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第二十四章 圆 综合素质评价
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【母题：教材P96练习】已知⊙O的半径r＝4，且点O到直线l的距离d＝5，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
2．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝70°，则∠BOC的度数是(　　)
A．80° B．70° C．60° D．50°
3．【母题：教材P122复习题T1】如图，在⊙O 中，半径 OC⊥弦AB，垂足为D，若AB＝16，OD＝6，则⊙O的半径为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
4．如图，AB为⊙O的切线，切点为A，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝30°，则∠ABO的度数为(　　)
A．25° B．20° C．30° D．35°
5．如图，在平面直角坐标系中，一个圆经过坐标原点O，交坐标轴于点E，F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为(　　)
A．12 B．10 C．14 D．15
6．【2023·广州番禺区华师大附中期末】一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为(　　)
A．2 B．2 C．4 D．8
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE，若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是(　　)
A．30° B．35° C．45° D．60°
8．【2023·广州骏景中学期末】如图，直线PA，PB，CD与⊙O分别相切于点A，B，E，若PA＝7，则△PCD的周长为(　　)
A．7 B．14 C．10.5 D．10
9．【2023·广州一模】如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A处走到B处有观赏路(劣弧AB)和便民路(线段AB)．已知A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，则小强从A处走到B处，走便民路比走观赏路少走(　　)
A．(6π－6 )米 B．(6π－9 )米
C．(12π－9 )米 D．(12π－18 )米
10.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D在边AB上，以D为圆心作⊙D，当⊙D恰好同时与边AC，BC相切时，⊙D的半径长为(　　)
A．6 B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．如图，BD是⊙O的直径，C是的中点，若∠AOC＝70°，则∠AOD的度数为________．
12．2023·广州越秀区一模若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为240°的扇形，则该圆锥的底面积为________．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝130°，则∠BOD的度数是________．
14.刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设⊙O的半径为1，若用⊙O的外切正六边形的面积S来近似估计⊙O的面积，则S＝________．(结果保留根号)
15．如图，已知⊙O 的半径长为2，点C为直径AB的延长线上一点，且BC＝2.过点C任作一条直线l.若直线l上总存在点P，使得过点P所作的⊙O的两条切线互相垂直，则∠ACP的最大值等于________°.
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16．2022·梅州丰顺县茶背中学月考在平面直角坐标系中，⊙O的半径为8，圆心O的坐标为(－1，5)，试判断点P(3，－2)与⊙O的位置关系．
17．【2023·广州第一中学期末】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为的中点．若∠DCE＝112°，求∠BAC的度数．
18．如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，AB＝13 m，OE⊥CD于点E，此时测得OE：CD＝5：24.求CD的长．
四、解答题(二)：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，已知圆锥的底面半径为10，母线长为40 .
(1)求圆锥侧面展开图的圆心角；
(2)若一小虫从点A出发沿圆锥侧面绕行到母线CA的中点B处，则它所走的最短路程是多少？
20．【2023·湛江第六中学期中】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
21．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE，EC，DB，CD.
(1)若∠CBD＝34°，求∠BEC的度数；
(2)求证：DE＝DB.
五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．【2023·深圳二模】如图，在△ACD中，点B为AC边上的点，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，连接AE，OE，∠D＝2∠EAC.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若∠D＝60°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．(结果保留根号和π)
23．【2022·广州第一中学三模】在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，m)(m＞0)，点B的坐标为(2，0)，以点A为圆心，OA长为半径作⊙A，将△AOB绕点B顺时针旋转α( 0°<α<360°)至△A′O′B处．
(1)如图①，m＝4，α＝90°，求点O′的坐标及AB扫过的面积；
(2)如图②，当旋转到A，O′，A′三点在同一直线上时，求证：O′B是⊙O的切线；
(3)如图③，m＝2，在旋转过程中，当直线BO′与⊙A相交时，直接写出α的取值范围．
INCLUDEPICTURE"5章.EPS" INCLUDEPICTURE \d "D:\\0％\\初中\\23秋 典中点 9 数学 R广东\\5章.EPS" \* MERGEFORMATINET 答案
一、1.C
2．A　【点拨】∵＝，∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°－2∠ACB＝40°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝80°.
