资源简介

2023年浙教版数学七年级下学期高分速效复习4 二元一次方程组（进阶版）
一、单选题
1．（2023七下·义乌月考）下列方程：①x＋y＝1；②；③x2＋y2＝1；④5（x＋y）＝7（x－y）；⑤x2＝1；⑥，其中是二元一次方程的是（　　）
A．① B．①②④ C．①③ D．①②④⑥
2．（2022·建华模拟）在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组方案有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
3．（2017八上·上城期中）已知关于 ， 的方程组 ，其中 ，给出下列结论：① 是方程的解；②当 时， ， 的值互为相反数；③当 时，方程组的解也是方程 的解；④若 ，则 ．其中正确的是（　　）．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
4．（2022七下·牡丹江期中）已知方程组是 关于x，y的二元一次方程组，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2022七下·西湖月考）若方程组 ，的解为 ，则方程组 的解（　　）
A． B． C． D．
6．（2020八上·历下期末）我们规定： 表示不超过 的最大整数，例如： ， ， ，则关于 和 的二元一次方程组 的解为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023七下·义乌月考）已知关于x，y的方程组，下列结论中正确的有几个（　　）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝－2；②当a＝1时，方程组的解也是方程x＋y＝4＋2a的解；③无论a取什么实数，x＋2y的值始终不变；④若用x表示y，则；
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023七下·杭州月考）已知关于x，y的二元一次方程组，有下列说法：①当a＝2时，方程的两根互为相反数；②不存在自然数a，使得x，y均为正整数；③x，y满足关系式x－5y＝6；④当且仅当a＝－5时，解得x为y的2倍．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．①②④
9．（2022七下·廉江期末）已知有若干片相同的拼图，其形状如图1所示．当4片拼图紧密拼成一列时，总长度为23cm，如图2所示；当10片拼图紧密拼成一列时，总长度为56cm，如图3所示，则图1中的拼图长度为（　　）
A．5.5cm B．5.6cm C．5.75cm D．6.5cm
10．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c对应密文a+1，-a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（　　）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
二、填空题
11．（2022七下·绥江期中）若关于x、y的方程仅有一组正整数解，则满足条件的正整数a的值为　 　．
12．（2022七下·通州期中）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：
①当时，x，y的值互为相反数；
②是方程组的解；
③无论a取何值，x，y恒有关系式；
④若，则．
其中正确结论的序号是 　 　．（把所有正确结论的序号都填上）
13．（2019七下·台州月考）已知关于x，y的方程组 的解为 ，则关于x，y的方程组 的解为　 　.
14．（2023八上·渠县期末）已知是方程组的解，则代数式 的值为　 　.
15．（2022·丰台模拟）某超市现有n个人在收银台排队等候结账．设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度也是固定的．若同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；若同时开放3个收银台，需要12分钟可使排队等候人数为0．为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，则需要至少同时开放　 　个收银台．
16．（2022七下·重庆市月考）重庆一中趣味数学社团在社团活动日举办了知识竞答挑战赛.比赛共设置有A、B、C三关，每关设有若干问题，且每关的每个问题分值相同.参赛选手需回答完所有试题，答对得分，答错不扣分.甲、乙、丙三人作答完毕后，结果如下：甲在A、B、C三个关中回答正确的问题数目之比为，在A关的得分占甲总得分的75%；乙在A、B、C三个关中回答正确的问题数目之比为，在B关的得分占乙总得分的；丙在A关回答正确的问题数目是甲、乙在A关回答正确的问题数目之和的一半，丙在B关回答正确的问题数目比乙在B关回答正确的问题数目少，丙与甲在C关回答正确的数目相同，若甲、乙两人的总得分之比为，则乙、丙两人的总得分之比为　 　.
三、计算题
17．（2022八上·西安月考）解方程组
（1）
（2）
（3）
四、解答题
18．（2021七下·肥城期中）甲、乙两班同时从学校出发去距离学校的军营军训，甲班学生步行速度为，乙班学生步行速度为，学校有一辆汽车，该车空车速度为，载人时的速度为，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？
19．（2023七下·义乌月考）【方法体验】已知方程组求4037x＋y的值．小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题．请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程：
【方法迁移】根据上面的体验，填空：
已知方程组则3x＋y－z＝　 　．
【探究升级】已知方程组求－2x＋y＋4z的值．小明凑出
“－2x＋y＋4z＝2 （x＋2y＋3z）＋（－1） （4x＋3y＋2z）＝20－15＝5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设－2x＋y＋4z＝m （x＋2y＋3z）＋n （4x＋3y＋2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数!
根据丁老师的提示，填空：
2x＋5y＋8z＝　 　（x＋2y＋3z）＋　 　（4x＋3y＋2z）
【巩固运用】已知2a－b＋kc＝4，且a＋3b＋2c＝－2，当k为　 　时，8a＋3b－2c为定值，此定值是　 　．（直接写出结果）
五、综合题
20．（2022七下·台江期末）定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点．
（1）若点为方程的精优点，则　 　；（直接写出答案）
（2），为正整数，且点为方程的精优点．求，的值；
（3），，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值．
21．（2022七下·万州期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
22．（2022七下·南浔期末）如图1，已知直线AB∥CD，∠CＭＮ＝60°，射线ＭE从ＭD出发，绕点Ｍ以每秒ａ度的速度按逆时针方向旋转，到达ＭC后立即以相同的速度返回，到达ＭD后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线ＮF从ＮA出发，绕点Ｎ以每秒ｂ度的速度按逆时针方向旋转，到达ＮB后停止运动，此时ＭE也同时停止运动．其中ａ，ｂ满足方程组
（1）求ａ，ｂ的值；
（2）若ＮF先运动30秒，然后ＭE一起运动，设ＭE运动的时间为ｔ，当运动过程中ＭE∥ＮF时，求ｔ的值；
（3）如图2，若ＭE与ＮF同时开始转动，在ＭE第一次到达ＭC之前，ＭE与ＮF交于点Ｐ，过点Ｐ作ＰＱ⊥ＭE于点Ｐ，交直线AB于点Ｑ，则在运动过程中，若设∠ＮＭE的度数为ｍ，请求出∠ＮＰＱ的度数（结果用含ｍ的代数式表示）．
23．（2022七下·长沙期中）规定关于x的一元一次方程ax=b的解为，则称该方程是“郡园方程”，例如：3x=4.5的解为，则该方程3x=4.5就是“郡园方程”.
（1）若关于x的一元一次方程2x=m是“郡园方程”，求m的值；
（2）若关于x的一元一次方程是“郡园方程”，它的解为a，求a，b的值；
（3）若关于x的一元一次方程和都是“郡园方程”，求代数式的值.
24．（2021七下·曾都期末）水是生命之源，“节约用水，人人有责”.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，m3表示立方米）
每户每月用水量（m3） 自来水销售价格（元/m3） 污水处理价格（元/m3）
不超出6m3部分 1.10
超出6m3不超出10m3的部分 1.10
超出10m3的部分 7.00 1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）.
