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新版课标下2023年各省自治区直辖市数学学业水平考试三模仿真试卷
20. 2023年江西省初中学业水平考试三模仿真数学试卷
全卷满分120分，考试时间120分钟．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列各数中，负数是（ ）
A. B. 0 C. 2 D.
【答案】A
【解析】根据负数的定义即可得出答案．
-1是负数，2，是正数，0既不是正数也不是负数，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“-”得到负数是解题的关键．
2.实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则，的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数，根据此结论即可得出结论．
由图知，数轴上数b表示的点在数a表示的点的右边，则b>a
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴上有理数大小的比较，是基础题．
3.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由同底数幂乘法、积的乘方、负整数指数幂的乘法、合并同类项，分别进行判断，即可得到答案．
，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
不能合并，不D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂乘法、积的乘方、负整数指数幂的乘法、合并同类项，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行判断．
4．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，则OG的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，可知AB：OB：OA＝BC：OC：OB＝…＝FG：OG：OF＝1：：2，由此可求出OG的长．
解：由图可知，∠ABO＝∠BCO＝…＝∠LMO＝90°，
∵AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°，
∴∠A＝∠OBA＝∠BCD＝…＝∠OLM＝60°，
∴AB＝OA，OB＝AB＝OA，
同理可得，OC＝OB＝（）2OA，
OD＝OC＝（）3OA，
…
OG＝OF＝（）6OA＝（）6×16＝．
5.如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．
从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义．
6.如图是小强散步过程中所走的路程（单位：）与步行时间（单位：）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据函数图象得出匀速步行的路程和所用的时间，即可求出小强匀速步行的速度．
根据图象可知，小强匀速步行的路程为（m），
匀速步行的时间为：（min），
这一时间段小强的步行速度为：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，根据图象得出匀速步行的路程和时间，是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.分解因式：______．
【答案】
【解析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：．
本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
．
8．如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝　 ．
【答案】140°
【解析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得多边形的边数为：，
∴∠OAD＝．
9. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．
【答案】1
【解析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．
一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键．
10．为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为 　　 ．
【答案】＝．
【解析】设B种奖品的单价是x元，则A种奖品的单价是（x+10）元，根据数量＝总价÷单价，结合用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：设B种奖品的单价是x元，则A种奖品的单价是（x+10）元，
依题意得：＝．
11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 　　．
【答案】6．
【分析】现根据矩形的性质证明Rt△AFO≌Rt△BEO，然后求出∠BOE＝60°，再解直角三角形即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE，
又∵BC＝2AF，
∵AF＝BE，
在Rt△AFO和Rt△BEO中，
，
∴Rt△AFO≌Rt△BEO（HL），
∴∠AOF＝∠BOE，
∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE，
又∵∠AOF+∠BOE+∠COE＝180°，
∴∠BOE＝60°，
∵OB＝OD＝6，
∴BE＝OB sin60°＝6×＝3，
∴BC＝2BE＝6．
12．如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y＝的图象上，矩形ABOC的面积为3，则k＝　 　．
【答案】3．
【解析】根据反比例函数系数k的几何意义可得出答案．
∵矩形ABOC的面积为3，
∴|k|＝3，
又∵k＞0，
∴k＝3．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】(1)4 （2）
【解析】（1）根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．
（2）分别解两个一元一次不等式，再求交集即可．
解不等式①得，
解不等式②得，
故所给不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键．
14. 以下是某同学化筒分式的部分运算过程：
解：原式①②③… 解：
（1）上面的运算过程中第__________步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）③ （2）见解析
【解析】【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
【小问1详解】
第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
【小问2详解】
解：原式＝
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
15. 为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组（依次记为A，B，C，D）．小雨和莉莉两名同学参加比赛．其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．
（1）小雨抽到A组题目的概率是_________；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）通过列表法，可得共有16种等可能结果，其中，小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果数有4种，再根据概率公式求解即可．
【详解】(1)（小雨抽到A组题目），
故答案为：；
(2)列表如下：
小雨 莉莉 A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
由图得，共有16种等可能结果，其中，小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果数有4种，
（小雨和莉莉两名同学抽到相同题目）．
【点睛】本题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
16.如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作的角平分线；
（2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．
【答案】（1）作图见解析部分 （2）作图见解析部分
【解析】分析】（1）连接，，与交于点，作射线即可；
（2）取格点，过点和点作直线即可．
【小问1详解】
解：如图1，连接、，与交于点，设小正方形的边长为1个单位，
∵线段和是矩形的两条对角线且交于点，
∴，
又∵，，
∴，
∴平分，
∴射线即为所作；
【小问2详解】
如图2，连接、、、，直线经过点和点，设小正方形的边长为1个单位，
∴，，
，，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，且，
