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考前12天 解析几何
看看去年考了什么
（下面6个小题中有2个不正确，请在题后用“正确”或“错误”判定，并将错误的改正过来）
1、（2013 新课标I）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹方程＋＝1(x≠－2)．（ ）
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2、（2013 全国卷I））已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为＋＝1 (　　)
3、（2013 山东）抛物线C1：y=??x2(p＞0)的焦点与双曲线C2： 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=?，（ ）
4、（2013安徽 ）已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，＋∞)．（ ）
5、（2013 重庆）已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为－1 (　　)
6、（2013江苏 ）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为＋＝1(a>0，b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2＝d1，则椭圆C的离心率为．（ ）
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再熟悉熟悉这些知识
一、直线与圆
1、斜率计算公式：
当时，；当时，；斜率不存在；
2、直线方程一般式注意：（1）直线方程的特殊形式，都可以化为直线方程的一般式，但一般式不一定都能化为特殊形式，这要看系数是否为0才能确定。
（2）此时直线的方向向量：，，
（单位向量）；直线的法向量：；（与直线垂直的向量）
3、两条直线的位置关系
（1）对于平行和重合，即它们的方向向量（法向量）平行；如：；
对于垂直，即它们的方向向量（法向量）垂直；如[来源:Zxxk.Com]
（2）若两直线的斜率都不存在，则两直线平行 ；若一条直线的斜率不存在，另一直线的斜率为 0 ，则两直线垂直。
（3）对于来说，无论直线的斜率存在与否，该式都成立。因此，此公式使用起来更方便．
（4）斜率相等时，两直线平行(重合)；但两直线平行(重合)时，斜率不一定相等，因为斜率有可能不存在。[来源:Z21*cnjy*com
4、两平行线的距离公式：
两平行线，的距离为：；21*cnjy*com
5、直线系：
（1）设直线，，经过的交点的直线方程为（除去）；
如：①，即也就是过与的交点除去 的直线方程。21*cnjy*com
②直线恒过一个定点。
注意：推广到过曲线与的交点的方程为：；
（2）与平行的直线为；
（3）与垂直的直线为；
6、对称问题：21*cnjy*com
（2）轴对称：
①点关于直线对称：21*cnjy*com
Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。
Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，再利用中点坐标公式求解。
如：求点关于直线对称的坐标。
②直线关于直线对称：（设关于对称）21*cnjy*com
Ⅰ、若相交，则任一点到的距离与到的距离相等；若，则，且与的距离相等。
Ⅱ、求出上两个点关于的对称点，在由两点式求出直线的方程。
Ⅲ、设为所求直线直线上的任意一点，则关于的对称点的坐标适合的方程。
如：求直线关于对称的直线的方程。
7、圆的方程．
一般方程的特点：①和的系数相同，且不等于零；②没有这样的二次项；③；
若，则以线段为直径的圆的方程是：；21*cnjy*com
8、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）
设与圆；若到圆心之距为；
（1）在在圆外；
（2）在在圆内；
（3）在在圆上；
9、直线与圆的位置关系：
设直线和圆，圆心到直线之距为，由直线和圆联立方程组消去（或）后，所得一元二次方程的判别式为，则它们的位置关系如下：
相离；相切；相交；
注意：这里用与的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。
10、两圆的位置关系：
（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。
（2）几何法：设圆的半径为，圆的半径为
①两圆外离；②两圆外切；
③两圆相交；④两圆内切；
⑤两圆内含；
11、与圆的切线有关的问题：
（1）若点在圆；则过点点的切线方程为：；
若点在圆；则过点点的切线方程为：
；[来源:学科网]
若点在圆；则过点点的切线方程为：
；21*cnjy*com
（2）斜率为且与圆相切的切线方程为：；
斜率为且与圆 相切的切线方程的求法，可设切线为，然后利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求；[来源:Zxxk.Com]
（3）当点在圆外面时，可设切方程为，利用圆心到直线之距等于半径即，求出即可，或利用，求出，若求得只有一值，则还应该有一条斜率不存在的直线，此时应补上。
（4）当直线和圆相切时，切点的坐标为的方程和圆的方程联立的方程组的解，或过圆心与切线垂直的直线与切线联立的方程组的解。
（5）若点在圆外一点；则过点点的切线的切点弦方程为：；
若点在圆，则过点点的切线的切点弦方程为：； 21*cnjy*com
12、圆的弦长的求法：
（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为，弦心距为，半径为，则有：；
（2）代数法：设的斜率为，与圆交点分别为，则
，（其中的求法是将直线和圆的方程联立消去或，利用韦达定理求解。）
（2）经过直线与圆的交点的圆系方程是#科#网]
；
二、圆锥曲线
1、（1）椭圆定义注意：表示椭圆；表示线段；没有轨迹；
（2）双曲线定义注意：与（）表示双曲线的一支；表示两条射线；没有轨迹；
（3）双曲线的渐近线：
①求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。
②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；
（4）等轴双曲线为，其离心率为
2、抛物线性质21*cnjy*com
若是过抛物线焦点的弦，是的 中点，是抛物线的准线，，为垂足，，，，为垂足，求证：
（1）； （2）； （3）；
（4）设交抛物线于，则平分；
（5）设，则，；
（6）； （7）三点在一条直线上
（8）过作，交轴于，求证：，；
3、轨迹方程的求法：
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程。
如：已知底边的长为8，两底角之和为，求顶点且的轨迹方程。
（2）定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则根据定义直接求出动点的轨迹方程。如：已知圆，定点，若是圆上的动点，的垂直平分线交 于，求的轨迹方程。
（3）几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），
