资源简介

考前5天 数学思想及应用
看看去年考了什么
（下面6个小题中有两个不正确，请在题后用√或×判定，并改正过来）
1、（2013安徽）函数y＝f(x)的图像如图1－1所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值范围是{2，3，4} (　　)
图1－1
2、(2013福建) 满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为12 (　　)21教育网
3、（2013陕西） 观察下列等式:

…
照此规律, 第n个等式可为.
4、（2013辽宁）已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(b－a3)＝0 (　　)21·世纪*教育网
5、（2013天津）已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)，设关于x的不等式f(x＋a)6、（2013浙江） 在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则平面α与平面β垂直(　　)　　21*cnjy*com
再熟悉熟悉这些知识
(1)构造等式关系，从函数或方程角度，选择主从变量，直接找到函数性质或利用二次方程探求出函数性质，再利用函数性质和图象解题；(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图象与性质可以解决．而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数n的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(ax＋b)n(n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数，结合赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．2-1-c-n-j-y
?易错点　使用函数思想时注意函数的定义域，使用方程思想时注意方程解的合理性；在解答题中数形结合思想是探究解题思路使用的，不能使用形的直观代替相关的计算和推理论证.　【来源：21cnj*y.co*m】
2、分类讨论思想
　引发数学中进行分类讨论的主要情况：由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论；
由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论；由参数变化引发的分类讨论；问题的具
体情况引发的分类讨论．
易错点　分类讨论时要不重复也不遗漏，结果的整合要符合问题的要求.
3、数形结合思想
掌握数形结合思想，首先要注意中学数学的基本知识的三类：一类是侧重数的知识，如实数、代数式、方程(组)、不等式(组)等；一类是侧重形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是数形并重的知识，主要体现是函数、三角、向量、解析几何．其次在解题中要明白所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法，包含“数形对应”、“以形助数”和“以数解形”三个方面．一是图形和数式之间简单的转译，找数形之间的简单对应；二是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；三是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．【出处：21教育名师】
4、化归与转化思想
化归转化思想的几种方向：
(1)化为已知：当所解决的问题和我们已经掌握的问题有关系时，把所解决的问题化为已知
问题，是化归的基本形式之一．
(2)化难为易：化难为易是解决数学问题的基本思想，当我们遇到的问题是崭新的，解决起来困难时，就要把这个问题化为我们熟悉的问题，熟悉的问题我们有解决的方法，就是容
易的问题，这是化难为易的一个方面；当我们所面临的问题正面解决较为困难时，从其反面
考虑，也是化难为易的一个方面．
(3)化繁为简：在一些问题中，已知条件或是求解结论比较繁，这时就可以通过化简这些较繁的已知或者结论为简单的情况，再解决问题．有时把问题中的某个部分看作一个整体，进
行换元，这种方法也是化繁为简的转化思想的体现．
(4)化大为小：在解答综合性试题时，一个问题往往是由几个小问题组成的，整个问题的结论，是通过这一系列的小问题得出的，这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小
问题进行解决，这就是化大为小．
5、数学应用题的解答及数学建模
解答数学应用题，一般先从阅读着手，建立起相关问题的数学模型，将其转化为数学
问题，利用所学的数学知识使数学问题获得解答．因此，此类问题的难点有两个：一是解
析式的建立，二是数学知识的灵活应用．
数学建模应过好三关：
(1)阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、
句，理解其意义．
(2)建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题．
(3)数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．
?易错点　常见的易错原因在于阅读理解的不到位，不能有效地抓住题干有用信息建立起实际问题的数学模型，导致无从下手.21cnjy.com
读读高考评分细则
（2013天津19）． 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；www.21-cn-jy.com
(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．
阅卷现场
规范解答
19．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，于是q2＝＝.又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－，故等比数列{an}的通项公式为an＝×（－）n－1＝(－1)n－1· .
(2)由(1)得Sn＝1－（－）n＝
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以1当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以＝S2≤Sn<1，故0>Sn－≥S2－＝－＝－.
综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.
所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.
失分原因与防范措施
失分原因：1、不能准确的分类讨论；2、不能适当进行的放缩变换。
防范措施：掌握数学思想和方法在解题中的应用，以便于解题。
答案
1、正确　[解析] 问题等价于直线y＝kx与函数y＝f(x)图像的交点个数，从图中可以看出交点个数可以为2，3，4，故n的取值范围是{2，3，4}．21世纪教育网版权所有
4＋4＋3＋2＝13个.
3、正确 【解析】分n为奇数、偶数两种情况。第n个等式为。
当n为偶数时，分组求和：。
当n为奇数时，第n个等式=。
综上，第n个等式：
4、正确　[解析] 由题意知当三角形ABC为直角三角形时，分为两类，∠OAB，∠OBA分别为直角．当∠OAB为直角时b＝a3；当∠OBA为直角时，·＝0，则(a，a3)·(a，a3－b)＝0，所以b－a3－＝0.所以(b－a3)·＝0.21·cn·jy·com
－ax2＋x，f(x＋a)＝－a(x＋a)2＋x＋a，令f(x)＝f(x＋a)，则x＝，令<－，可得a2＋a－1<0，故6、正确　[解析] 当α⊥β，且α∩β＝b，设fα(P)＝A，则PA⊥α，Q1＝fβ[fα(P)]＝fβ(A)，故AQ1⊥β；同理设fβ(P)＝B，则PB⊥β，Q2＝fα[fβ(P)]＝fα(B)，故BQ2⊥α，故AQ1∥PB，PA∥BQ2，所以Q1和Q2重合，恒有PQ1＝PQ2，则平面α与平面β垂直.【来源：21·世纪·教育·网】

展开更多......

收起↑