已知2021年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元.
（1）请你根据以上信息，求表中 ， 的值；
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水12.5吨，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小聪家四、五月份共用水20m3，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小聪家四、五月份的用水量各是多少？
25．（2021七下·西区期中）数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B，它们表示的数分别为-3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．
（1）由题意得：点A是点B的“追赶点”，AB=1-(-3)=4(AB表示线段AB的长，以下相同)；类似的，MN=　 　．
（2）在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．
（3）若AM=BN，MN= AM，求m和n值．
26．（2020七下·吴兴期中）某市为了美化亮化某景点，在两条笔直的景观道MN、QP上，分别放置了A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动a度，B灯每秒转动b度，且满足 ，若这两条景观道的道路是平行的，即MN∥QP.
（1）求a、b的值；
（2）若B灯先转动10秒，A灯才开始转动：
当A灯转动5秒时，两灯的光束AM′和BP′到达如图①所示的位置，试问AM′和BP′是否平行？请说明理由；
（3）当B灯光束第一次达到BQ之前，两灯的光束是否能互相垂直，如果能互相垂直，那么此时A灯旋转的时间为　 　秒.（不要求写出解答过程）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：二元一次方程有①x＋y＝1， ② ，④5（x＋y）＝7（x－y），
故答案为：B
【分析】含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，由此可得到已知方程中是二元一次方程的序号.
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：设可分成每小组5人的小组 组，每小组4人的小组 组，
依题意得： ，
．
又 ， 均为自然数，
当x=0，y= 不合题意，舍去；
当x=1，y= 不合题意，舍去；
当x=2，y= 不合题意，舍去；
当x=3，y=7成立；
当x=4，y= 不合题意，舍去；
当x=5， 不合题意，舍去；
当x=6，y= 不合题意，舍去；
当x=7，y=2成立；
当x=8，y= 不合题意，舍去；
故共有2种分组方案．
故答案为：C．
【分析】实质是求二元一次方程的正整数解。
3．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】①解方程组 ，
由②可知 ，代入①中，可得 ，
故方程组的解为 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 不是方程组的解，①错误．
② 时， ， ， ， 互为相反数，②正确；
③ 时， ， ，满足 ，③正确；
④当 时， ，得 ，综合，在 时，且 ．
∴ ，
∴ ，④正确．
故答案为： ．
【分析】把a作为常数，解出方程组的解，根据a的取值范围，进而得出x，y的取值范围，即可判断出①所给的x，y的值没有在其取值范围内，故不符合题意；然后分别将a=-2，与a=1代入方程组的解，即可求出x，y的值，从而判断出②③的正确性；由x≤1及x=1+2a得出a的不等式，求解得出 a ≤ 0 ，综合①的结论，即可即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的定义
【解析】【解答】解： 方程组是 关于x，y的二元一次方程组，
解得：
故答案为：C
【分析】根据二元一次方程的定义可得，再求出m的值即可。
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：方程组的解为，
∴方程组的解为，
∴.
故答案为：B.
【分析】将x-13和y+1看成整体，结合题意可知两个方程组为同解方程组，可得，即可求得的解.
6．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
∵ 表示不超过 的最大整数，
∴ ， 和 均为整数，
∴x为整数，即 ，
∴①－②得： ，
∴ ， ，
将 代入②得： ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据 的意义可得 ， 和 均为整数，两方程相减可求出 ， ，将 代入第二个方程可求出x.
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由①+②得
2x+2y=4+2a，
∴x+y=2+a，
∵ 这个方程组的解x，y的值互为相反数，
∴x+y=0即2+a=0，
解之：a=-2，故①正确；
∵x+y=2+a，
∴当a=1时，x+y=3，
而当a=1时，x+y=4+2×1=6，
∴当a＝1时，方程组的解不是方程x＋y＝4＋2a的解，故②错误；
解之：
∴x+2y=2a+1+2（1-a）=3，
∴无论a取什么实数，x＋2y的值始终不变，故③正确；
由①×3+②得
3x+x+9y-y=12
8y=12-4x，
解之： ，故④正确；
∴正确结论的个数为3个.
故答案为：C
【分析】（1）将列方程相加，可求出x+y的值，再根据互为相反数的两数之和为0，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可对①作出判断；当a=1时，由原方程组，可得到x+y=3，将a=1代入方程x＋y＝4＋2a，可求出x+y的值，可对②作出判断；利用加减消元法求出方程组的解，再求出x+2y的值，根据其值，可对③作出判断；利用加减消元法消去a，可用含y的代数式表示出x，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：当a=2时，方程组为：，
①+②×2得7x=7，
解得x=1，
将x=1代入①得，y=-1，
则x+y=0，
即方程的两根互为相反数 ，故①正确，符合题意；
，
①+②×2得7x=5a-3，
解得，
①×3-②得7y=a-9，
解得，
要使x、y均为正整数，可得5a-3=7，14，21，……；a-9=7，14，21，……；
又因为a为自然数，
∴当a=16时，x=11，y=1，
所以存在自然数a，使得x，y均为正整数，故②错误，不符合题意；
∵，∴ x，y满足关系式x－5y＝6，故③正确，符合题意；
当a=-5时，可得x=-4，y=-2，∴x=2y，故④正确，符合题意.
故答案为：B.
【分析】当a=2时，方程组变形求解可得x、y的值，即可判断①；解关于字母x、y的方程组，用含a的式子分别表示出x、y，观察发现当a=16时，x=11，y=1，据此可判断②；用含a的式子表示出x、y，再代入x-5y进行计算后可判断③；用含a的式子表示出x、y，将a=-5代入求出x、y的值，即可判断④.
9．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设图一中一个拼图中去掉半圆的宽度为xcm，半圆的半径长为ycm，
根据题意列方程组得，
②-①得，
解得，
把代入①得，
所以，
∴x+y=5.5+1=6.5cm．
故答案为：6.5．
【分析】设图一中一个拼图中去掉半圆的宽度为xcm，半圆的半径长为ycm，根据题意列方程组，得出x的值，再代入得出x、y的值，即可得解。
10．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
解得.
故答案为：C.
【分析】 根据加密规则为：明文a，b，c对应密文a+1，-a+2b+4，b+3c+9，结合接收到的密文，建立三元一次方程组求解即可.
11．【答案】5或3
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由2x＋ay＝7可得：ay＝7 2x，
①当x＝1时，7 2x＝5，
∴ay＝5，
∴a＝1，y＝5（舍）或a＝5，y＝1；
②当x＝2时，7 2x＝3，
∴ay＝3，
∴a＝1，y＝3（舍）或a＝3，y＝1，
③当x＝3时，7 2x＝1，
∴ay＝1，
∴a＝1，y＝1（舍），
综上，满足条件的正整数a的值为5或3，
故答案为：5或3．
【分析】采用列举法根据x的所有值代入求出a的所有正整数解即可。
12．【答案】③④
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解方程组，
得，
①当时，
，，
故结论①不符合题意；
②把代入，
得，
解得，
∵，
∴此时不符合题意，故结论②不符合题意；
③由原方程组的解可知，
，故结论③符合题意；
④∵，
∴，即，
由∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论④符合题意．
故答案为：③④．
【分析】解方程组得，①当时，分别求出x、y的值，即可判断；②把代入中求出a值，根据检验即可；③将方程组的解相加，可求出x+y=2，即可判断；④由，即得，可求，由可得，即得，继而得出3≤1-a≤4，由y=1-a可得y的范围，即可判断.