可以用几何法，列出几何式，再代人点的坐标较简单。
如：是的直径，且，为圆上一动点，作，垂足为，在上取点，使，求点的轨迹。
（4）相关点法（代人法）：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着
另一动点（称之为相关点）而运动的；如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，
这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。
如：在双曲线的两条渐近线上分别取点和，使（其中为坐标原点，为双曲线的半焦距），求中点的轨迹。
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程。常与参数法并用。
如：己知两点，以及一直线，设长为的线段在直线上运动，求直线和的交点的轨迹方程。
（6）整体法（设而不求法）：当探求的轨迹较复杂时，可扩大考察视角，将问题中的条件、结论的各种关系看成一个整体，从整体出发运用整体思想，注重整体结构的挖掘和分析。
如：以为圆心的圆与椭圆交于两点，求中点的轨迹方程。
（7）参数法：有时求动点应满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现
（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时
间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，称这个变量为参
数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，
如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可；在选择参数时，选用的参变量要以具有某种物理或几何的性质，如时间、速度、距离、角度，有向线段的数量、直线的斜率，点的横、纵坐标等，也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围的对动点坐标取值范围的影响。
注意：所有的求轨迹的问题都要根据题意，求其中的取值范围。
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4、直线与圆锥曲线的位置关系：21*cnjy*com
（1）会利用方程组解的状况确定直线与圆锥曲线的位置关系；解此类问题一般从直线与圆锥曲线联立的方程组的解的个数来入手。（要注意考虑二次项系数为零，思考此时几何
意义），也通过图形进行讨论。（要注意的是：与对称轴、渐近线平行的情况）
如：试确定实数的不同取值，讨论直线与双曲线的公共
点的个数。
（2）会求直线被圆锥曲线所截的弦长，弦的中点坐标：解决此类问题时，由于直线和圆锥曲线相交，故其方程组的（尤其含有待定的系数是否则会增解）；涉及到中点坐标，要注意韦达定理的应用，而韦达定理的前提条件是。
如：设抛物线经过两点和，对称轴与轴平行，开口向右，直线 被抛物线截得的线段长是，求抛物线方程。
（3）当直线与圆锥曲线相交时，求在某些给定条件下地直线线方程；解此类问题，一般是根据条件求解，但要注意条件的应用。
如：已知抛物线方程为在轴上截距为2的直线与抛物线交于两点，且以为径的圆过原点，求直线的方程。
（4）圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解此类题的方法：圆锥曲线上的两点所在直线与已知直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，得到关系式而求解。
如：抛物线上有关于对称的相异两点，求的取值范围。
读读高考评分细则
例题 （2013安徽18）． 设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．
(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．
阅卷现场
规范解答
解：(1)因为焦距为1，所以2a2－1＝，
解得a2＝. 故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设P(x0，y0)，F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝.
由题设知x0≠c，
则直线F1P的斜率kF1P＝，
直线F2P的斜率kF2P＝，
故直线F2P的方程为y＝(x－c)．
令x＝0时，y＝，
即点Q的坐标为（0，）.
因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝.
由于F1P⊥F1Q，
所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.
化简得y＝x－(2a2－1)．①
将①代入椭圆E的方程，
由于点P(x0，y0)在第一象限，
解得x0＝a2，y0＝1－a2，
即点P在定直线x＋y＝1上．
失分原因与防范措施
失分原因：1、计算能力差，得不出P坐标的关系；2、没仔细审题，忽视点P了在第一象限；3、不能与椭圆方程联立求解点P坐标的参数方程。
防范措施：1、提高运算能力；2、认真审题，看清题目要求。
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答案
1、正确 　[解析] 由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M, N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
2、错误　[解析] 由题意知kAB＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则?＋＝0.由AB的中点是(1，－1)知， ∴＝＝，联立a2－b2＝9，解得a2＝18，b2＝9，故椭圆E的方程为＋＝1. 21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com
所以，即.
4、正确　[解析] 方法一：设直线y＝a与y轴交于M点，若抛物线y＝x2上存在C点使得∠ACB＝90°，只要以|AB|为直径的圆与抛物线y＝x2有除A、B外的交点即可，即使|AM|≤|MO|，所以≤a，所以a≥1或a≤0，因为由题意知a>0，所以a≥1.
方法二：设C(m，m2)，由已知可令A(，a)，B(－，a)，则＝(m－，m2－a)，＝(m＋，m2－a)，因为⊥，所以m2－a＋m4－2am2＋a2＝0，可得(m2－a)(m2＋1－a)＝0，解得m2＝a>0且m2＝a－1≥0，故a∈[1，＋∞)．21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com
6、正确 [解析] 由题意知F(c，0)，l：x＝，不妨设B(0，b)，则直线BF：＋＝1，即bx＋cy－bc＝0. 于是d1＝＝，d2＝－c＝＝. 由d2＝d1，得＝6，化简得6c4＋a2c2－a4＝0，即6e4＋e2－1＝0，解得e2＝或e2＝－(舍去)，故e＝，故椭圆C的离心率为.21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com21*cnjy*com

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