3．C　【点拨】连接OA.∵半径OC⊥弦AB，AB＝16，
∴AD＝BD＝AB＝8.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA＝＝＝10，即⊙O的半径为10.
4．C　【点拨】 ∵AB为⊙O的切线，
∴AB⊥OA，即∠OAB＝90°.
∵∠ADC＝30°，∴∠AOB＝2∠ADC＝60°，
∴∠ABO＝90°－60°＝30°.
5．B　【点拨】 连接EF.
∵∠FOE＝90°，∴EF是⊙O的直径．
∵在Rt△EFO中，OE＝8，OF＝6，∠FOE＝90°，∴EF＝＝＝10，故圆的直径长为10.
6．C　【点拨】根据题意可画出图形(如图)，连接BO，OC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝＝90°，
∴OB2＋OC2＝BC2，即42＋42＝BC2，
∴BC＝4 (负值舍去)．
7．A　【点拨】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＋∠BAD＝180°.∵∠BCD＝2∠BAD，
∴∠BAD＝60°.∵BE 是⊙O的直径，∴∠BAE ＝90°，
∴∠DAE ＝90°－∠BAD＝90°－60°＝30°.
8．B　【点拨】∵PA，PB，CD与⊙O分别相切于点A，B，E，
∴PB＝PA＝7，CA＝CE，DE＝DB，
∴△PCD的周长为PC＋CD＋PD＝PC＋CE＋DE＋PD＝PC＋CA＋DB＋PD＝PA＋PB＝14.
9．D　【点拨】过点O作OC⊥AB于点C, 则AC＝BC.
∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝(180°－∠AOB)＝30°.
∴OC＝OA＝9米，
∴AC＝＝9 (米)，∴AB＝2AC＝18 米．
∵弧AB的长为＝12π(米)，
∴走便民路比走观赏路少走(12π－18 )米．
10．D　【点拨】如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，连接CD，设⊙D的半径为r.
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝BC＝5.
在Rt△ABH中，根据勾股定理得AH＝12.
∵⊙D同时与边AC，BC相切，
∴DE＝DF＝r.∵S△ABC＝S△ADC＋S△DBC，
∴AH·BC＝AC·DF＋BC·DE，
即×10r＋×13r＝×10×12，∴r＝，
故当⊙D恰好同时与边AC，BC相切时，⊙D的半径长为.
二、11.40° 　【点拨】∵C是的中点，∴＝，
∴∠BOC＝∠AOC＝70°，
∴∠AOD＝180°－70°－70°＝40°.
12．4π 　【点拨】由题意可知圆锥底面圆的周长为＝4π，∴底面圆的半径为4π÷2π＝2，
∴该圆锥的底面积为π×22＝4π.
13．100°　【点拨】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°.
∵∠C＝130°，∴∠A＝50°，∴∠BOD＝2∠A＝100°.
14．2 　【点拨】如图，M为切点，连接OA，OB，OM.
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO为等边三角形．
∵⊙O的半径为1，∴OM＝1，
易求得BM＝AM＝，∴AB＝，
∴S＝6S△ABO＝6×××1＝2 .
15．45　【点拨】如图，设PM，PN是过P所作的⊙O的两条切线且互相垂直，连接OM，OP，∴OM⊥PM，ON⊥PN，PM⊥PN.
又∵OM＝ON，∴四边形PMON是正方形．∵⊙O的半径长为2，∴根据勾股定理求得OP＝2 ，∴点P在以O为圆心，2 为半径的大圆上，
易知当CP与大圆相切时，∠ACP有最大值．
∵PC是大圆的切线，
∴OP⊥PC.
∵OC＝4，OP＝2 ，∴PC＝2 ，
∴OP＝PC，∴∠ACP＝45°，
∴∠ACP的最大值等于45°.
三、16.【解】∵圆心O的坐标为(－1，5)，P(3，－2)，
∴OP＝＝.