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把 代入 ，
得 ，
把 代入 ，
得 ，
解得： 。
故答案为： 。
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将 代入 ，得 ，然后再整体替换得出方程组 ，然后将方程组中每一个方程的右边去括号后通过观察即可得出方程组的解。
14．【答案】-8
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
，可得，
，，
解得： ，，
∴
故答案为：-8.
【分析】根据方程组解的定义将x=3与y=2代入方程组可得关于a、b的方程组，利用①+②与①-②可得a-b与a+b的值，再整体代入即可求出代数式的值.
15．【答案】6
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每分钟增加结账人数x人，每分钟收银员结账y人，根据题意，得
化简，得
y=2x，n=60x，
∴为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，
设开放a个收银台，则6ay≥6x+n，
即6a·2x≥6x+60x，
12a≥66，
∵x>0，
∴．a≥，
∵a是正整数，
∴．a≥6，
∴需要至少同时开放6个收银台．
故答案为：6．
【分析】设每分钟增加结账人数x人，每分钟收银员结账y人，根据题意列出方程组，再求解即可。
16．【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据题意可设甲在A、B、C三个关中回答正确的问题数目分别是2a个、a个、a个；乙在A、B、C三个关中回答正确的问题数目分别是2b个、5b个、2b个；A、B、C三个关中每一关的分值分别为x分、y分、z分；则甲在A、B、C三个关中每一关的得分分别为2ax，ay，az；乙在A、B、C三个关中每一关的得分分别为2bx，5by，2bz.
∵甲在A关的得分占甲总得分的75%，乙在B关的得分占乙总得分的，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴甲的总得分为（分），乙的总得分为（分）.
∵若甲、乙两人的总得分之比为，
∴，
∴.
∵丙在A关回答正确的问题数目是甲、乙在A关回答正确的问题数目之和的一半，丙在B关回答正确的问题数目比乙在B关回答正确的问题数目少，丙与甲在C关回答正确的数目相同，
∴丙在A关回答正确的问题数目是个，丙在B关回答正确的问题数目是个，丙在C关回答正确的数目是a个，
∴丙在A、B、C三个关中的总得分为（分），
将，，代入，
得：，
即丙在A、B、C三关中的总得分为（分）.
则乙、丙两人的总得分之比为.
故答案为：.
【分析】根据题意可设甲在A、B、C三个关中回答正确的问题数目分别是2a个、a个、a个，乙在A、B、C三个关中回答正确的问题数目分别是2b个、5b个、2b个，A、B、C三个关中每一关的分值分别为x分、y分、z分，则甲在A、B、C三个关中每一关的得分分别为2ax，ay，az，乙在A、B、C三个关中每一关的得分分别为2bx，5by，2bz；由甲在A关的得分占甲总得分的75%，乙在B关的得分占乙总得分的，可得，，从而求出，，
即得甲的总得分为（分），乙的总得分为（分），根据若甲、乙两人的总得分之比为，可得；由丙在A关回答正确的问题数目是甲、乙在A关回答正确的问题数目之和的一半，丙在B关回答正确的问题数目比乙在B关回答正确的问题数目少，丙与甲在C关回答正确的数目相同，可知丙在A关回答正确的问题数目是个，丙在B关回答正确的问题数目是个，丙在C关回答正确的数目是a个，从而得出丙在A、B、C三个关中的总得分为（分），将，，代入可得丙在A、B、C三关中的总得分为（分），然后求出比值即可.
17．【答案】（1）解： ，
得： ，解得： ，
把 代入① ，解得： ，
∴原方程组解为：
（2）解：
原方程组可变为 ，
得： ，解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为：
（3）解： ，
得： ，
得： ，
把 代入 得： ，解得： ，
把 ， 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为：
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法，用①×2+②消去y求出x的值，将x的值代入①求出y的值，从而即可求出方程组的解；
（2）首先将方程组整理成一般形式，然后u利用加减消元法，用①×3+②×2消去y求出x的值，将x的值代入①求出y的值，从而即可求出方程组的解；
（3）用③-①求出y的值，再用①×2+②消去z得出关于x、y的方程，进而将y的值代入即可算出x的值，最后将x、y的值代入①方程求出z的值，从而即可求出方程组的解.
18．【答案】解：设甲班学生从学校乘汽车出发至处下车步行，乘车，空车返回至处，乙班同学于处上车，此时已步行了．
则
解得，．
则至少需要（小时）．
答：他们至少需要6.75小时才能到达．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】 设甲班学生从学校乘汽车出发至处下车步行，乘车 ，空车返回至处，乙班同学于处上车，此时已步行了 ．根据汽车接到乙班同学的时间=乙班同学步行的时间，甲班步行的时间=汽车接乙班返回时间+乙班坐车时间，列出方程组并解之，然后根据时间=路程÷速度即可求解.
19．【答案】3x+y-z=5；；；-2；8
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】【方法迁移】解：
由②-①得
3x+y-z=5.
故答案为：5
【探究升级】设2x+5y+8z=m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）=（m+4n）x+（2m+3n）y=（3m+2n）z，
∴，
解之：
故答案为：，
【巩固运用】设8a+3b-2c=m（2a-b+kc）+n（a＋3b＋2c）=（2m+n）a+（3n-m）b+（km+2n）c
∴
解之：
∴8a+3b-2c=3×4+2×（-2）=12-4=8.
∴当k-2时8a+3b-2c为定值，此定值时8
故答案为：-2，8
【分析】【方法迁移】观察方程组中同一个未知数的系数特点，由②-①，可求出3x+y-z的值.
【探究升级】设2x+5y+8z=m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）=（m+4n）x+（2m+3n）y=（3m+2n）z，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值即可.
【巩固运用】设8a+3b-2c=m（2a-b+kc）+n（a＋3b＋2c）=（2m+n）a+（3n-m）b+（km+2n）c，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n，k的方程组，解方程组求出k，m，n的值，然后求出8a+3b-2c的值即可.
