置时，有平面平面？
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为等腰直角三角形，，，F是BC的中点．
(1)在AD上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．(2)为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE与平面SBC所成角的正弦值．
高频考点8. 面面垂直的性质定理的运用
【方法点拨】在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.证明：平面
2．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.求证：.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面
4.如图，在三棱锥中，，，平面平面，点，（与，不重合）分别在棱，上，且.（1）证明：平面.（2）证明：
高频考点9. 直线与平面的夹角计算
【方法点拨】求直线与平面所成的角的一般步骤：
(1)作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键.
(2)证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义.
(3)求：一般借助三角形的相关知识求角.
1．（2023·上海·高三专题练习）如图，三棱台中，，，四边形为等腰梯形，，平面平面.
(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.
2．（2023秋·上海浦东新·高二统考期末）如图，在直角中，，斜边，是中点，现将直角以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥.点为圆锥底面圆周上一点，且.
(1)求圆锥的体积与侧面积；(2)求直线与平面所成的角的正切值.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图在四棱锥中，底面是边长的正方形，侧面底面，且，设，分别为，的中点.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的大小.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为
A．40 B． C． D．
5．（2022春·山东聊城·高一统考期末）如图，在三棱柱中，点在平面上的射影为的中点，，，，.
（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
高频考点10. 二面角的相关计算
【方法点拨】求二面角的关键是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采取垂线法来作平面角，即过二面角的一个半平面内不在棱上的一点作另一个半平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
1．（2023·全国·高三专题练习）如图.是圆的直径，，，是圆上一点(不同于，)，且，则二面角的平面角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·北京西城·高二统考期末）在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是线段上的一动点，.
(1)求证：；(2)求平面与平面所成的二面角的正弦值.
4．（2023·全国·高三专题练习）如图．正方体中，棱长为1，
(1)求证：AC⊥平面；(2)求二面角的平面角的正弦值．
5．（2022春·湖北武汉·高一校联考期末）已知矩形，设是边上的点，且，现将沿者直线翻折至，(1)当为何值时，使平面平面；并求此时直线与平面所成角的正切值；(2)设二面角的大小为，求的最大值.
6．（2023·上海·高二专题练习）二面角的大小是60°，在该二面角内有一点到的距离是3，到的距离是5，又动点和，，，则的周长的最小值是（ ）
A． B． C．12 D．14
高频考点11. 体积与距离问题
【方法点拨】结合具体条件，根据点到平面的距离、线面距、面面距的定义，进行转化求解即可.
1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，点在棱上，平面平面.
(1)证明：；(2)若平面，求三棱锥的体积.
2．（2023·上海·高二专题练习）如图，三棱柱中，是底面边长为2的正三棱锥．
（1）求证：；（2）若异面直线与所成的角为，求三棱锥的体积．
3．（2022春·河北石家庄·高一校考期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，平面，，.(1)证明：平面PAC；(2)求点到平面的距离.
4．（2022秋·江西抚州·高二临川一中统考阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，M为ED的中点，如图2. (1)求证：BC⊥平面BDE；(2)求点D到平面BEC的距离.
5．（2023·上海·高二专题练习）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设；（1）求的值；（2）求直线到平面的距离.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为的正方体中，、分别是与的中点.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面之间的距离.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022秋·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）如图，正方体中，
①与平行；②与垂直；③与垂直．
以上三个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③ D．①②③
2．（2022·福建厦门·校考模拟预测）已知直线l，平面，，如果，，那么l与平面的位置关系是（ ）
A． B． C．或 D．
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2022·安徽合肥·校考二模）如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为(　　)
A． B． C． D．
5．（2022春·天津河西·高一统考期末）如图，圆柱中，是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（ ）
A．平面 B．平面 C．平面 D．平面
6．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）在三棱柱中，底面，，点是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南·高二校联考）如图所示，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列说法中不正确的是（ ）
A．平面平面 B． C．平面平面 D．平面
8.（2022.河北高一期中）如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P BC A的大小为( )
A．60° B．30° C．45° D．15°
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.如图，三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．直线CC1与直线B1E相交 B．CC1与AE共面 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1垂直
10.（2022春·天津河西·高一期末）如图，圆柱OO’中，AA’是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则下列错误的选项是（ ）
A．BC⊥平面A’AC B．BC⊥平面A’AB C．AC⊥平面A’BC D．AC⊥平面A’AB
11．（2022·海南海口·统考二模）如图所示，正方体的棱长为2，点E，F分别为和的中点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面截正方体的截面面积为3 D．点D到平面的距离为
12．（2022·山东·高三专题练习）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起，使平面平面.在平面内过点作，为垂足.设，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．1
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海闵行·统考一模）如图，对于直四棱柱，要使，则在四边形中，满足的条件可以是______．（只需写出一个正确的条件）
14．（2022·江苏无锡·校考模拟预测）已知四面体的棱都相等，G为的重心，则异面直线AG与CD所成角的余弦值为__________.
15．（2022·河南·校联考模拟预测）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，，则的长为___________.
16．（2022·四川资阳·统考二模）如图，在长方体中，底面为正方形，，分别为，的中点，点是棱上靠近的三等分点，直线与平面所成角为.给出以下4个结论：
①平面； ②；③平面平面； ④，，，四点共面.
其中，所有正确结论的序号为______.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·河南·校联考模拟预测）如图，在三棱柱中，，，，点D，E，F分别为线段BC，，的中点，且.
(1)证明：平面平面ABC；(2)若，求三棱锥的体积.
18．（2022·西藏昌都·校考一模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，M是PD的中点，，，，，.(1)证明：平面ABCD；(2)求点到平面的距离.
19．（2022秋·北京房山·高二统考期中）如图，矩形中，分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面.
(1)求证：；(2)若，求证：平面平面.
20．（2022秋·山东·高二沂水县第一中学期末）如图，将边长为的正方形沿对角线折起，使得点到点的位置，连接，为的中点.(1)若平面平面，求点到平面的距离；(2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度.
21．（2022·贵州·校联考一模）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面．(1)求证：平面平面；(2)若二面角的大小为，求点D到的距离．
22．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
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