∴直线即为所作．
【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了等腰三角形三线合一的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
17. 如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析 （2）cm
【解析】【分析】（1）利用ASA证明即可；
（2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=x，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
,
∴（ASA）；
（2）如图，过点E作EG⊥BC交于点G，
∵四边形ABCD矩形,
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴,
设AE=x，
∴EP=x，
由知，EP=CF=x，
∴DE=GC=GF+FC=3+x，
在Rt△PED中，,
即，
解得，，
∴BC=BG+GC= cm．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m﹣1≠0）的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，若S△ABC＝3．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若AB＝2，求一次函数的表达式．
【答案】见解析。
【解析】（1）令y＝0，则kx﹣2k＝0，所以x＝2，得到A（2，0），设C（a，b），因为BC⊥y轴，所以B（0，b），BC＝﹣a，因为△ABC的面积为3，列出方程得到ab＝﹣6，所以m﹣1＝﹣6，所以m＝﹣5；
（2）因为AB＝2，在直角三角形AOB中，利用勾股定理列出方程，得到b2+4＝8，得到b＝2，从而C（﹣3，2），将C坐标代入到一次函数中即可求解．
解：（1）令y＝0，则kx﹣2k＝0，
∴x＝2，∴A（2，0），
设C（a，b），
∵CB⊥y轴，∴B（0，b），∴BC＝﹣a，
∵S△ABC＝3，
∴，∴ab＝﹣6，∴m﹣1＝ab＝﹣6，∴m＝﹣5，
即A（2，0），m＝﹣5；
（2）在Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2，
∵，
∴b2+4＝8，∴b2＝4，∴b＝±2，
∵b＞0，∴b＝2，∴a＝﹣3，∴C（﹣3，2），
将C代入到直线解析式中得k＝，
∴一次函数的表达式为．
19.如图，是的外接圆，是的直径，与过点的切线平行，，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】【分析】（1）由切线的性质和可得，由垂径定理可得，从而得到垂直平分，最后利用垂直平分线的性质即可得证；
（2）先利用勾股定理得到，然后利用两组对应角相等证明，从而得到，代入数据计算即可．
【详解】（1）证明：∵直线切于点，是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴；
（2）如图，连接，
由（1）知：，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
即，
∴，
即的长为．
【点睛】考查切线的性质，垂径定理，圆周角定理，垂直平分线的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的两锐角互余等知识．通过作辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．
20.湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
【答案】（1）湖岸A与码头C的距离为1559米
（2）在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船
【解析】(1)过点作垂线，交延长线于点，如图所示，
由题意可得：，，米，则，
设，则，，，
在中，，
∴，解得，
在中，，
∴（米），
∴湖岸与码头的距离为1559米；
(2)解：设快艇将游客送上救援船时间为分钟，
由题意可得：，
，
∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含30°角的直角三角形的三边关系等知识点，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 某校为响应“传承屈原文化·弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读和书香宜昌建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查.根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
时间段/分钟
组中值 75 105 135
频数/人 6 20 4
请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）扇形统计图中，120~150分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是_______；_______；样本数据的中位数位于________~________分钟时间段；
（2）请将表格补充完整；
（3）请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间．
【答案】（1）；25；60，90
（2）表格见解析 （3）该校八年级学生周末课外平均阅读时间为84分钟
【解析】
【分析】（1）根据120~150分钟时间的占比和人数计算出调查的总数人为40，根据总人数和图表即可计算出相应的答案；
（2）30~60分钟时间段组中值为30和60的平均值；
（3）分别计算出各个统计时间段调查人数的比例，根据加权平均数计算方法求得答案．
【小问1详解】
∵根据扇形统计图中，120~150分钟时间段的占比为10%
∴120~150分钟时间段对应扇形的圆心角的度数为
∵120~150分钟时间段的人数为4人
∴调查总人数为人
∴90~120分钟时间段的人数为人
∴90~120分钟时间段的人数与总人数的比为
∴
∵调查总人数为40人，且样本的中位数为第20和21位的平均数
∴样本数据的中位数位于60~90分钟时间段
故答案为：；25；60，90；
【小问2详解】
30~60分钟时间段组中值为
90~120分钟时间段的频数/人为
表格补充如下：
时间段/分钟
组中值 45 75 105 135
频数/人 6 20 10 4
【小问3详解】30~60分钟时间段的调查人数占总人数的比例为；
60~90分钟时间段的调查人数占总人数的比例为；
90~120分钟时间段的调查人数占总人数的比例为；
120~140分钟时间段的调查人数占总人数的比例为；
∴八年级学生周末课外平均阅读时间为：分钟，
∴该校八年级学生周末课外平均阅读时间为84分钟．
【点睛】本题考查数据统计相关知识，解题的关键是掌握数据扇形统计图、中位数、加权平均数的性质，从而完成求解．
22. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
（1）c的值为__________；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【答案】（1）66 （2）①基准点K的高度h为21m；②b＞；
（3）他的落地点能超过K点，理由见解析．
【解析】【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
【详解】（1）解：∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）解：①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴当x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
（3）解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
六、解答题（本大题共12分）
23. 【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，．
【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长．
（2）若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离．
（3）连接，取的中点，三角板由初始位置（图1），旋转到点、、首次在同一条直线上（如图3），求点所经过的路径长．
（4）如图4，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是_____．
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】【分析】（1）在Rt△BEF中，根据余弦的定义求解即可；
（2）分点在上方和下方两种情况讨论求解即可；
（3）取的中点，连接，从而求出OG=，得出点在以为圆心，为半径的圆上，然后根据弧长公式即可求解；
（4）由（3）知，点在以为圆心，为半径的圆上，过O作OH⊥AB于H，当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点到直线的距离的最大，在Rt△BOH中求出OH，进而可求GH.