20．【答案】（1）3
（2）解：由题意得：
2（u+v）13+u=uv，
2u+2v13+u=uv，
2u+3v=13，
∵u，v为正整数，
∴或；
（3）解：由题意，得
由①②得：，
∴，
∴④，
把④代入③得：，
∴，
∴；
∴的值为；
【知识点】二元一次方程组的解；三元一次方程组解法及应用
【解析】（2）解：由题意得：
，
，
，
∵u，v为正整数，
∴或；
（3）解：由题意，得
由①②得：，
∴，
∴④，
把④代入③得：，
∴，
∴；
∴的值为；
【解答】（1）解：由题意得：
，
解得：，
故答案为：5；
【分析】（1）由题意把点A的坐标代入方程可求解；
（2）由题意把点B的坐标代入方程2x-y=u-v，根据u，v为正整数可求解；
（3）由题意把点C、D的坐标代入方程2x+3y=1，解方程组可求解.
21．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
（2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求的值．
设①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
当时，
即，解得，
∴，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）把等号左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，可以得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；
（2） 设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元 ，根据“ 购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元 ”列出方程组，再按照小华的解法解答即可.
22．【答案】（1）解：，
由①×2+②得：11a=44，
∴a=4，
把a=4代入①中，得b=1，
∴a=4，b=1.
（2）解：①当0＜t≤45时，
∴∠NME=120-4t，∠MNF=90-t，
当∠NME=∠MNF时，ME∥NF，
∴120-4t=90-t，
解得t=10；
②当45＜t≤90时，
∴∠NME=4t-240，∠MNF=90-t，
当∠NME=∠MNF时，ME∥NF，
∴4t-240=90-t，
解得t=66；
③当90＜t≤135时，
∴∠NME=4t-480，∠MNF=t-90，
当∠NME=∠MNF时，ME∥NF，
∴4t-480=t-90，
解得t=130；
④当135当∠NME=∠MNF时，ME∥NF，
60-（4t-540）=30+t-120，
解得t=138，
综上所述，t的值为10s或66s或130s或138s.
（3）解：如图，过点P作PT∥AB，
∵AB∥CD，
∴PT∥AB∥CD，
∴∠2=∠1=180°-4t，∠3=∠4=t，
∴∠2+∠3=180°-3t，
∵PQ⊥ME，
∴∠2+∠3+∠NPQ=90°，
∴∠NPQ=90°-（∠2+∠3）=3t-90°=3（t-30°），
又∵∠NME=4t-120°=4（t-30°），
∴当∠NME=m时，∠NPQ=m.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据a、b满足二元一次方程组，由①×2+②得：11a=44，解得a的值并带人①中，求得b值，即可求解问题；
（2）分四种情况：①当0＜t≤45时，②当45＜t≤90时，③当90＜t≤135时，④当135（3）如图，过点P作PT∥AB，由平行线传递性得PT∥AB∥CD，从而得∠2=∠1=180°-4t，∠3=∠4=t，进而得到∠2+∠3=180°-3t，再由PQ⊥ME，得∠2+∠3+∠NPQ=90°，从而得∠NPQ=3（t-30°），又∠NME=4t-120°=4（t-30°），当∠NME=m时，等量代换即可得到∠NPQ=m.
23．【答案】（1）解：∵方程2x=m是定解方程，
∴=m-2，
解得：m=4.
∴若关于x的一元一次方程2x=m是定解方程，则m的值为4.
（2）解：∵方程2x=ab+a是定解方程，它的解为a，
∴，
解得：.
∴若关于x的一元一次方程2x=ab+a是定解方程，它的解为a，则a的值为2、b的值为1.
（3）解：∵方程2x=mn+m和-2x=mn+n都是定解方程，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用“郡园方程”的定义可得到关于m的方程，解方程求出m的值；
（2）利用已知：方程2x=ab+a是定解方程，它的解为a，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值；
（3）利用已知条件：方程2x=mn+m和-2x=mn+n都是定解方程，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m+n和m-n的值；然后整体代入求值.
24．【答案】（1）解：由题意得， ，
解得 ；
（2）解： （元）
答：小红家七月份应缴水费64.25元.
（3）解：设小聪家四月份的用水量为x，则五月份的用水量为 .
∵ ，
∴ ，即四月份的用水量低于10m.
①当 时，缴费总量为：
，
解得 不合题意，舍去.
②当 时，缴费总量为：
，
解得 ，此时 ，符合题意.
答：小聪家四月份的用水量为 ，五月份的用水量为 .
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据2021年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元列出方程组，解之即可；
（2）根据阶梯计费价格表和a、b的值进行计算即可；
（3）设小聪家四月份的用水量为x，则五月份的用水量为 ，分两种情况：①当 时，②当 时， 据此分别列出一元一次方程，求解即可.
25．【答案】（1）n﹣m
（2）解：分三种情况讨论：
①M是A、N的中点，
∴n+(-3)=2m，
∴n=2m+3；
②A是M、N点中点时，m+n=-3×2，
∴n=﹣6﹣m；
③N是M、A的中点时，-3+m=2n，
∴n ；
（3）解：∵AM=BN，
∴|m+3|=|n﹣1|．
∵MN AM，
∴n﹣m |m+3|，
∴ 或 或 或 ，
∴ 或 或 或 ．
∵n＞m，
∴ 或 或 ．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由两点间距离直接求解即可；
（2）分三种情况讨论：①M是A、N的中点，n=2m+3；②当A点在M、N点中点时，n=﹣6﹣m；③N是M、A的中点时，；
（3）由已知可得|m+3|=|n﹣1|，n﹣m=|m+3|，分情况求解即可．
26．【答案】（1）解：∵
∴ ，
解得
（2）解：AM′和BP′平行，理由如下
由题意，得∠MAM′＝5×3°＝15°，
∠PBP′＝10°+5×1°＝15°，
连结AB∵MN∥QP，
∴∠MAB＝∠PBA，
∵∠MAM′=∠PBP′
∴∠M’AB＝∠ABP′，
∴AM′∥BP′
（3）50或65或110或140
【知识点】解二元一次方程组；垂线；平行线的判定与性质
【解析】【解答】（3）t的值为50秒或65秒或110秒或140秒.
能，设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷1＝180（秒），
∴t≤180﹣10，即t≤170.
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相垂直：
①180-3t+10+t＝90，解得t＝50；
②3t﹣180+10+t＝90，解得t＝65；
③180-10-t+360-3t＝90，解得t＝110；
④180-10-t+3t-360＝90，解得t＝140；
故答案为：50秒或65秒或110秒或140秒.
【分析】（1）根据已知条件，利用幂的性质求出a，b的值。
（2）利用已知求出∠MAM′和∠PBP′的度数，连结AB，利用平行线的性质，可证得∠MAB＝∠PBA再证明∠M’AB＝∠ABP′，利用平行线的判定可证得结论。
（3）设A灯旋转时间为t秒，可求出B灯光束第一次到达BQ需要的时间，即可求出t≤170。分情况讨论，根据两灯的光束能互相垂直，分别建立关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值即可。
1 / 12023年浙教版数学七年级下学期高分速效复习4 二元一次方程组（进阶版）
一、单选题
1．（2023七下·义乌月考）下列方程：①x＋y＝1；②；③x2＋y2＝1；④5（x＋y）＝7（x－y）；⑤x2＝1；⑥，其中是二元一次方程的是（　　）
A．① B．①②④ C．①③ D．①②④⑥
【答案】B
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：二元一次方程有①x＋y＝1， ② ，④5（x＋y）＝7（x－y），
故答案为：B
【分析】含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，由此可得到已知方程中是二元一次方程的序号.