∵>＝8，∴点P在⊙O外．
17．【解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
∵∠DCE＋∠BCD＝180°，∴∠BAD＝∠DCE＝112°.
∵点C为的中点，∴＝，
∴∠BAC＝∠CAD＝∠BAD＝56°.
18. 【解】连接OD.∵直径AB＝13 m，
∴OD＝AB＝ m．∵OE⊥CD，∴DE＝CD.
∵OE:CD＝5:24，∴OE:ED＝5:12，
设OE＝5x m，则ED＝12x m.
∵在Rt△ODE中，OE2＋ED2＝OD2 ，
∴(5x)2＋(12x)2＝，解得x＝(负值舍去)，
∴CD＝2DE＝2×12×＝12(m)．
四、19.【解】(1) 设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，
则＝2×10π，解得n＝90，
∴圆锥侧面展开图的圆心角为90°.
(2)如图，连接AB，可知最短路径为线段AB.利用勾股定理得 AB＝＝20，
故小虫走的最短路程为20.
20．(1)【证明】∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.
∵DC＝CB，∴AC垂直平分BD，
∴AD＝AB，∴∠B＝∠D.
(2)【解】设BC＝x，则AC＝x－2.
∵在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
∴(x－2)2＋x2＝42，解得x1＝1＋，x2＝1－ (舍去)．∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE.
∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1＋.
21．(1)【解】∵∠CBD＝34°，∴∠CAD＝34°.
∵点E是△ABC的内心，∴AE，CE，BE分别平分∠BAC，∠ACB，∠ABC，∴∠BAC＝2∠CAD＝68°，
∴∠EBC＋∠ECB＝(180°－68°)÷2＝56°，
∴∠BEC＝180°－56°＝124°.
(2)【证明】∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD＝∠CAD，∠EBA＝∠EBC .
∵ ∠DEB＝∠BAD＋∠EBA，∠DBE＝∠EBC＋∠CBD，∠CBD＝∠CAD，∴∠DEB＝∠DBE ，∴DE＝DB.
五、22.(1)【证明】由题意可得∠EOC＝2∠EAC.
又∵∠D＝2∠EAC，∴∠EOC＝∠D.
∵⊙O与CD相切于点E，∴∠OEC＝90°.
∵∠OCE＝∠DCA，∠EOC＝∠D，∴△OCE∽△DCA，
∴∠DAC＝∠OEC＝90°.
又∵OA为半径，∴AD是⊙O的切线．
(2)【解】∵∠D＝60°，∴∠C＝30°，∠EOC＝60°.
∴S扇形EOB＝＝，
∵在Rt△OEC中，OE＝4，∠C＝30°，∴OC＝2OE＝8.
∴CE＝＝4，
∴S△OEC＝·OE·CE＝8，
∴S阴影＝S△OEC－S扇形EOB＝8－.
23．(1)【解】 当α＝90°时，∠OBO′＝90°，∴O′B⊥x轴．
由旋转的性质知O′B＝OB＝2，∴点O′的坐标为(2，2)．
∵在Rt△AOB中，OB＝2，OA＝m＝4，∴AB＝2.
∴AB扫过的面积为＝5π.
(2)【证明】 由旋转的性质知AB＝A′B，A′O′＝AO，
∵A，O′，A′三点在同一直线上，∴△ABA′为等腰三角形．
又∵∠A′O′B＝90°，∴BO′⊥AA′，∴AO′＝A′O′，
∴AO′＝AO，∴AO′为半径，∴O′B是⊙O的切线．
(3)【解】 0°＜α＜90°或180°＜α＜270°.
【点拨】 ∵m＝2，∴A(0，2)．∵B(2，0)，∴OA＝OB＝2.当α＝90°时，直线BO′与⊙A相切，
∴当0°＜α＜90°时，直线BO′与⊙A相交．
同理，当180°＜α＜270°时，直线BO′与⊙A相交．
故当直线BO′与⊙A相交时，α的取值范围为0°＜α＜90°或180°＜α＜270°.

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