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(共69张PPT)
第八章　§8.3　简单几何体的表面积与体积
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
学习目标
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.
导语
在前面我们已经学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，那么对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，它们的表面积和体积又该如何计算呢？
课时对点练
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
三、球的表面积与体积
随堂演练
内容索引
圆柱、圆锥、圆台的表面积
一
问题1　如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？
提示　圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线).则S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)，其中r为圆柱底面半径，l为母线长.
问题2　如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？
提示　圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开图扇形的面积为 ×2πrl＝πrl，∴S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长.
问题3　如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？
知识梳理
图形 表面积公式
旋 转 体 圆柱 底面积：S底＝ ；
侧面积：S侧＝ ；
表面积：S＝________
圆锥 底面积：S底＝ ；
侧面积：S侧＝ ；
表面积：S＝________
2πr2
2πrl
2πr(r＋l)
πr2
πrl
πr(r＋l)
旋 转 体 圆台 上底面面积：S上底＝ ；
下底面面积：S下底＝ ；
侧面积：S侧＝ ；
表面积：S＝___________________
πr′2
πr2
π(r′l＋rl)
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
在计算圆台的侧面积时，把其展开图看成梯形，上底为小圆的周长，下底为大圆的周长，高为母线长，利用梯形的面积公式求其侧面积.
注意点：
　　(1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为
例1
√
设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，
(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为
A.7 B.6 C.5 D.3
√
设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.
由S侧＝7π(r＋3r)＝84π，解得r＝3.
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
反思感悟
　　　圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是
跟踪训练1
√
设底面半径为r，则πr2＝S，
又侧面展开图为一个正方形，
圆柱、圆锥、圆台的体积
二
问题4　我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？
几何体 体积 说明
圆柱 V圆柱＝Sh＝____ S为底面积，h是高，r是底面半径
圆锥 V圆锥＝ Sh＝______ S为底面积，h是高，r是底面半径
圆台 S′，S分别为上、下底面面积，h为高，r′，r分别是上、下底面半径
知识梳理
πr2h
　　(1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是
例2
√
√
(2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________.
224π
设上底面半径为r，则下底面半径R＝4r，高h＝4r，
如图.
∵母线长为10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.
∴下底面半径R＝8，高h＝8，
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，圆锥、圆台的高是由母线、高、半径(半径的差)组成的直角三角形的边长列出方程并求解.
反思感悟
跟踪训练2
√
作圆锥的轴截面，如图所示，
由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.
设圆锥的高为h，底面半径为r，
球的表面积与体积
三
问题5　设球的半径为R，你能类比圆的面积公式推导方法，推导出球的体积公式吗？
提示　分割、求近似和，再由近似和转化为准确和，得出球的体积公式.
知识梳理
1.球的表面积公式S＝ (R为球的半径).
2.球的体积公式V＝ .
4πR2
例3
√
∴S球＝4πR2＝16π.
该外接球的半径为R，
√
∴S球＝4πR2＝12π.
反思感悟
计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径.
跟踪训练3
√
设正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝2R，
(2)将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为_____.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积.
(2)圆柱、圆锥、圆台的体积.
(3)球的表面积和体积.
2.方法归纳：公式法.
3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚.
随堂演练
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所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.
√
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2.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为
A.3 B.4 C.5 D.6
设圆台的高为h，
√
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3.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是
√
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4.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装有适量的水，若放入
一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则 ＝______.
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基础巩固
√
由两球的体积之比为8∶27，
可得半径之比为2∶3，
故表面积之比是4∶9.
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2.轴截面是正三角形的圆锥称为等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的
√
设该等边圆锥的半径为R，则母线l＝2R，
∴S底＝πR2，S侧＝πRl＝2πR2，∴S侧＝2S底.
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4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
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绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合、体积相等的圆锥，如图所示.
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5.(多选)圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的
√
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如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环所对的圆心角为180°，
所以C＝π·SA，又C＝10×2π，
所以SA＝20，同理SB＝40，
故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，
表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1 100π.
6.玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器，1986年出土于浙江省杭州市余杭区反山文化遗址.玉琮王通高8.8 cm，孔径4.9 cm、外径17.6 cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔.试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位：cm3)
A.6 250 B.3 050
C.2 850 D.2 350
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由题意知，该神人纹玉琮王的体积为底面边长为17.6 cm，高为8.8 cm的长方体的体积减去底面直径为4.9 cm，高为8.8 cm的圆柱的体积.
结合该神人纹玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计该神人纹玉琮王的体积约为2 350 cm3.
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7.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.
12π
由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.
又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，
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8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则圆柱和圆锥的表面积之比为_______，其体积之比为________.
2∶1
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∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.
9.如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为 的圆柱，求圆柱的表面积.
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设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，高为h，表面积为S.
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10.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.
该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
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综合运用
11.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为
A.5π B.6π
C.20π D.10π
√
用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
12.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.6寸
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由已知得，天池盆盆口半径为14寸，盆底半径为6寸，
则盆口面积为196π，盆底面积为36π，
又盆深18寸，盆中水深9寸，
∴积水水面面积为100π，
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13.祖暅，祖冲之之子，南北朝时期伟大的科学家，于5世纪末提出下面的体积计算原理，即祖暅原理：幂势既同，则积不容异.意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等，现有如图的半椭球体与被挖去圆锥的圆柱等高，且平行于底面的平面在任意高度截两几何体所得截面面积相等，已知圆柱高为h，
底面半径为r，则半椭球的体积是_______.
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14.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为_________.
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3∶1∶2
设球的半径为R，则
V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，
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＝3∶1∶2.
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拓广探究
15.把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为________ cm，表面积等于________ cm2.
20
224π
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设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl2.
又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl.
根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，
∴πl2＝2.5×8πl，
∴l＝20(cm).
圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82
＝224π(cm2).
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16.如图是一个奖杯的三视图(单位：cm)，试求这个奖杯的体积(π取3.14).
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根据三视图知该几何体是一个组合体：上面是球、中间是圆柱、下面是正四棱台，
则球的半径是3；圆柱的底面半径是2，母线长是16；
正四棱台上底、下底边长分别是6,12，高是4，
圆柱的体积V圆柱＝π×22×16＝64π(cm3)；
所以此奖杯的体积是V＝100π＋336≈650(cm3).
本课结束

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