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十二讲 随机变量及其分布
问题层级图
目标层级图
课前检测(10mins)
1.设随机变量的分布列如下:
1 2 3 4 5
则 为( )
A． B． C． D．
2.若随机变量的分布列为
-2 -1 0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当时,实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
3.随机变量的分布列为:,则等于( )
A． B． C． D．
4.随机变量的概率分布规律为,其中是常数,则的值为( )
A． B． C． D．
课中讲解
会计算离散型随机变量及其分布列Lv3
一、离散型随机变量的概念
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母,,,表示.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.
二、离散型随机变量的分布列及性质
1．一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为,取每一个值的概率,则表
…… ……
…… ……
称为离散型随机变量的概率分布列,简称为X的分布列,有时为了表达简单,也用等式表示的分布列.
2．离散型随机变量的分布列的性质
①()；
②.
例1.
若离散型随机变量的概率分布列为:
0 1
试求出常数与的分布列.
例2.
掷两颗骰子,设掷得点数和为随机变量:
(1)求的分布列；
(2)求.
过关检测(10mins)
－1 0 1
0.5
1. 设是一个离散型随机变量,其分布列为:
则等于(　　)
A．1 B．
C． D．
2.设随机变量X的概率分布列如下表所示:
0 1 2
,则当的取值范围是时,
3. 某公园设有自行车租车点, 租车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆自行车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为, ；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为,；两人租车时间都不会超过三小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ,求的分布列与数学期望 .
二、会计算常见离散型随机变量的分布列Lv4
一、两点分布
0 1
若随机变量X服从两点分布，即其分布列为，
其中称为成功概率。
例1
某项实验的成功率是失败率的2倍,用随机变量描述一次实验的成功次数,求的分布列.
二、相互独立事件
1.事件的相互独立性
设为两个事件,如果,则称事件A与事件B相互独立.
2.判断相互独立事件的方法
①利用定义:事件A、B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B)；反之亦然。
②利用性质:与相互独立,则与,与,与也都相互独立.
例1
某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
三、二项分布
在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量,如果在一次试验中某事件发生的概率是,那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是:,
于是得到随机变量的概率分布如下:
0 1 … …
… …
由于恰好是二项展开式中
的各项的值,所以称这样的随机变量服从二项分布,记作,其中为参数,并记
若,则,.
例1
为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响,某公司研发了一种新型防雾霾产品.每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测,只有两种检测都合格才能进行销售,否则不能销售.已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为,第二种检测不合格的概率为,两种检测是否合格相互独立.试求:
如果产品可以销售,则每台产品可获利40元;如果产品不能销售,则每台产品亏损80元(即获利元).现有该新型防雾霾产品3台,随机变量表示这3台产品的获利,求的分布列及数学期望.
四、超几何分布
在含有件次品的件新产品中,任取件,其中恰有件次品,则事件发生的概率为其中,且,,,称分布列
0 1 ……
……
为超几何分布列.
例1
为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标 和 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示为服药者.
从图中四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望;
例2
年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广.年月日,我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖.目前,国内青蒿人工种植发展迅速.
某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响,在山上和山下的试验田中分别种植了株青蒿进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了株青蒿作为样本,每株提取的青蒿素产量(单位:克)如下表所示:
从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取株,记这株的产量总和为,求随机变量的分布列和数学期望.
过关检测(20mins)
1.一名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有4个红灯,假设他在各路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是,遇到红灯停留的时间都是2分钟.
(1)求这名学生在途中到底三个路口时首次遇到红灯的概率；
(2)求这名学生在途中因遇到红灯停留的的总时间的分布列与期望.
2. 为了解学生暑假阅读名著的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.
人数本数 性别 1 2 3 4 5
男生 1 4 3 2 2
女生 0 1 3 3 1
(1)从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为4
的概率？
(2)若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人,设选到的男学生人数为,求随机变
量的分布列和数学期望;
三、离散型随机变量的期望及方差、正态分布Lv3
一、离散型随机变量的期望及方差
均值或数学期望:一般地,若离散型随机变量的概率分布为
… …
… …
则称为的均值或数学期望,简称期望．
(1)数学期望的特征:是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平
即在有限取值离散型随机变量的概率分布中,令,则有,,所以的数学期望又称为平均数、均值
(2)数学期望的性质:若(是常数),是随机变量,则也是随机变量,它们的分布列为
… …
… …
… …
于是
由此,我们得到了期望的一个性质:
此外:
如果,相互独立,则
若,则,
若随机变量服从几何分布，则 ，
2.①随机变量的方差:对于离散型随机变量,如果它所有可能取的值是,,…,,…,且取这些值的概率分别是,,…,,那么,
称为随机变量的均方差,简称为方差,式中的是随机变量的期望．
②标准差:的算术平方根叫做随机变量的标准差,记作.
