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复数
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课前检测（15mins）
1.复数等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
2.已知复数为纯虚数,那么实数的值为( )
A. B. C. D.
【解析】∵为纯虚数,
∴,即.
故选:B
3.若复数满足,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
4.已知复数()，若所对应的点在第四象限，求的取值范围.
【解析】 在复平面内以点表示复数（），所对应的点在第四象限等价于的实部大于零而虚部小于零。
【答案】∵
∴ ，解得.
∴的取值范围为.
课中讲解
能够理解复数概念 LV.2
1.虚数单位
（1）它的平方等于，即；
（2）与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；
（4）的周期性：，，，（）.
2. 概念
形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。
说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。
3.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系
对于复数（），
当且仅当时，复数是实数；
当且仅当时，复数叫做虚数；
当且仅当且时，复数叫做纯虚数；
当且仅当时，复数就是实数0.
所以复数的分类如下:
（）
4.复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：
如果，那么.
特别地: .
应当理解:
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
5.共轭复数
两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：
复数和（）互为共轭复数。
例1．
,,0,,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C．
【解析】是实数,是纯虚数,0是实数,是纯虚数数,0.618是实数.
例2.
已知复数是实数，则实数的值为( )
A．1或－1 B．1
C．－1 D．0或－1
【答案】C．
【解析】因为复数是实数，且 为实数，则 ,解得.
例3．
已知，则 ________.
【答案】10.
【解析】根据复数相等的充要条件可知：
解得
所以
过关检测（10mins）
1. 设，则“”是“复数是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B.
【解析】当，且时，不是纯虚数；若是纯虚数，则.故“”是“复数是纯虚数”的必要而不充分条件．
2. 若复数是虚数，则实数满足________．
【答案】且
【解析】因为是虚数，
所以,
所以且.
3. 设，，若，求实数的取值范围．
【答案】.
【解析】由于,，
∴且,当时,，
或.
当时,，
或，
∴当时,,,满足.
∴时，实数的取值为.
4. 已知关于实数x，y的方程组 有实数解，求实数,的值．
【答案】
【解析】对①，根据复数相等的充要条件，得,
解得③.把③代入②，
得,且,
∴ ,
解得,
二. 能够准确进行四则运算LV.3
1.复数的代数形式
复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。
2.四则运算
；
；
复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：
。
例1.
复数( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
例2.
复数=( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
例3.
已知复数为纯虚数,那么实数的值为( )
A. B. C. D.
【解析】∵为纯虚数,
∴,即.
故选:B
例4.
若复数是实数,则.
【解析】,
∵复数是实数,
∴,即
故答案为:0
例5．
复数( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,故选A
例6.
复数.
【答案】
例7.
已知复数,则.
【答案】
例8.
若复数满足则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
故选A.
例9.
已知,其中为虚数单位,,则_____________.
【解析】由已知得
,即
例10.
已知,其中为虚数单位,,则.
【答案】
【解析】
例11.
已知,其中是实数,是虚数单位,那么.
【答案】
【解析】本题考查复数的运算.由可知.
例12.
已知复数,则“为纯虚数”的充分必要条件为( )
A. B.
C. D.
【答案】D.
【解析】,若“为纯虚数”，则，即
例13.
已知,则“”是“复数i是纯虚数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
例14.
设为复数,则 “”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
过关检测（10mins）
1.如果是纯虚数,那么实数.
【答案】
【解析】本题考查复数.若为纯虚数,
则,且,故.
2.复数.
答案:
【解析】复数的运算
,所以.
3.已知复数满足，那么____.
【答案】
解析：
4.已知，其中是虚数单位，那么实数
【答案】2
5.设复数,其中,则．
【答案】
【解析】本题考查复数相等.
三. 能够理解复数的几何意义并准确计算LV.4
1. 复平面、实轴、虚轴
点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数。
对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
2.复数的几何表示
（1）坐标表示:在复平面内以点表示复数（）；
（2）向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数.
向量的长度叫做复数的模，记作.即.
例1.
如图所示,在复平面内,点对应的复数为,则复数.
【解析】由图可知:点对应的点为,
∴.
故答案为:
例2.
已知复数,则在复平面内,对应点的坐标为________.
【解析】:根据复数的定义化简得:,所以对应的复平面的坐标为.
【答案】:
例3.
复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】复数,在复平面内对应点为,
此点位于第二象限,
故选:B
例4.
