资源简介

考前4天 数学创新题应对
看看去年考了什么
（下面6个小题中有两个不正确，请在题后用√或×判定，并改正过来）
1、（2013广东） 设整数n≥4，集合X＝{1，2，3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x2、（2013重庆） 在平面上，⊥，|OB1|＝||＝1，＝＋.若||＜，则||的取值范围是 . (　　)www-2-1-cnjy-com
3、（2013山东）定义“正对数”：，现有四个命题：
①若，则；②若，则
③若，则；
④若，则，其中的真命题有3个. （ ）
　
4、（2013四川） 设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到P1，P2，…，Pn点的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…，Pn点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．则有下列命题：
①若A，B，C三个点共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是①④． (　　)
5、（2013湖北） 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：21·cn·jy·com
三角形数　N(n，3)＝n2＋n，
正方形数　N(n，4)＝n2，
五边形数　N(n，5)＝n2－n，
六边形数　N(n，6)＝2n2－n，
……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝1 002. (　　)
6、（2013湖南） 设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0. (1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为{x|00；②?x∈，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则?x∈(1，2)，使f(x)＝0. (　　)【出处：21教育名师】
再熟悉熟悉这些知识
数学创新题应对策略：
1、要想解答好数学题，平时注重良好解题习惯的培养
2、注重阅读题的训练
通过阅读，在一个较短的时间内抓住问题的本质，提炼隐藏在文字或图形中的规律性，进一步实现题目的要求，这就是“阅读题”的基本特征．阅读理解力是一种重要的潜能，在新课程高考命题中“阅读题”倍受青睐．新课程高考中“阅读题”主要有两大题型：其一是“概念学习型”问题；其二是读图题．21世纪教育网版权所有
3、加强对应用意识的训练
新课标要求数学教学中要注意“发展学生的数学应用意识”，注重数学学科的本质，要求学生能够以学到的数学知识为载体，并运用于解决实际问题．对应用意识的考查，一直是高考数学命题的一个热点，在“贴近生活、背景公平、控制难度”的原则下考查三个建模层次的应用题：①熟悉数学模型的直接应用；②建立简单数学模型解决实际问题；③从复杂的背景中抽象出数学模型解决实际问题．【来源：21·世纪·教育·网】
4、积累数学价值与数学文化
试题背景取材于数学史料，可彰显高考数学文化，让考生在丰富多彩的试题背景中体验高考数学的人文精神，实现知识的迁移，感受高考数学的无穷魅力2-1-c-n-j-y
读读高考评分细则
（2013重庆22）. 对正整数n，记In＝{1，2，…，n}，Pn＝.
(1)求集合P7中元素的个数；
(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．21·世纪*教育网
阅卷现场
规范解答
22．解：(1)当k＝4时，中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为7×7－3＝46.
(2)先证：当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝Pn?In.不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3?A，即3∈B.同理6∈A，10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾．
再证P14符合要求，当k＝1时，
可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14.
当k＝4时，集中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A2＝，B2＝.
当k＝9时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A3＝，
B3＝.最后，
集C＝
中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.
综上，所求n的最大值为14.
注：对P14的分拆方法不是唯一的．
失分原因与防范措施
失分原因：1、弄不懂题意，无从下手；2、不会用特殊值代入。
防范措施：1、认真深刻理解题意，练习一些新定义的题型；2、加强数学素养，提高分析问题解决问题的能力。
答案
1、错误　[解析] 方法一，特殊值法：不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3，4，1)∈S，(x，y，w)＝(2，3，1)∈S .21教育网
方法二，直接法：因为(x，y，z)∈S，(z，w，x)∈S，所以x2、正确 [解析] 根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图．设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)， 由||＝||＝1得则 又由||＜，得(x－a)2＋(y－b)2＜，则1－x2＋1－y2＜，即x2＋y2＞①. 21cnjy.com
又(x－a)2＋y2＝1，得x2＋y2＋a2＝1＋2ax≤1＋a2＋x2，则y2≤1；
同理由x2＋(y－b)2＝1，得x2≤1，即有x2＋y2≤2②.
由①②知＜x2＋y2≤2，所以＜≤. 而||＝，所以＜||≤.
4、正确　[解析] 对于①，如果中位点不在直线AB上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB上时，如果不与C重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C为唯一的中位点，①正确；www.21-cn-jy.com
对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为，显然2 ＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；
对于③，当A，B，C，D四点共线时，不妨设他们的顺序就是A，B，C，D，则当点P在B，C之间运动时，点P到A，B，C，D四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；2·1·c·n·j·y
对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．　　21*cnjy*com
6、正确　[解析] (1)因a＝b，所以函数f(x)＝2ax－cx，又因a，b，c不能构成一个三角形，且c>a>0，c>b>0，故a＋b＝2a(2)因f(x)＝ax＋bx－cx＝cx，因c>a>0，c>b>0，则0<<1，0<<1，当x∈(－∞，1)时，有>，>，所以＋>＋，又a，b，c为三角形三边，则定有a＋b>c，故对?x∈(－∞，1)，＋－1>0，即f(x)＝ax＋bx－cx＝cx>0，故①正确；取x＝2，则＋<＋，取x＝3，则＋<＋，由此递推，必然存在x＝n时，有＋<1，即an＋bn0，f(2)＝a2＋b2－c2<0(C为钝角)，根据零点存在性定理可知，?x∈(1，2)，使f(x)＝0，故③正确．

展开更多......

收起↑