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排列组合问题综合应用
一、特殊元素优先法
例. 由可以组成多少个没有重复数字五位奇数？
分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。末位和首位有特殊要求。先排末位，从三个数中任选一个共有种组合；然后排首位，从和剩余的两个奇数中任选一个共有种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数种任选三个共有种排列。
由分步计数原理得。
变式. 种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
分析：先种两种不同的葵花在不受限制得四个花盒中共有种排列，再种其他葵花有种排列。由分步计数原理得。
二、相邻问题捆绑法
例. 人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？
分析：将甲乙两个元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个符合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理得。
变式. 某人射击枪，命中枪，枪命中恰好有枪连在一起的情形的不同种数为多少？
分析：命中得三枪捆绑成一枪，与命中得另一枪插入未命中四枪形成得五个空位，共有种排列。
三、相离问题插空法
例. 一个晚会节目有个舞蹈，个相声，个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？
分析：相离问题即不相邻问题，分两步。
第一步排个相声和个独唱共有种排列，
第二步将个舞蹈插入第一步排好后形成的个空位中（包含首尾两个空位）共有种排列，由分步计数原理得.
变式. 某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为多少？
分析：将个新节目插入原定个节目排好后形成的个空位中（包含首尾两个空位）共有种排列。
四、定序问题倍缩法
例. 人排队，其中甲、乙、丙人顺序一定，共有多少种不同的排法？
分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。
对于某几个元素顺序一定得排列问题，可先把这几个元素与其他他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。
共有不同的排法种数为：。
（空位法）设想有把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有种坐法；甲、乙、丙坐其余的三个位置，共有种坐法。总共有种排法。
（插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有种选法；余下四个空座位让其余四人就坐，共有种坐法。共有种排法。
变式. 人身高各不相等，排成前后排，每排人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的排法？
分析：人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。若排成一排，则只有一种排法；现排成前后两排，因此共有种排法。
五、平均分组用除法
例. 本不同的书平均分成堆，每堆本，有多少种不同的分法？
分析：分三步取书有种分法，但存在重复计数。记本书为，若第一步取，第二步取，第三步取，该分法记为，则在中还有、、、、共种分法。即种分法。
注意：平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，分组后一定要除以（为均分的组数），避免重复计数。
变式. 将个球队分成组，一组个队，其他两组个队，有多少种不同的分法？
分析：第一步取个队为一组，有种分法；第二步取个队为一组有种分法；第三步取最后个队为一组有种分法。但第二步第三步存在重复计数，要除以，共有种分法。
变式. 名学生分成组，其中一组人。另两组人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法？
分析：①总的分组方法：
第一步取人为一组，共有种分法；余下个人平均分成两组，每组个人，共有种分法，但存在重复计数，需除以.
②正、副班长同分在人一组：
第一步在个人中取人，加上正、副组长共人为一组，有种分法；余下个人平均分成两组，每组个人，共有种分法，但存在重复计数，需除以.
③正、副班长同分在人一组：
第一步在在个人中取人，有种分法；第二步在余下的人中取人，有种取法；第三步余下人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。总共有种分法。
①—②—③得：总共有种分法。
变式. 某校高二年级共有个班级，现从外地转入名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排名，则不同的安排种数为多少？
分析：将转入的名学生平均分成两组，每组名学生，共有种分法，但存在重复计数，需除以。然后将分成的两组分配到个班级，有种分法。共有种分法。
六、相同元素隔板法
例. 有个运动员名额，分给个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
分析：每班分配个名额，只有种分法；将剩下的个名额分配给个班。取块相同的隔板，连同个相同的名额排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。
变式. 个相同的球装入个盒中，每盒至少一球，有多少种装法？
分析：每盒先装入个球，只有种装法；将剩下的个球装入个盒中。取块相同的隔板，连同个相同的球排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。
变式. ，求这个方程的自然数解的组数.