若复数满足,则在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】整理得到，所以在复平面内对应的点坐标为，故选A
例5.
在复平面内，复数对应的点到原点的距离是.
【答案】
【解析】复平面内对应的点坐标为，所以复数对应的点到原点的距离是
例6.
已知复数,则=.
【答案】
【解析】复数，所以
例7.
在复平面内,复数对应的点是,则复数的共轭复数( )
A. B. C. D.
【答案】本题选A.
【解析】本题考查复数.显然,从而复数的共轭复数,故选A.
例8.
在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】本题考查复数.
设,则,所以复数对应点的坐标为,位于第四象限,故选D.
例9.
是虚数单位,复数所对应的点在第一象限,则实数的取值范围为.
【解析】∵复数
又∵在复平面内所对应的点位于第一象限,
∴
解得.
故答案为:.
例10.
在复平面内,复数与对应的点关于虚轴对称,且,则______.
【解析】考查复数的运算.
【答案】
例11.
在复平面内,点A对应的复数是 若点A关于实轴的对称点为点B,则点B对应的复数为.
【答案】
例12.
已知复数,且复数,在复平面内对应的点关于实轴对称,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
过关检测（15mins）
1.如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为,点,对应的数分别是,,则.
【答案】
2. 在复平面内,复数的对应的点的坐标为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查复数的计算与坐标表示.
,在复平面内对应的点为.
3.复数在复平面内所对应的点在第象限.
【答案】二
【解析】本题考查复数的性质..
由题意得
复数在复平面内对应的点为;
对应的点位于第二象限
4.已知为虚数单位,设复数满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,故选B
5.已知复数()，若所对应的点在第四象限，求的取值范围.
【解析】∵
∴ ，解得.
∴的取值范围为.
课后练习
补救练习（20mins）
1.若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A.1 B．2 C．1或2 D．
【答案】B
2.已知集合为虚数单位)是纯虚数，则的值为（ ）
A. B.1 C. D.0
【答案】B
3.已知，复数的实部为，虚部为，则的取值范围是（ ）
A. B． C． D．
【答案】C
4.复数等于（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】D
5.已知复数(是虚数单位),它的实部和虚部的和是( )
A． B．6 C．2 D．3
【答案】C
6.若复数满足(为虚数单位)，则为( )
A． B． C． D．
【答案】B
7.已知复数，(为虚数单位，)．若为实数，则的值为( )
A. 3 B.4 C.5 D. 6
【答案】D
8.复数复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D.第四象限
【答案】C
=
巩固练习（20mins）
1.已知复数，，若是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
【答案】D
2.设，是纯虚数，其中是虚数单位，则
【答案】
3.“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
4.复数，则_____．
【答案】
5.已知复数满足 (其中为虚数单位)，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6.若设是复数，（其中表示的共轭复数），已知的实部是，则的虚部为
【答案】1
7.在复平面内，复数的对应点是，的对应点是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
拔高练习（20mins）
1.如果复数（是虚数单位）是实数，则实数
【答案】
2若设是复数，（其中表示的共轭复数），已知的实部是，则的虚部为
【答案】
3.设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4.已知复数(为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5. ，为的共轭复数，则_______．
【答案】
6. 已知，复数的实部为，虚部为，则的取值范围是（ ）
A. B． C． D．
【答案】C
7.如果复数满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
8.设，求满足且的复数.
【答案】设（），则
∴即，∴或
（1）当时，，∴，∴或
当不合题意舍去，∴时
（2）当时，
又∵，∴
由，解得，，∴
综上，或复数专题讲义
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课前检测（15mins）
1.复数等于( )
A. B. C. D.
2.已知复数为纯虚数,那么实数的值为( )
A. B. C. D.
3.若复数满足,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知复数()，若所对应的点在第四象限，求的取值范围.
课中讲解
能够理解复数概念 LV.2
1.虚数单位
（1）它的平方等于，即；
（2）与－1的关系:就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；
（4）的周期性：，，，（）.
2. 概念
形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。
说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。
3.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系
对于复数（），
当且仅当时，复数是实数；
当且仅当时，复数叫做虚数；
当且仅当且时，复数叫做纯虚数；
当且仅当时，复数就是实数0.
所以复数的分类如下:
（）
4.复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：
如果，那么.
特别地: .
应当理解:
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.
（2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础.
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
5.共轭复数
两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：
复数和（）互为共轭复数。
例1．
,,0,,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
例2.