2．（2022·建华模拟）在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组方案有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：设可分成每小组5人的小组 组，每小组4人的小组 组，
依题意得： ，
．
又 ， 均为自然数，
当x=0，y= 不合题意，舍去；
当x=1，y= 不合题意，舍去；
当x=2，y= 不合题意，舍去；
当x=3，y=7成立；
当x=4，y= 不合题意，舍去；
当x=5， 不合题意，舍去；
当x=6，y= 不合题意，舍去；
当x=7，y=2成立；
当x=8，y= 不合题意，舍去；
故共有2种分组方案．
故答案为：C．
【分析】实质是求二元一次方程的正整数解。
3．（2017八上·上城期中）已知关于 ， 的方程组 ，其中 ，给出下列结论：① 是方程的解；②当 时， ， 的值互为相反数；③当 时，方程组的解也是方程 的解；④若 ，则 ．其中正确的是（　　）．
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】①解方程组 ，
由②可知 ，代入①中，可得 ，
故方程组的解为 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 不是方程组的解，①错误．
② 时， ， ， ， 互为相反数，②正确；
③ 时， ， ，满足 ，③正确；
④当 时， ，得 ，综合，在 时，且 ．
∴ ，
∴ ，④正确．
故答案为： ．
【分析】把a作为常数，解出方程组的解，根据a的取值范围，进而得出x，y的取值范围，即可判断出①所给的x，y的值没有在其取值范围内，故不符合题意；然后分别将a=-2，与a=1代入方程组的解，即可求出x，y的值，从而判断出②③的正确性；由x≤1及x=1+2a得出a的不等式，求解得出 a ≤ 0 ，综合①的结论，即可即可得出答案。
4．（2022七下·牡丹江期中）已知方程组是 关于x，y的二元一次方程组，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的定义
【解析】【解答】解： 方程组是 关于x，y的二元一次方程组，
解得：
故答案为：C
【分析】根据二元一次方程的定义可得，再求出m的值即可。
5．（2022七下·西湖月考）若方程组 ，的解为 ，则方程组 的解（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：方程组的解为，
∴方程组的解为，
∴.
故答案为：B.
【分析】将x-13和y+1看成整体，结合题意可知两个方程组为同解方程组，可得，即可求得的解.
6．（2020八上·历下期末）我们规定： 表示不超过 的最大整数，例如： ， ， ，则关于 和 的二元一次方程组 的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
∵ 表示不超过 的最大整数，
∴ ， 和 均为整数，
∴x为整数，即 ，
∴①－②得： ，
∴ ， ，
将 代入②得： ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据 的意义可得 ， 和 均为整数，两方程相减可求出 ， ，将 代入第二个方程可求出x.
7．（2023七下·义乌月考）已知关于x，y的方程组，下列结论中正确的有几个（　　）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，a＝－2；②当a＝1时，方程组的解也是方程x＋y＝4＋2a的解；③无论a取什么实数，x＋2y的值始终不变；④若用x表示y，则；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由①+②得
2x+2y=4+2a，
∴x+y=2+a，
∵ 这个方程组的解x，y的值互为相反数，
∴x+y=0即2+a=0，
解之：a=-2，故①正确；
∵x+y=2+a，
∴当a=1时，x+y=3，
而当a=1时，x+y=4+2×1=6，
∴当a＝1时，方程组的解不是方程x＋y＝4＋2a的解，故②错误；
解之：
∴x+2y=2a+1+2（1-a）=3，
∴无论a取什么实数，x＋2y的值始终不变，故③正确；
由①×3+②得
3x+x+9y-y=12
8y=12-4x，
解之： ，故④正确；
∴正确结论的个数为3个.
故答案为：C
【分析】（1）将列方程相加，可求出x+y的值，再根据互为相反数的两数之和为0，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可对①作出判断；当a=1时，由原方程组，可得到x+y=3，将a=1代入方程x＋y＝4＋2a，可求出x+y的值，可对②作出判断；利用加减消元法求出方程组的解，再求出x+2y的值，根据其值，可对③作出判断；利用加减消元法消去a，可用含y的代数式表示出x，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
8．（2023七下·杭州月考）已知关于x，y的二元一次方程组，有下列说法：①当a＝2时，方程的两根互为相反数；②不存在自然数a，使得x，y均为正整数；③x，y满足关系式x－5y＝6；④当且仅当a＝－5时，解得x为y的2倍．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．①②④
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：当a=2时，方程组为：，
①+②×2得7x=7，
解得x=1，
将x=1代入①得，y=-1，
则x+y=0，
即方程的两根互为相反数 ，故①正确，符合题意；
，
①+②×2得7x=5a-3，
解得，
①×3-②得7y=a-9，
解得，
要使x、y均为正整数，可得5a-3=7，14，21，……；a-9=7，14，21，……；
又因为a为自然数，
∴当a=16时，x=11，y=1，
所以存在自然数a，使得x，y均为正整数，故②错误，不符合题意；
∵，∴ x，y满足关系式x－5y＝6，故③正确，符合题意；
当a=-5时，可得x=-4，y=-2，∴x=2y，故④正确，符合题意.
故答案为：B.
【分析】当a=2时，方程组变形求解可得x、y的值，即可判断①；解关于字母x、y的方程组，用含a的式子分别表示出x、y，观察发现当a=16时，x=11，y=1，据此可判断②；用含a的式子表示出x、y，再代入x-5y进行计算后可判断③；用含a的式子表示出x、y，将a=-5代入求出x、y的值，即可判断④.
9．（2022七下·廉江期末）已知有若干片相同的拼图，其形状如图1所示．当4片拼图紧密拼成一列时，总长度为23cm，如图2所示；当10片拼图紧密拼成一列时，总长度为56cm，如图3所示，则图1中的拼图长度为（　　）
A．5.5cm B．5.6cm C．5.75cm D．6.5cm
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设图一中一个拼图中去掉半圆的宽度为xcm，半圆的半径长为ycm，
根据题意列方程组得，
②-①得，
解得，
把代入①得，
所以，
∴x+y=5.5+1=6.5cm．
故答案为：6.5．
【分析】设图一中一个拼图中去掉半圆的宽度为xcm，半圆的半径长为ycm，根据题意列方程组，得出x的值，再代入得出x、y的值，即可得解。
10．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c对应密文a+1，-a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（　　）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
解得.
故答案为：C.
【分析】 根据加密规则为：明文a，b，c对应密文a+1，-a+2b+4，b+3c+9，结合接收到的密文，建立三元一次方程组求解即可.