③方差的性质:(1)；(2)；
例1
某班有的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出5名同学,那么其中数学成绩优秀的学生数,则等于( )
B. C．3 D.
例2
袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,每次摸取一个球记下颜色后放回,现连续取球8次,记取出红球的次数为,则X的方差＝________.
二、正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数,随机变量满足,则称的分布为正态分布,记作.
(2)正态总体在三个特殊区间取值的概率值
①;
②;
③.
(3)3原则
通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值,并简称为3原则.
正态总体几乎总取值于区间之内,而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.
例1
已知随机变量服从正态分布,且,则实数的值为( )
1 B. C. 2 D. 4
例2
已知随机变量,若,则.
过关检测(3mins)
1.已知随机变量服从正态分布,若,则 (A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977
2.设随机变量,且,则概率的值是( )
A．0.2 B．0.8 C．0.2或0.8 D．0.16
课后练习
补救练习(15mins)
1．某射手射击所得环数X的分布列为:
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(　　)
A．0.28 B．0.88
C．0.79 D．0.51
2. 一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则的值为(　　)
A. B.
C. D.
3.一名学生骑自行车上学,从他的家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概率都是.
(1)求这名学生首次遇到红灯前,已经过了两个交通岗的概率；
(2)求这名学生在途中遇到红灯数ξ的期望与方差.
4. 从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件:“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
(2)若该批产品共100件,从中任意抽取2件,表示取出的2件产品中二等品的件数,求的分布列．
巩固练习(20mins)
1. 随机变量的分布列如下:
其中成等差数列,若,则的值是 ．
2. 射击手射击1次,击中目标的概率为0.8,他连续射击5次,且各次射击是否击中相互之间没有影响．计算(结果保留到小数点后第2位):
(1)5次射击中恰有2次击中的概率；
(2)5次射击中至少有2次击中的概率；
(3)5次射击中恰有2次击中,且其中第3次击中的概率．
3. .在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中,两人一对一比赛规则如下:若某人某次投篮命中,则由他继续投篮,否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛,甲和乙每次投篮命中的概率分别是,.两人共投篮3次,且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.
(1)求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；
(2)若投篮命中一次得1分,否则得0分. 用表示甲的总得分,求的分布列和数学期望．
拔高练习(30mins)
1. 袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等．
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)用表示取出的3个小球上所标的最大数字,求随机变量的分布列和均值．
得分,求的分布列和数学期望．
2. 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．
(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．
(2)按比赛规则甲获胜的概率．
3. 随着2022年北京冬奥会的成功申办,冰雪项目已经成为北京市民冬季休闲娱乐的重要方式,为普及冰雪运动,寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营,其中一班有3名男生和1名女生参加,二班有2名男生和2名女生参加.活动结束时,要从参加冬令营的学生中选出部分学生进行展示.
(1)若要从参加冬令营的这8名学生中任选4名,求选出的4名学生中有女生的概率;
(2)若要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选2名,设随机变量表示选出的女生人数,求的分布列和数学期望.十二讲 随机变量及其分布
问题层级图
目标层级图
课前检测(10mins)
1.设随机变量的分布列如下:
1 2 3 4 5
则为( )
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】由分布列的性质可知: ,
,故选.
2.若随机变量的分布列为
-2 -1 0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
则当时,实数的取值范围是(　　)
A． B． C． D．【答案】C.
【解析】由题意可知,,
又∵, 所以的取值范围为 ,故选.
3.随机变量的分布列为:,则等于( )
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】由题意可知: , ,
∴ ,故选.
4.随机变量的概率分布规律为,其中是常数,则的值为( )
A． B． C． D．【答案】D.
【解析】由题意可知: , , , , 由分布列性质可知:,
∴,∴,故选.
课中讲解
会计算离散型随机变量及其分布列Lv3
一、离散型随机变量的概念
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母,,,表示.所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.
二、离散型随机变量的分布列及性质
1．一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为,取每一个值的概率,则表
…… ……
…… ……
称为离散型随机变量的概率分布列,简称为X的分布列,有时为了表达简单,也用等式表示的分布列.
