资源简介

考前11天 立体几何
看看去年考了什么
（下面6个小题中有2个不正确，请在题后用“正确”或“错误”判定，并将错误的改正过来）
1、（2013福建 ）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图1－1所示，且图中的四边形是
边长为2的正方形，则该球的表面积是12π．(　　)
2、（2013广东 ）某四棱台的三视图如图1－2所示，则该四棱台的体积是 (　　)
3、（2013全国卷I）如图1－3所示， 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 cm3　(　　)2-1-c-n-j-y
4、（2013山东 ）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,如图1-4，体积为 ,底面积是边长为 的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为 ( )?　　21*cnjy*com
5、（2013江苏 ）如图1－5，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝1∶25．(　　)21cnjy.com
6、（2013 安徽）如图1－6所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则：①当0再熟悉熟悉这些知识
点、线、面重要定理
（1）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。
（2）异面直线的判定：①反证法；②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。【来源：21cnj*y.co*m】
（3）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。
（4）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。
（5）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面。
2、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）
（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所
成的角。异面直线所成角的范围：；
注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。有的还可以通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。【版权所有：21教育】
（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为； ②线面垂直：线面所成的角为；③斜线与平面所成的角：范围；即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。21教育名师原创作品
（3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；④向量法。
注意：还可以用射影法：；其中为二面角的大小，为内的一个封闭几何图形的面积；为内的一个封闭几何图形在内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。
3、距离的求法：
（2）线线距离：
关于异面直线的距离，常用方法有：
①定义法，关键是确定出的公垂线段；②转化为线面距离，即转化为与过而平行于的平面之间的距离，关键是找出或构造出这个平面；③转化为面面距离；
（3）线面、面面距离：线面间距离、面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化； [来4、
4、常用的结论：
（1）若直线在平面内的射影是直线，直线是平面内经过的斜足的一条直线，与 所成的角为， 与所成的角为, 与所成的角为，则这三个角之间的关系是；【出处：21教育名师】
（2）如何确定点在平面的射影位置：
①Ⅰ、如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这点在平面上的射影在这个角的平分线上；
Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角的两边夹角相等，那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上；
Ⅲ、如果平面外一点到平面上两点的距离相等，则这一点在平面上的射影在以这两点为端点的线段的垂直平分线上。21*cnjy*com
②垂线法：如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直，那么这一点在这平面上的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理)；
③垂面法：如果两平面互相垂直，那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面的交线上(面面垂直的性质定理)；
④整体法：确定点在平面的射影，可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。
（3）在四面体中：
①若，则；且在平面上的射影是的垂心。
②若，则在平面上的射影是的外心。
③若到边的距离相等，则在平面上的射影是的内心。
5、正四面体：
棱长为正四面体的问题可转化为将它补成一个边长为的正方体的问题。
对棱间的距离为（正方体的边长）：
正四面体的高（）；
正四面体的体积为（）；
正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为（）；
外接球的半径为（是正方体的外接球，则半径）；
内切球的半径为（是正四面体中心到四个面的距离，则半径）。
6、球体
（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且，其中为球半径，为
截面半径，为球心的到截面的距离。
（2）面积公式：（为球半径）； （4）体积公式：（为球半径）
读读高考评分细则
例题（2013湖南19）． 如图1－7所示，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.www.21-cn-jy.com
(1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
阅卷现场
规范解答
解：方法一
(1)证明：如图所示，因为BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，而B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D.
(2)因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ)．
如图所示，联结A1D，因为棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1，从而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形，于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.
由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ.
在直角梯形ABCD中，因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB，从而Rt△ABC∽Rt△DAB，故＝，即AB＝＝.
联结AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝.
在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，即cos(90°－θ)＝，从而sin θ＝.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
方法二
(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直，如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)．
从而＝(－t，3，－3)，＝(t，1，0)，＝(－t，3，0)．
因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．于是＝(－，3，－3)，＝(，1，0)．
因为·＝－3＋3＋0＝0，
所以⊥，即AC⊥B1D.
(2)由(1)知，1＝(0，3，3)，＝(，1，0)，＝(0，1，0)．
设＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则，即令x＝1，则＝(1，－，)．设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则sinθ＝|cos〈，〉|＝＝＝.
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.
失分原因与防范措施
失分原因：1、找不到线面所成的角；2、空间向量法不熟练，写不出法向量。
防范措施：1、加深加固线面概念、性质定理、常用方法的应用；2、熟练掌握建立空间直角坐标系的技巧，正确求出平面的法向量。
答案
3、正确 [解析] 设球的半径为R，则球的截面圆的半径是4，且球心到该截面的距离是R－2，故R2＝(R－2)2＋42?R＝5，所以V＝πR3＝(cm3)．21世纪教育网版权所有
4、正确【解析】取正三角形ABC的中心，连结,则是PA与平面ABC所成的角。因为底面边长为，所以,.三棱柱的体积为,解得，即,所以，即.21教育网
6、正确　[解析] 对于①②，如图(1)所示，因为正方体ABCD－A1B1C1D1，的棱长为1，当CQ＝时，PQ＝，这时过A，P，Q三点的截面与正方体表面交于D1，AP＝D1Q＝，且PQ∥AD1，截面S为等腰梯形，2·1·c·n·j·y
当CQ<时，过A，P，Q三点的截面与正方体表面的交点在棱DD1上，截面S为四边形，故①②正确．对于③④，如图(2)所示，联结QR并延长交DD1的延长线于N点，联结AN交A1D1于M，【来源：21·世纪·教育·网】
取AD中点G，作GH∥PQ交DD1于H点，可得GH∥AN，且GH＝AN，设CQ＝t，则DN＝2t，ND1＝2t－1，＝＝，21·世纪*教育网
当t＝时，＝，可得C1R＝，故③正确，
当当t＝1时，Q与C重合，M为A1D1的中点，
S为菱形PC1MA，AM＝AP＝PC1＝C1M＝，MP＝，AC1＝，S的面积等于××＝，故④正确．www-2-1-cnjy-com

展开更多......

收起↑