二、填空题
11．（2022七下·绥江期中）若关于x、y的方程仅有一组正整数解，则满足条件的正整数a的值为　 　．
【答案】5或3
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由2x＋ay＝7可得：ay＝7 2x，
①当x＝1时，7 2x＝5，
∴ay＝5，
∴a＝1，y＝5（舍）或a＝5，y＝1；
②当x＝2时，7 2x＝3，
∴ay＝3，
∴a＝1，y＝3（舍）或a＝3，y＝1，
③当x＝3时，7 2x＝1，
∴ay＝1，
∴a＝1，y＝1（舍），
综上，满足条件的正整数a的值为5或3，
故答案为：5或3．
【分析】采用列举法根据x的所有值代入求出a的所有正整数解即可。
12．（2022七下·通州期中）已知关于x，y的方程组，其中，给出下列结论：
①当时，x，y的值互为相反数；
②是方程组的解；
③无论a取何值，x，y恒有关系式；
④若，则．
其中正确结论的序号是 　 　．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】③④
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：解方程组，
得，
①当时，
，，
故结论①不符合题意；
②把代入，
得，
解得，
∵，
∴此时不符合题意，故结论②不符合题意；
③由原方程组的解可知，
，故结论③符合题意；
④∵，
∴，即，
由∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故结论④符合题意．
故答案为：③④．
【分析】解方程组得，①当时，分别求出x、y的值，即可判断；②把代入中求出a值，根据检验即可；③将方程组的解相加，可求出x+y=2，即可判断；④由，即得，可求，由可得，即得，继而得出3≤1-a≤4，由y=1-a可得y的范围，即可判断.
13．（2019七下·台州月考）已知关于x，y的方程组 的解为 ，则关于x，y的方程组 的解为　 　.
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：把 代入 ，
得 ，
把 代入 ，
得 ，
解得： 。
故答案为： 。
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将 代入 ，得 ，然后再整体替换得出方程组 ，然后将方程组中每一个方程的右边去括号后通过观察即可得出方程组的解。
14．（2023八上·渠县期末）已知是方程组的解，则代数式 的值为　 　.
【答案】-8
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
，可得，
，，
解得： ，，
∴
故答案为：-8.
【分析】根据方程组解的定义将x=3与y=2代入方程组可得关于a、b的方程组，利用①+②与①-②可得a-b与a+b的值，再整体代入即可求出代数式的值.
15．（2022·丰台模拟）某超市现有n个人在收银台排队等候结账．设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速度也是固定的．若同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；若同时开放3个收银台，需要12分钟可使排队等候人数为0．为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，则需要至少同时开放　 　个收银台．
【答案】6
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每分钟增加结账人数x人，每分钟收银员结账y人，根据题意，得
化简，得
y=2x，n=60x，
∴为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0，
设开放a个收银台，则6ay≥6x+n，
即6a·2x≥6x+60x，
12a≥66，
∵x>0，
∴．a≥，
∵a是正整数，
∴．a≥6，
∴需要至少同时开放6个收银台．
故答案为：6．
【分析】设每分钟增加结账人数x人，每分钟收银员结账y人，根据题意列出方程组，再求解即可。
16．（2022七下·重庆市月考）重庆一中趣味数学社团在社团活动日举办了知识竞答挑战赛.比赛共设置有A、B、C三关，每关设有若干问题，且每关的每个问题分值相同.参赛选手需回答完所有试题，答对得分，答错不扣分.甲、乙、丙三人作答完毕后，结果如下：甲在A、B、C三个关中回答正确的问题数目之比为，在A关的得分占甲总得分的75%；乙在A、B、C三个关中回答正确的问题数目之比为，在B关的得分占乙总得分的；丙在A关回答正确的问题数目是甲、乙在A关回答正确的问题数目之和的一半，丙在B关回答正确的问题数目比乙在B关回答正确的问题数目少，丙与甲在C关回答正确的数目相同，若甲、乙两人的总得分之比为，则乙、丙两人的总得分之比为　 　.
【答案】
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：根据题意可设甲在A、B、C三个关中回答正确的问题数目分别是2a个、a个、a个；乙在A、B、C三个关中回答正确的问题数目分别是2b个、5b个、2b个；A、B、C三个关中每一关的分值分别为x分、y分、z分；则甲在A、B、C三个关中每一关的得分分别为2ax，ay，az；乙在A、B、C三个关中每一关的得分分别为2bx，5by，2bz.
∵甲在A关的得分占甲总得分的75%，乙在B关的得分占乙总得分的，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴甲的总得分为（分），乙的总得分为（分）.
∵若甲、乙两人的总得分之比为，
∴，
∴.
∵丙在A关回答正确的问题数目是甲、乙在A关回答正确的问题数目之和的一半，丙在B关回答正确的问题数目比乙在B关回答正确的问题数目少，丙与甲在C关回答正确的数目相同，
∴丙在A关回答正确的问题数目是个，丙在B关回答正确的问题数目是个，丙在C关回答正确的数目是a个，
∴丙在A、B、C三个关中的总得分为（分），
将，，代入，
得：，
即丙在A、B、C三关中的总得分为（分）.
则乙、丙两人的总得分之比为.
故答案为：.
【分析】根据题意可设甲在A、B、C三个关中回答正确的问题数目分别是2a个、a个、a个，乙在A、B、C三个关中回答正确的问题数目分别是2b个、5b个、2b个，A、B、C三个关中每一关的分值分别为x分、y分、z分，则甲在A、B、C三个关中每一关的得分分别为2ax，ay，az，乙在A、B、C三个关中每一关的得分分别为2bx，5by，2bz；由甲在A关的得分占甲总得分的75%，乙在B关的得分占乙总得分的，可得，，从而求出，，
即得甲的总得分为（分），乙的总得分为（分），根据若甲、乙两人的总得分之比为，可得；由丙在A关回答正确的问题数目是甲、乙在A关回答正确的问题数目之和的一半，丙在B关回答正确的问题数目比乙在B关回答正确的问题数目少，丙与甲在C关回答正确的数目相同，可知丙在A关回答正确的问题数目是个，丙在B关回答正确的问题数目是个，丙在C关回答正确的数目是a个，从而得出丙在A、B、C三个关中的总得分为（分），将，，代入可得丙在A、B、C三关中的总得分为（分），然后求出比值即可.
三、计算题
17．（2022八上·西安月考）解方程组
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解： ，
得： ，解得： ，
把 代入① ，解得： ，
∴原方程组解为：
（2）解：
原方程组可变为 ，
得： ，解得： ，
把 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为：
（3）解： ，
得： ，
得： ，
把 代入 得： ，解得： ，
把 ， 代入①得： ，解得： ，
∴原方程组的解为：
【知识点】三元一次方程组解法及应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法，用①×2+②消去y求出x的值，将x的值代入①求出y的值，从而即可求出方程组的解；
（2）首先将方程组整理成一般形式，然后u利用加减消元法，用①×3+②×2消去y求出x的值，将x的值代入①求出y的值，从而即可求出方程组的解；
（3）用③-①求出y的值，再用①×2+②消去z得出关于x、y的方程，进而将y的值代入即可算出x的值，最后将x、y的值代入①方程求出z的值，从而即可求出方程组的解.