2．离散型随机变量的分布列的性质
①()；
②.
例1.
若离散型随机变量的概率分布列为:
0 1
试求出常数与的分布列.
【答案】,从而的分布列为:
0 1
【解析】由离散型随机变量分布列的基本性质知:
解得常数,从而的分布列为:
0 1
例2.
掷两颗骰子,设掷得点数和为随机变量:
(1)求的分布列；
(2)求.
【答案】(1)的分布列为:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(2)
【解析】(1)用数轴表示出掷骰子的所有结果如图所示
的取值为2,3,4,…,10,11,12.
,
,
,
,
,
.
∴的分布列为:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(2).
过关检测(10mins)
-1 0 1
0.5
1. 设是一个离散型随机变量,其分布列为:
则等于(　　)
A．1 B．
C． D．
【答案】C
【解析】由分布列的性质得:
∴
2.设随机变量X的概率分布列如下表所示:
0 1 2
,则当的取值范围是时,
【答案】
【解析】∵,
∴∵,
∴.
3. 某公园设有自行车租车点, 租车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆自行车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为, ；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为,；两人租车时间都不会超过三小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ,求的分布列与数学期望 .
【答案】(1)甲、乙两人所付租车费用相同的概率为.
(2)的分布列为
数学期望
【解析】(1)甲、乙两人所付费用相同即为,,元.
都付元的概率为；
都付元的概率为；
都付元的概率为；
故所付费用相同的概率为.
(2)依题意,的可能取值为,,,,.
； ；
； ；
.
故的分布列为
所求数学期望.
二、会计算常见离散型随机变量的分布列Lv4
一、两点分布
0 1
若随机变量X服从两点分布，即其分布列为，
其中称为成功概率。
例1
某项实验的成功率是失败率的2倍,用随机变量描述一次实验的成功次数,求的分布列.
【答案】的分布列为:
0 1
【解析】因为实验的成功率是失败率的2倍,所以,,
所以的分布列为:
0 1
二、相互独立事件
1.事件的相互独立性
设为两个事件,如果,则称事件A与事件B相互独立.
2.判断相互独立事件的方法
①利用定义:事件A、B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B)；反之亦然。
②利用性质:与相互独立,则与,与,与也都相互独立.
例1
某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
【答案】(1)该选手进入第四轮才被淘汰的概率为；
(2)该选手至多进入第三轮考核的概率为.
【解析】(1)记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为,
则,,,,
∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率:
．
(2)该选手至多进入第三轮考核的概率:
．
三、二项分布
在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在次独立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变量,如果在一次试验中某事件发生的概率是,那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是:,
于是得到随机变量的概率分布如下:
0 1 … …
… …
由于恰好是二项展开式中
的各项的值,所以称这样的随机变量服从二项分布,记作,其中为参数,并记
若,则,.
例1
为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响,某公司研发了一种新型防雾霾产品.每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测,只有两种检测都合格才能进行销售,否则不能销售.已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为,第二种检测不合格的概率为,两种检测是否合格相互独立.试求:
如果产品可以销售,则每台产品可获利40元;如果产品不能销售,则每台产品亏损80元(即获利元).现有该新型防雾霾产品3台,随机变量表示这3台产品的获利,求的分布列及数学期望.
【答案】的分布列为
-240 -120 0 120
【解析】的所有可能取值为-240,-120,0,120
该产品可以销售的概率，
,
,
所以的分布列为
-240 -120 0 120
四、超几何分布
在含有件次品的件新产品中,任取件,其中恰有件次品,则事件发生的概率为其中,且,,,称分布列
0 1 ……
……
为超几何分布列.
例1
为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标 和 的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示为服药者.
从图中四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望;
【答案】的分布列为:
0 1 2
【解析】由图,两人指标的值大于1.7,而两人则小于1.7,可知在四人中随机选出的人,的可能取值为0,l,2.
,, ;
∴ 的分布列为:
0 1 2
,即所求数学期望为1.
例2
年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推广.年月日,我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖.目前,国内青蒿人工种植发展迅速.
某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响,在山上和山下的试验田中分别种植了株青蒿进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了株青蒿作为样本,每株提取的青蒿素产量(单位:克)如下表所示:
从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取株,记这株的产量总和为,求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】的分布列为
7.2 7.4 8.0 8.2 8.6 9.4
所以,数学期望(克).
【解析】的可能取值为,所以
;;
;;
;.
