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一维势垒 隧道效应
一维方势阱如图
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
粒子沿 x 方向运动，当 E>0 时粒子可以通过势垒。
当 E<0 ，实验证明粒子也能通过势垒，这只有由量子力学得到解释。
一维势垒 隧道效应
例题 试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大值的位置。
解： 一维无限深势阱中粒子的概率密度为
将上式对 x 求导一次，并令它等于零
因为在阱内，即
只有
于是
由此解得最大值得位置为
例如
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
最大值位置
最大值位置
最大值位置
谐振子的势能为
薛定谔方程为
其能量本征值为
基态能（零点能）
能级间隔
这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。
相邻两个最大值之间的距离
如果阱宽a不变，当
时
设三个区域的波函数分别为
在各区域薛定谔方程分别为
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
令
为实数
解为：
三个区域中波函数的情况如图所示：
隧道效应
在粒子总能量低于势垒壁高的情况下，粒子有一定的概率穿透势垒。此现象称为隧道效应。
贯穿势垒的概率定义为在 处透射波的强度与入射波的强度之比：
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
扫描隧道显微镜（STM）
原理：利用电子的隧道效应。
金属样品外表面有一层电子云，电子云的密度随着与表面距离的增大呈指数形式衰减，将原子线度的极细的金属探针靠近样品，并在它们之间加上微小的电压，其间就存在隧道电流，隧道电流对针尖与表面的距离及其敏感，如果控制隧道电流保持恒定，针尖的高度在垂直于样品方向的变化，就反映出样品表面情况。
48个Fe原子形成
“量子围栏”，
围栏中的电子形成驻波
STM的横向分辨率已达0.1nm，纵向分辨达0.01nm，
STM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子
在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。
一维谐振子的能级

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