四、解答题
18．（2021七下·肥城期中）甲、乙两班同时从学校出发去距离学校的军营军训，甲班学生步行速度为，乙班学生步行速度为，学校有一辆汽车，该车空车速度为，载人时的速度为，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？
【答案】解：设甲班学生从学校乘汽车出发至处下车步行，乘车，空车返回至处，乙班同学于处上车，此时已步行了．
则
解得，．
则至少需要（小时）．
答：他们至少需要6.75小时才能到达．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】 设甲班学生从学校乘汽车出发至处下车步行，乘车 ，空车返回至处，乙班同学于处上车，此时已步行了 ．根据汽车接到乙班同学的时间=乙班同学步行的时间，甲班步行的时间=汽车接乙班返回时间+乙班坐车时间，列出方程组并解之，然后根据时间=路程÷速度即可求解.
19．（2023七下·义乌月考）【方法体验】已知方程组求4037x＋y的值．小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦!后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题．请你体验一下这种快捷思路，写出具体解题过程：
【方法迁移】根据上面的体验，填空：
已知方程组则3x＋y－z＝　 　．
【探究升级】已知方程组求－2x＋y＋4z的值．小明凑出
“－2x＋y＋4z＝2 （x＋2y＋3z）＋（－1） （4x＋3y＋2z）＝20－15＝5”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦!他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设－2x＋y＋4z＝m （x＋2y＋3z）＋n （4x＋3y＋2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组，它的解就是你凑的数!
根据丁老师的提示，填空：
2x＋5y＋8z＝　 　（x＋2y＋3z）＋　 　（4x＋3y＋2z）
【巩固运用】已知2a－b＋kc＝4，且a＋3b＋2c＝－2，当k为　 　时，8a＋3b－2c为定值，此定值是　 　．（直接写出结果）
【答案】3x+y-z=5；；；-2；8
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】【方法迁移】解：
由②-①得
3x+y-z=5.
故答案为：5
【探究升级】设2x+5y+8z=m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）=（m+4n）x+（2m+3n）y=（3m+2n）z，
∴，
解之：
故答案为：，
【巩固运用】设8a+3b-2c=m（2a-b+kc）+n（a＋3b＋2c）=（2m+n）a+（3n-m）b+（km+2n）c
∴
解之：
∴8a+3b-2c=3×4+2×（-2）=12-4=8.
∴当k-2时8a+3b-2c为定值，此定值时8
故答案为：-2，8
【分析】【方法迁移】观察方程组中同一个未知数的系数特点，由②-①，可求出3x+y-z的值.
【探究升级】设2x+5y+8z=m（x+2y+3z）+n（4x+3y+2z）=（m+4n）x+（2m+3n）y=（3m+2n）z，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值即可.
【巩固运用】设8a+3b-2c=m（2a-b+kc）+n（a＋3b＋2c）=（2m+n）a+（3n-m）b+（km+2n）c，利用对应项的系数相等，可得到关于m，n，k的方程组，解方程组求出k，m，n的值，然后求出8a+3b-2c的值即可.
五、综合题
20．（2022七下·台江期末）定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点．
（1）若点为方程的精优点，则　 　；（直接写出答案）
（2），为正整数，且点为方程的精优点．求，的值；
（3），，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值．
【答案】（1）3
（2）解：由题意得：
2（u+v）13+u=uv，
2u+2v13+u=uv，
2u+3v=13，
∵u，v为正整数，
∴或；
（3）解：由题意，得
由①②得：，
∴，
∴④，
把④代入③得：，
∴，
∴；
∴的值为；
【知识点】二元一次方程组的解；三元一次方程组解法及应用
【解析】（2）解：由题意得：
，
，
，
∵u，v为正整数，
∴或；
（3）解：由题意，得
由①②得：，
∴，
∴④，
把④代入③得：，
∴，
∴；
∴的值为；
【解答】（1）解：由题意得：
，
解得：，
故答案为：5；
【分析】（1）由题意把点A的坐标代入方程可求解；
（2）由题意把点B的坐标代入方程2x-y=u-v，根据u，v为正整数可求解；
（3）由题意把点C、D的坐标代入方程2x+3y=1，解方程组可求解.
21．（2022七下·万州期末）在解决“已知有理数x、y、z满足方程组，求的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①得：③，由②得：④．
③＋④得：⑤．
当时，
即，解得．
∴①②，得．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，解得；
（2）解：设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得，求的值．
设①得：③
②得：④
③＋④得：⑤
当时，
即，解得，
∴，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】（1）把等号左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，可以得到关于a、b的二元一次方程组，解这个方程组即可；
（2） 设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元 ，根据“ 购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元 ”列出方程组，再按照小华的解法解答即可.
22．（2022七下·南浔期末）如图1，已知直线AB∥CD，∠CＭＮ＝60°，射线ＭE从ＭD出发，绕点Ｍ以每秒ａ度的速度按逆时针方向旋转，到达ＭC后立即以相同的速度返回，到达ＭD后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线ＮF从ＮA出发，绕点Ｎ以每秒ｂ度的速度按逆时针方向旋转，到达ＮB后停止运动，此时ＭE也同时停止运动．其中ａ，ｂ满足方程组
（1）求ａ，ｂ的值；
（2）若ＮF先运动30秒，然后ＭE一起运动，设ＭE运动的时间为ｔ，当运动过程中ＭE∥ＮF时，求ｔ的值；
（3）如图2，若ＭE与ＮF同时开始转动，在ＭE第一次到达ＭC之前，ＭE与ＮF交于点Ｐ，过点Ｐ作ＰＱ⊥ＭE于点Ｐ，交直线AB于点Ｑ，则在运动过程中，若设∠ＮＭE的度数为ｍ，请求出∠ＮＰＱ的度数（结果用含ｍ的代数式表示）．
【答案】（1）解：，
由①×2+②得：11a=44，
∴a=4，
把a=4代入①中，得b=1，
∴a=4，b=1.
（2）解：①当0＜t≤45时，
∴∠NME=120-4t，∠MNF=90-t，
当∠NME=∠MNF时，ME∥NF，
∴120-4t=90-t，
解得t=10；
②当45＜t≤90时，
∴∠NME=4t-240，∠MNF=90-t，
当∠NME=∠MNF时，ME∥NF，
∴4t-240=90-t，
解得t=66；
③当90＜t≤135时，
∴∠NME=4t-480，∠MNF=t-90，
当∠NME=∠MNF时，ME∥NF，
∴4t-480=t-90，
解得t=130；
④当135当∠NME=∠MNF时，ME∥NF，
60-（4t-540）=30+t-120，
解得t=138，
综上所述，t的值为10s或66s或130s或138s.