已知复数是实数，则实数的值为( )
A．1或－1 B．1
C．－1 D．0或－1
例3．
已知，则 ________.
过关检测（10mins）
1. 设，则“”是“复数是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2. 若复数是虚数，则实数满足________．
3. 设，，若，求实数的取值范围．
4. 已知关于实数x，y的方程组 有实数解，求实数,的值．
二. 能够准确进行四则运算LV.3
1.复数的代数形式
复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。
2.四则运算
；
；
复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：
。
例1.
复数( )
A. B. C. D.
例2.
复数=( )
A. B. C. D.
例3.
已知复数为纯虚数,那么实数的值为( )
A. B. C. D.
例4.
若复数是实数,则.
例5．
复数( )
A. B. C. D.
例6.
复数.
例7.
已知复数,则.
例8.
若复数满足则( )
A. B. C. D.
例9.
已知,其中为虚数单位,,则_____________.
例10.
已知,其中为虚数单位,,则.
例11.
已知,其中是实数,是虚数单位,那么.
例12.
已知复数,则“为纯虚数”的充分必要条件为( )
A. B.
C. D.
例13.
已知,则“”是“复数i是纯虚数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
例14.
设为复数,则 “”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
过关检测（10mins）
1.如果是纯虚数,那么实数.
2.复数.
3.已知复数满足，那么____.
4.已知，其中是虚数单位，那么实数
5.设复数,其中,则．
三. 能够理解复数的几何意义并准确计算LV.4
1. 复平面、实轴、虚轴
点的横坐标是，纵坐标是，复数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。
实轴上的点都表示实数。
对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是表示是实数。故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
2.复数的几何表示
（1）坐标表示:在复平面内以点表示复数（）；
（2）向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数.
向量的长度叫做复数的模，记作.即.
例1.
如图所示,在复平面内,点对应的复数为,则复数.
例2.
已知复数,则在复平面内,对应点的坐标为________.
例3.
复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
例4.
若复数满足,则在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
例5.
在复平面内，复数对应的点到原点的距离是.
例6.
已知复数,则=.
例7.
在复平面内,复数对应的点是,则复数的共轭复数( )
A. B. C. D.
例8.
在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
例9.
是虚数单位,复数所对应的点在第一象限,则实数的取值范围为.
例10.
在复平面内,复数与对应的点关于虚轴对称,且,则______.
例11.
在复平面内,点A对应的复数是 若点A关于实轴的对称点为点B,则点B对应的复数为.
例12.
已知复数,且复数,在复平面内对应的点关于实轴对称,则( )
A. B. C. D.
过关检测（15mins）
1.如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为,点,对应的数分别是,,则.
2. 在复平面内,复数的对应的点的坐标为
A. B. C. D.
3.复数在复平面内所对应的点在第象限.
4.已知为虚数单位,设复数满足,则( )
A. B. C. D.
5.已知复数()，若所对应的点在第四象限，求的取值范围.
课后练习
补救练习（20mins）
1.若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A.1 B．2 C．1或2 D．
2.已知集合为虚数单位)是纯虚数，则的值为（ ）
A. B.1 C. D.0
3.已知，复数的实部为，虚部为，则的取值范围是（ ）
A. B． C． D．
4.复数等于（ ）
A．8 B． C． D．
5.已知复数(是虚数单位),它的实部和虚部的和是( )
A． B．6 C．2 D．3
6.若复数满足(为虚数单位)，则为( )
A． B． C． D．
7.已知复数，(为虚数单位，)．若为实数，则的值为( )
A. 3 B.4 C.5 D. 6
8.复数复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D.第四象限
巩固练习（20mins）
1.已知复数，，若是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
2.设，是纯虚数，其中是虚数单位，则
3.“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.复数，则_____．
5.已知复数满足 (其中为虚数单位)，则的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
6.若设是复数，（其中表示的共轭复数），已知的实部是，则的虚部为
7.在复平面内，复数的对应点是，的对应点是，则（ ）
A. B. C. D.
拔高练习（20mins）
1.如果复数（是虚数单位）是实数，则实数
2若设是复数，（其中表示的共轭复数），已知的实部是，则的虚部为
3.设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知复数(为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. ，为的共轭复数，则_______．
6. 已知，复数的实部为，虚部为，则的取值范围是（ ）
A. B． C． D．
7.如果复数满足，那么的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
8.设，求满足且的复数.

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