【小问1详解】
解：由题意得，，
∵在中，，，．
∴．
【小问2详解】
①当点在上方时，
如图一，过点作，垂足为，
∵在中，，，，
∴，
∴．
∵在中，，，
，，
∴．
∵点、、在同一直线上，且，
∴．
又∵在中，，，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
②当点在下方时，
如图二，
在中，∵，，，
∴．
∴．
过点作，垂足为．
在中，，
∴．
综上，点到直线的距离为．
【小问3详解】
解：如图三，取的中点，连接，则．
∴点在以为圆心，为半径的圆上．
当三角板绕点B顺时针由初始位置旋转到点、B、首次在同一条直线上时，点所经过的轨迹为所对的圆弧，圆弧长为．
∴点所经过的路径长为．
【小问4详解】
解：由（3）知，点在以为圆心，为半径的圆上，
如图四，过O作OH⊥AB于H，
当G在OH的反向延长线上时，GH最大，即点到直线的距离的最大，
在Rt△BOH中，∠BHO=90°，∠OBH=30°，，
∴，
∴，
即点到直线的距离的最大值为.
【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，弧长公式，解直角三角形等知识，分点在上方和下方是解第（2）的关键，确定点G的运动轨迹是解第（3）（4）的关键.
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新版课标下2023年各省自治区直辖市数学学业水平考试三模仿真试卷
20. 2023年江西省初中学业水平考试三模仿真数学试卷
全卷满分120分，考试时间120分钟．
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列各数中，负数是（ ）
A. B. 0 C. 2 D.
2.实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则，的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
3.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，∠AOB＝∠BOC＝…＝∠LOM＝30°．若OA＝16，则OG的长为（　　）
A． B． C． D．
5.如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
6.如图是小强散步过程中所走的路程（单位：）与步行时间（单位：）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.分解因式：______．8．如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝　 ．
9. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______．
10．为了弘扬我国书法艺术，培养学生良好的书写能力，某校举办了书法比赛，学校准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元，用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同．设B种奖品的单价是x元，则可列分式方程为 　　 ．
11．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 　　．
12．如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y＝的图象上，矩形ABOC的面积为3，则k＝　 　．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：
（2）解不等式组：
14. 以下是某同学化筒分式的部分运算过程：
解：原式①②③… 解：
（1）上面的运算过程中第__________步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
15. 为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组（依次记为A，B，C，D）．小雨和莉莉两名同学参加比赛．其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组．
（1）小雨抽到A组题目的概率是_________；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率．
16.如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作的角平分线；
（2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．
17. 如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．如图，一次函数y＝kx﹣2k（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m﹣1≠0）的图象交于点C，与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，若S△ABC＝3．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若AB＝2，求一次函数的表达式．
19.如图，是的外接圆，是的直径，与过点的切线平行，，相交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
20.湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 某校为响应“传承屈原文化·弘扬屈原精神”主题阅读倡议，进一步深化全民阅读和书香宜昌建设，随机抽取了八年级若干名学生，对“双减”后学生周末课外阅读时间进行了调查.根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：
时间段/分钟
组中值 75 105 135
频数/人 6 20 4
请你根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）扇形统计图中，120~150分钟时间段对应扇形的圆心角的度数是_______；_______；样本数据的中位数位于________~________分钟时间段；
（2）请将表格补充完整；
（3）请通过计算估计该校八年级学生周末课外平均阅读时间．
22. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
（1）c的值为__________；
（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
（3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
六、解答题（本大题共12分）
23. 【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，．
【问题探究】小昕同学将三角板绕点B按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长．
（2）若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离．
（3）连接，取的中点，三角板由初始位置（图1），旋转到点、、首次在同一条直线上（如图3），求点所经过的路径长．
（4）如图4，为的中点，则在旋转过程中，点到直线的距离的最大值是_____．
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