分析：取块相同隔板，连同个相同的排成一排，共个位置。由隔板法知，在个位置中任取个位置排上隔板，有种排法。
七、正难问题总体反向淘汰法
例. 从十个数字中取出三个，使其和为不小于的偶数，不同的取法有多少种？
分析：直接求和不小于的偶数很困难，可用总体淘汰法。十个数字中有个偶数个奇数，所取的三个数字含有个偶数的取法有种，只含有个偶数的取法有种，和为偶数的取法共有种。
淘汰和小于的偶数共种：，符合条件的取法共有种。
变式. 一个班有名同学，从中任抽人，正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有多少种？
分析：全班抽取人有种抽法，未抽到正、副班长、团支部书记的抽法有种；正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有种。
八、重排问题求幂法
例. 把名实习生分配到个车间实习，共有多少种不同的分法？
分析：把第一名实习生分配到车间有种分法，把第二名实习生分配到车间有种分法，依此类推，由分步计数原理共由种不同的分法。
变式 某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单，那么不同插法的种数为多少？
分析：完成此事共分两步：把第一个新节目插入原定个节目排后形成的六个空位中，共有种插法；把第二个新节目插入前面个节目形成的七个空位中，有种插法。由分步计数原理共由种不同的插法。
变式 某层大楼一楼电梯上来名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的下法有多少种？
分析：第一名乘客下电梯有种下法，第二名乘客下电梯也有种下法，依此类推，由分步计数原理共由种不同的下法。
九、圆（环）排问题直排法
①环形排列问题：如果在圆周上个不同的位置编上不同的号码，那么从个不同的元素中选取个元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从从个不同的元素中选取个元素排在圆周上，位置没有编号，元素间相对的位置关系没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列问题.
②环形排列数：一个个元素的环形排列，相当于一个有个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个个元素的环形排列对应着个直线排列.
设从个不同元素中取出个元素组成的环形排列数为个，则对应的直线排列数为个.
又因为从个不同元素中取出个元素排成一排的排列数为个，所以，即.
③环形排列数公式：
㈠从个不同元素中取出个元素组成环形排列数为.
㈡个元素的环形排列数为
例. 人围桌而坐，共有多少种坐法？
分析：围桌而坐与坐成一排的不同点在于坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线（如图所示），其余人共有种坐法。
变式. 颗不同颜色的钻石，可穿成几种钻石圈？
分析：可穿成种不同的钻石圈。
多排问题单排法
例. 人排成前后两排，每排人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有多少种排法？
分析：人排成前后两排，相当于人坐把椅子，可以把椅子排成一排。先排前个位置上个特殊元素甲、乙共有种排法；再排后个位置上个特殊元素丙有种；其余的人在个位置上任意排列有种。共有种不同的排法。排好后，按照前人为前排，后人为后排分成两排即可。
变式. 有两排座位，前排个座位，后排个座位。现安排人就坐，规定前排中间的个座位不能坐，并且这人不左右相邻，有多少种不同的坐法？
分析：①前后两排共个座位。
②前排中间第号个座位甲、乙二人不能坐。
③甲、乙二人不能左右相邻。
前排第号和后排第号个座位，甲、乙中任一人就坐，有种坐法，与之相邻座位只能排除一个，另一人有种坐法，共有种坐法；而其它个座位，甲、乙中任一人就坐，有种坐法，与之相邻座位要排除两个，另一人有种坐法，共有种坐法。总共有种不同的坐法。
排列组合混合问题先选后排法
例. 有个不同的小球，装入个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？
分析：第一步从个球中选出组成复合元素，有种方法；第二步把个元素（包含一个复合元素）装入个不同的盒内，有种方法。由分步计数原理得。
变式. 一个班有名战士，其中正、副班长各人。现从中选人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正、副班长有且只有人参加，则不同的选法有多少种？
分析：①正、副班长选一人，有种选法；②名战士选三人，有种选法；
③给选出的人分配四种不同的任务，有种分配法。由分步计数原理得。
含约束条件问题合理分类与分步法
例. 在一次演唱会上共名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要演出一个人唱歌人伴舞的节目，有多少种选派方法？
分析：名演员中有人只会唱歌，人只会跳舞，人为全能演员。
以选上唱歌人员为标准分三类，每一类中再分步：
①只会唱歌的人中没有人选上唱歌人员，有种；
②只会唱歌的人中只有人选上唱歌人员，有种；
③只会唱歌的人中有人选上唱歌人员，有种。
由分类计数原理得，共有种选派方法。
注意：解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按时间发生的连续过程分步。做大分类标准明确，贯穿解题过程始终；每一类中分步层次清楚，不重不漏。
本题还有如下分类标准：以全能演员是否选上唱歌人员为标准；全能演员是否选上跳舞人员为标准；以只会跳舞的人是否选上跳舞人员为标准。
变式 从名男生和名女生中选出人参加某个座谈会，若这人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有多少种？
