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8.5.1 直线与直线平行
第八章 立体几何初步
复 习 回 顾
【问题1】 直线与直线间有哪些位置关系？
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
a
b
O
a
b
情 景 引 入
【问题2】 在同一平面内，不想交的两条直线是平行直线，并且平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DC//AB，A1B1//AB ，则DC 与A1B1平行吗？
A'
A
B
B'
C
C'
观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗
新 知 探 究
基本事实4 (空间中)平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号语言：若a//b，b//c，则a//c.
a
b
c
图形语言：
本质：平行线的传递性.
作用：证线线平行.
将空间两条直线的平行问题转化为平面两条直线的平行问题
推广：在空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相平行
典 例 讲 解
例1 如图 ，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：
连接BD.
解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题
解题步骤要规范！
典 例 讲 解
变式1 如图 ，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．
（1）求证：EF//HG.
（2）若AC=BD，则四边形EFGH是什么图形？
证：
（1）
EFGH是菱形
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【问题3】 在平面内, 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.空间中这一结论是否仍然成立呢？
当空间中两个角的两边分别对应平行时，这两个角有如下图所示的两种位置：
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如图8.5-5，分别在∠BAC和∠B'A'C'的两边上截取AD，AE和A'D'，A'E'，使得AD=A'D'，AE=A'E'. 连接AA'，DD'，EE'，DE，D'E'.
∴四边形ADD'A'是平行四边形，
同理可证 ．
∴四边形DD'E'E是平行四边形，
∴∠BAC=∠B'A'C'．
∴DE=D'E'
∴△ADE ≌ △A'D'E'
显然，当A'C'的方向与上述情形相反时，∠BAC与∠B'A'C'互补．
定理 若空间中的两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补.
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1. 如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？
根据基本事实4，这些折痕互相平行.
2. 如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，与棱AA′平行的棱共有几条？分别是什么？
3条，分别是BB′，CC′，DD′.
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4.如图，四面体A-BCD中，E,F,G分别为AB,AC,AD上的点，若EF//BC，FG//CD，则△EFG和△EFG有什么关系？
若一条直线截三角形的两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
平行线分线段成比例
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归 纳 小 结
证线线平行的方法：
1、平行线的传递性
2、三角形的中位线 (找中点)
3、平行四边形的对边平行 (先证平行四边形)
4、线段成比例
5、定义（两直线共面且无公共点）
课 堂 小 结
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

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