（3）解：如图，过点P作PT∥AB，
∵AB∥CD，
∴PT∥AB∥CD，
∴∠2=∠1=180°-4t，∠3=∠4=t，
∴∠2+∠3=180°-3t，
∵PQ⊥ME，
∴∠2+∠3+∠NPQ=90°，
∴∠NPQ=90°-（∠2+∠3）=3t-90°=3（t-30°），
又∵∠NME=4t-120°=4（t-30°），
∴当∠NME=m时，∠NPQ=m.
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据a、b满足二元一次方程组，由①×2+②得：11a=44，解得a的值并带人①中，求得b值，即可求解问题；
（2）分四种情况：①当0＜t≤45时，②当45＜t≤90时，③当90＜t≤135时，④当135（3）如图，过点P作PT∥AB，由平行线传递性得PT∥AB∥CD，从而得∠2=∠1=180°-4t，∠3=∠4=t，进而得到∠2+∠3=180°-3t，再由PQ⊥ME，得∠2+∠3+∠NPQ=90°，从而得∠NPQ=3（t-30°），又∠NME=4t-120°=4（t-30°），当∠NME=m时，等量代换即可得到∠NPQ=m.
23．（2022七下·长沙期中）规定关于x的一元一次方程ax=b的解为，则称该方程是“郡园方程”，例如：3x=4.5的解为，则该方程3x=4.5就是“郡园方程”.
（1）若关于x的一元一次方程2x=m是“郡园方程”，求m的值；
（2）若关于x的一元一次方程是“郡园方程”，它的解为a，求a，b的值；
（3）若关于x的一元一次方程和都是“郡园方程”，求代数式的值.
【答案】（1）解：∵方程2x=m是定解方程，
∴=m-2，
解得：m=4.
∴若关于x的一元一次方程2x=m是定解方程，则m的值为4.
（2）解：∵方程2x=ab+a是定解方程，它的解为a，
∴，
解得：.
∴若关于x的一元一次方程2x=ab+a是定解方程，它的解为a，则a的值为2、b的值为1.
（3）解：∵方程2x=mn+m和-2x=mn+n都是定解方程，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用“郡园方程”的定义可得到关于m的方程，解方程求出m的值；
（2）利用已知：方程2x=ab+a是定解方程，它的解为a，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值；
（3）利用已知条件：方程2x=mn+m和-2x=mn+n都是定解方程，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m+n和m-n的值；然后整体代入求值.
24．（2021七下·曾都期末）水是生命之源，“节约用水，人人有责”.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，m3表示立方米）
每户每月用水量（m3） 自来水销售价格（元/m3） 污水处理价格（元/m3）
不超出6m3部分 1.10
超出6m3不超出10m3的部分 1.10
超出10m3的部分 7.00 1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）.
已知2021年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元.
（1）请你根据以上信息，求表中 ， 的值；
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水12.5吨，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小聪家四、五月份共用水20m3，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小聪家四、五月份的用水量各是多少？
【答案】（1）解：由题意得， ，
解得 ；
（2）解： （元）
答：小红家七月份应缴水费64.25元.
（3）解：设小聪家四月份的用水量为x，则五月份的用水量为 .
∵ ，
∴ ，即四月份的用水量低于10m.
①当 时，缴费总量为：
，
解得 不合题意，舍去.
②当 时，缴费总量为：
，
解得 ，此时 ，符合题意.
答：小聪家四月份的用水量为 ，五月份的用水量为 .
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据2021年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元列出方程组，解之即可；
（2）根据阶梯计费价格表和a、b的值进行计算即可；
（3）设小聪家四月份的用水量为x，则五月份的用水量为 ，分两种情况：①当 时，②当 时， 据此分别列出一元一次方程，求解即可.
25．（2021七下·西区期中）数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B，它们表示的数分别为-3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．
（1）由题意得：点A是点B的“追赶点”，AB=1-(-3)=4(AB表示线段AB的长，以下相同)；类似的，MN=　 　．
（2）在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．
（3）若AM=BN，MN= AM，求m和n值．
【答案】（1）n﹣m
（2）解：分三种情况讨论：
①M是A、N的中点，
∴n+(-3)=2m，
∴n=2m+3；
②A是M、N点中点时，m+n=-3×2，
∴n=﹣6﹣m；
③N是M、A的中点时，-3+m=2n，
∴n ；
（3）解：∵AM=BN，
∴|m+3|=|n﹣1|．
∵MN AM，
∴n﹣m |m+3|，
∴ 或 或 或 ，
∴ 或 或 或 ．
∵n＞m，
∴ 或 或 ．
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由两点间距离直接求解即可；
（2）分三种情况讨论：①M是A、N的中点，n=2m+3；②当A点在M、N点中点时，n=﹣6﹣m；③N是M、A的中点时，；
（3）由已知可得|m+3|=|n﹣1|，n﹣m=|m+3|，分情况求解即可．
26．（2020七下·吴兴期中）某市为了美化亮化某景点，在两条笔直的景观道MN、QP上，分别放置了A、B两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动a度，B灯每秒转动b度，且满足 ，若这两条景观道的道路是平行的，即MN∥QP.
（1）求a、b的值；
（2）若B灯先转动10秒，A灯才开始转动：
当A灯转动5秒时，两灯的光束AM′和BP′到达如图①所示的位置，试问AM′和BP′是否平行？请说明理由；
（3）当B灯光束第一次达到BQ之前，两灯的光束是否能互相垂直，如果能互相垂直，那么此时A灯旋转的时间为　 　秒.（不要求写出解答过程）
【答案】（1）解：∵
∴ ，
解得
（2）解：AM′和BP′平行，理由如下
由题意，得∠MAM′＝5×3°＝15°，
∠PBP′＝10°+5×1°＝15°，
连结AB∵MN∥QP，
∴∠MAB＝∠PBA，
∵∠MAM′=∠PBP′
∴∠M’AB＝∠ABP′，
∴AM′∥BP′
（3）50或65或110或140
【知识点】解二元一次方程组；垂线；平行线的判定与性质
【解析】【解答】（3）t的值为50秒或65秒或110秒或140秒.
能，设A灯旋转时间为t秒，B灯光束第一次到达BQ需要180÷1＝180（秒），
∴t≤180﹣10，即t≤170.
由题意，满足以下条件时，两灯的光束能互相垂直：
①180-3t+10+t＝90，解得t＝50；
②3t﹣180+10+t＝90，解得t＝65；
③180-10-t+360-3t＝90，解得t＝110；
④180-10-t+3t-360＝90，解得t＝140；
故答案为：50秒或65秒或110秒或140秒.
【分析】（1）根据已知条件，利用幂的性质求出a，b的值。
（2）利用已知求出∠MAM′和∠PBP′的度数，连结AB，利用平行线的性质，可证得∠MAB＝∠PBA再证明∠M’AB＝∠ABP′，利用平行线的判定可证得结论。
（3）设A灯旋转时间为t秒，可求出B灯光束第一次到达BQ需要的时间，即可求出t≤170。分情况讨论，根据两灯的光束能互相垂直，分别建立关于t的方程，解方程求出符合题意的t的值即可。
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