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7.4 二项分布与超几何分布
7.4.1 二项分布
1．理解 n 重伯努利试验的模型及意义．
2．理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题．
3．掌握二项分布的期望与方差的求法．
在实际问题中，有许多随机试验与抛掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果. 例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等. 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
我们将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验. 显然，n 重伯努利试验具有如下共同特征：
(1)同一个伯努利试验重复做 n 次；
(2)各次试验的结果相互独立.
思考：下面3个随机试验是否为 n 重伯努利试验？如果是，那么其中的伯努利试验是什么？对于每个试验，定义“成功”的事件为 A，那么 A 的概率是多大？重复试验的次数是多少？
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
(2)某运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.
(3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.
在伯努利试验中，我们关注某个事件 A 是否发生，而 n 重伯努利试验中，我们关注事件 A 发生的次数 X. 进一步地，因为 X 是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列. 例如，对产品抽样检查，随机抽取 n 件，我们关心样本中不合格品数的概率分布列.
探究：某运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数 X 的概率分布列是怎样的？
分析：用 表示事件“第i 次射击中靶”，由分布乘法计数原理，3次独立重复试验共有 种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积. 由概率的加法公式和乘法公式得
二项分布
为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为 ，并且与哪两次中靶无关. 因此，3次射击恰好2次中靶的概率为 . 同理可求中靶0次、1次、3次的概率. 于是，中靶次数 X 的分布列为
一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，
，用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为
如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二项分布，记作 .
注：由二项式定理，容易得到
二项分布与两点分布有什么关系？
(1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件 A 发生(X＝1)或不发生( X＝0)；二项分布是指在 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数 X 的分布列，试验次数为 n 次(每次试验的结果也只有两种：事件 A 发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件 A 恰好发生0次，1次，2次，…，n 次；
(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．
例1 判断下列试验是不是 n 重伯努利试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
n 重伯努利试验的判断依据
(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行；
(2)每次试验相互独立，互不影响；
(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生，不发生．　
1.下列事件是 n 重伯努利试验的是(　　)
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
D
二项分布的应用
例2 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 4次，X 表示“正面朝上”出现的次数.
(1)求 X 的分布列；
(2)求 X 的期望，方差.
解：(1)由题可知 X 服从二项分布，正面朝上的概率为 ，反面朝上的概率为 ，且 X 的所有可能取值为0，1，2，3，4.
，
，
.
X 0 1 2 3 4
P
(2) ；
.
1.求二项分布的步骤
(1)判断所给试验是否为 n 重伯努利试验；
(2)理解随机变量 X 的意义，写出 X 的所有取值；
(3)求出 X 取每个值的概率；
(4)写出 X 的分布列.
2.二项分布的均值和方差
若随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，那么
， .
下面我们对均值进行证明.
令 ，由 ，可得
2.从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 ，设 X 为途中遇到红灯的次数.
(1)求随机变量 X 的分布列；
(2)求随机变量 X 的期望，方差．
解：(1)由题可知 ，则
，
，
因此随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)由题 ， .
二项分布之概率最大问题
例3 如果某品种幼苗每株成活的概率为0.8，且每株幼苗是否成活相互独立，那么种植10株这种幼苗，最有可能成活几株幼苗？
解：(1)由题可知 ，则
要使 得最大，应有
即
解得 ，所以 ，即成活8株的可能性最大.
二项分布之概率最大问题的求解思路
如果 X～B(n，p)，其中0＜ p ＜1，求 P(X＝k)最大值对应的 k 值，一般是求解不等式组 .
3.如果 ，那么当 取得最大值时，k 取何值？
得 ，所以 k＝6或 k＝7时，P(X＝k) 取得最大值．
解：由题意知，X 服从二项分布，所以 ，
解不等式组 ，
1．已知随机变量 ，则 (　　)
A. B. C. D.
D
2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
A
3．已知X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝1.6，则n，p的值分别为(　　)
A．100，0.8 B．20，0.4
C．10，0.2 D．10，0.8
C
4．在4次伯努利试验中，事件 A 发生的概率相同，若事件 A 至少发生一次的概率为 ，则事件 A 在一次试验中发生的概率为(　　)
A. B. C. D.
B
5.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是 ，出现绿灯的概率都是 . 记这4盏灯中出现红灯的数量为 X，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
(1)求 X 的分布列；
(2)求 X 的均值和方差.

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