分析：以选上女生为标准分三类，每一类中再分步：
①选上女生人，有种；②选上女生人，有种；③选上女生人，有种。由分类计数原理得，共有种选派方法，本题还可以选上男生为标准分三类。
变式 名成人和名小孩乘船游玩，号船最多乘人，号船最多乘人，号船只能乘人，他们任选只船或只船，但小孩不能单独乘一只船，这人共有多少种乘船方法？
分析：分两大类。
第一大类为选只船，则只能选号船和号船。以号船乘成人为标准，又可分为两小类：每一小类乘成人人，有种；每二小类乘成人人，有种。
第二大类为选只船。以号船乘成人为标准，又可分为三小类：每一小类均有种。由分类计数原理得，共有种乘船方法。特殊元素优先法
例. 由可以组成多少个没有重复数字五位奇数？
变式. 种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
相邻问题捆绑法
例. 人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？
变式. 某人射击枪，命中枪，枪命中恰好有枪连在一起的情形的不同种数为多少？
相离问题插空法
例. 一个晚会节目有个舞蹈，个相声，个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？
变式. 某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为多少？
定序问题倍缩法
例. 人排队，其中甲、乙、丙人顺序一定，共有多少种不同的排法？
变式. 人身高各不相等，排成前后排，每排人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的排法？
平均分组用除法
例. 本不同的书平均分成堆，每堆本，有多少种不同的分法？
变式. 将个球队分成组，一组个队，其他两组个队，有多少种不同的分法？
变式. 名学生分成组，其中一组人。另两组人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法？
变式. 某校高二年级共有个班级，现从外地转入名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排名，则不同的安排种数为多少？
相同元素隔板法
例. 有个运动员名额，分给个班，每班至少一个，有多少种分配方案？
变式. 个相同的球装入个盒中，每盒至少一球，有多少种装法？
变式. ，求这个方程的自然数解的组数.
七、正难问题总体反向淘汰法
例. 从十个数字中取出三个，使其和为不小于的偶数，不同的取法有多少种？
变式. 一个班有名同学，从中任抽人，正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有多少种？
八、重排问题求幂法
例. 把名实习生分配到个车间实习，共有多少种不同的分法？
变式 某班新年联欢会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单，那么不同插法的种数为多少？
变式 某层大楼一楼电梯上来名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的下法有多少种？
九、圆（环）排问题直排法
①环形排列问题：如果在圆周上个不同的位置编上不同的号码，那么从个不同的元素中选取个元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从从个不同的元素中选取个元素排在圆周上，位置没有编号，元素间相对的位置关系没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列问题.
②环形排列数：一个个元素的环形排列，相当于一个有个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个个元素的环形排列对应着个直线排列.
设从个不同元素中取出个元素组成的环形排列数为个，则对应的直线排列数为个.
又因为从个不同元素中取出个元素排成一排的排列数为个，所以，即.
③环形排列数公式：
㈠从个不同元素中取出个元素组成环形排列数为.
㈡个元素的环形排列数为
例. 人围桌而坐，共有多少种坐法？
变式. 颗不同颜色的钻石，可穿成几种钻石圈？
多排问题单排法
例. 人排成前后两排，每排人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有多少种排法？
变式. 有两排座位，前排个座位，后排个座位。现安排人就坐，规定前排中间的个座位不能坐，并且这人不左右相邻，有多少种不同的坐法？
排列组合混合问题先选后排法
例. 有个不同的小球，装入个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？
变式. 一个班有名战士，其中正、副班长各人。现从中选人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正、副班长有且只有人参加，则不同的选法有多少种？
含约束条件问题合理分类与分步法
例. 在一次演唱会上共名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要演出一个人唱歌人伴舞的节目，有多少种选派方法？
变式 从名男生和名女生中选出人参加某个座谈会，若这人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有多少种？
变式 名成人和名小孩乘船游玩，号船最多乘人，号船最多乘人，号船只能乘人，他们任选只船或只船，但小孩不能单独乘一只船，这人共有多少种乘船方法？

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