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祖暅原理
与柱体、锥体、球的体积
祖暅简介
祖暅(5世纪-6世纪)，字景烁，
我国南北朝时期伟大科学家，祖冲之之子.
“祖暅原理”被西方称为“卡瓦列里”原理，要比其他国家早一千多年.在欧洲直到17世纪，意大利数学家卡瓦列里才发现“祖暅原理”的结论.
成就:
祖暅修补编辑了祖冲之的《缀术》,十分巧妙的推导了球的体积公式.
l1
问题1：平面内，相距h的平行线l1与l2内，有底边长为a，高为h的矩形和平行四边形,见下图,它们的面积相等吗
S矩形= S平行四边形 =ah
a
a
h
l2
祖暅原理：幂势既同，则积不容异
祖暅原理
图2
图1
夹在平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.
(“幂”是截面积，“势”是几何体的高.)
1.柱体体积的计算公式
h
V长方体=Sh
由祖暅原理可知：
等底面积S等高h的
任意两个柱体的体积相等.
V柱体=Sh
图3
结论1：
问题2：设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一个平面内,见图3,它们的体积相等吗
2.锥体体积的计算公式
问题3：设底面积都为S、高都等于h的两个锥体,它们的底面在同一个平面内，它们的体积之间有怎样的关系呢？为什么？
图4
分析：当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似.
由祖暅原理可知
等底面积S、等高h的两个锥体，体积相等.
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
C
A1
B1
C1
A
B
A1
C
图5
图5(a)
图5(b)
图5(c)
问题4：三棱柱分割成三个三棱锥,
它们三个的体积相等吗？为什么？
1.观察图5(a)与图5(c):
(1)
(2)高为A1到平面ABC的距离
2.观察图5(b)与图5(c):
(1)
(2)高为点A1平面BCC1B1的距离
2.锥体体积的计算公式
等底面积S等高h的任意两个锥体的体积相等
结论2：
3.球体体积的计算公式
R
R
R
R
给出以下三种几何模型，其高与底面半径均为R
问题5：你能用它们来推导球的体积公式吗？
步骤：
1.拿出圆锥和圆柱
2.将圆锥倒立放入圆柱
注意:
O2
O
O3
A
B
O1
分析:
结论3：
4.小结
知识点总结:
思想总结:
(1) 祖暅原理．
(2) 柱体与锥体的体积公式．
(3) 球的体积公式．
化归思想
①借助“祖暅原理”,所有柱体的体积转化为长方体的体积；
②柱体都可以分为三个等体积的锥体；
③球的体积转化为圆柱体积和圆锥体积的差.
5.探究作业
请各小组利用祖暅原理探究球的体积公式的思想探究椭球的
体积公式，椭球的体积公式如下:
x
y
z
A
B
C
椭球的球心在坐标原点,与x,y,z轴正向的交点分别为
A(0,0,a),B(0,b,0),C(0,0,c),
其中a,b,c分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴.
c
a
b
o
谢谢大家！
中国人民大学附属中学通州校区
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