所以的分布列为
7.2 7.4 8.0 8.2 8.6 9.4
所以,数学期望(克).
过关检测(20mins)
1.一名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有4个红灯,假设他在各路口遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是,遇到红灯停留的时间都是2分钟.
(1)求这名学生在途中到底三个路口时首次遇到红灯的概率；
(2)求这名学生在途中因遇到红灯停留的的总时间的分布列与期望.
【答案】(1)这名学生在途中到底三个路口时首次遇到红灯的概率
(2)的分布列是
0 2 4 6 8
的期望是.
【解析】(1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为.
(2)由题意,可得可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min).
事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”,
∴ ,
的分布列是
0 2 4 6 8
∴的期望是.
2. 为了解学生暑假阅读名著的情况,一名教师对某班级的所有学生进行了调查,调查结果如下表.
人数本数 性别 1 2 3 4 5
男生 1 4 3 2 2
女生 0 1 3 3 1
(1)从这班学生中任选一名男生,一名女生,求这两名学生阅读名著本数之和为4
的概率？
(2)若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人,设选到的男学生人数为,求随机变
量的分布列和数学期望;
【答案】(1)这两名学生阅读名著本数之和为4的概率为
(2) 随机变量的分布列为
数学期望.
【解析】
解:(1)设事件:从这个班级的学生中随机选取一名男生,一名女生,这两名学生阅
读本数之和为4.
由题意可知,.
(2)阅读名著不少于4本的学生共8人,其中男学生人数为4人,故的取值为
.
由题意可得;;
;;
.
所以随机变量的分布列为
随机变量的均值.
三、离散型随机变量的期望及方差、正态分布Lv3
一、离散型随机变量的期望及方差
均值或数学期望:一般地,若离散型随机变量的概率分布为
… …
… …
则称为的均值或数学期望,简称期望．
(1)数学期望的特征:是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平
即在有限取值离散型随机变量的概率分布中,令,则有,,所以的数学期望又称为平均数、均值
(2)数学期望的性质:若(是常数),是随机变量,则也是随机变量,它们的分布列为
… …
… …
… …
于是
由此,我们得到了期望的一个性质:
此外:
如果,相互独立,则
若,则,
若随机变量服从几何分布，则 ，
2.①随机变量的方差:对于离散型随机变量,如果它所有可能取的值是,,…,,…,且取这些值的概率分别是,,…,,那么,
称为随机变量的均方差,简称为方差,式中的是随机变量的期望．
②标准差:的算术平方根叫做随机变量的标准差,记作.
③方差的性质:(1)；(2)；
例1
某班有的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出5名同学,那么其中数学成绩优秀的学生数,则等于( )
B. C．3 D.
【答案】D
【解析】∵,∴,故选D.
例2
袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,每次摸取一个球记下颜色后放回,现连续取球8次,记取出红球的次数为,则X的方差＝________.
【答案】2
【解析】∵∴
二、正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数,随机变量满足,则称的分布为正态分布,记作.
(2)正态总体在三个特殊区间取值的概率值
①;
②;
③.
(3)3原则
通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值,并简称为3原则.
正态总体几乎总取值于区间之内,而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.
例1
已知随机变量服从正态分布,且,则实数的值为( )
1 B. C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】∵∴,又∵,∴,选.
例2
已知随机变量,若,则.
【答案】0.36
【解析】由正态分布图象的对称性可得:.
过关检测(3mins)
1.已知随机变量服从正态分布,若,则 (A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977
【答案】C
【解析】选.已知随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又∵,∴,
∴,故选.
2.设随机变量,且,则概率的值是( )
A．0.2 B．0.8 C．0.2或0.8 D．0.16
【答案】C
【解析】∵,∴,解得,选.
课后练习
补救练习(15mins)
1．某射手射击所得环数X的分布列为:
X 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为(　　)
A．0.28 B．0.88
C．0.79 D．0.51
【答案】C
【解析】
2. 一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则的值为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球,
故
3.一名学生骑自行车上学,从他的家到学校的途中有6个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概率都是.
(1)求这名学生首次遇到红灯前,已经过了两个交通岗的概率；
(2)求这名学生在途中遇到红灯数ξ的期望与方差.
【答案】(1)这名学生首次遇到红灯前,已经过了两个交通岗的概率为;
(2)这名学生在途中遇到红灯数的期望,方差
【解析】(1)由于该学生在各交通岗遇到红灯的事件是独立的,利用相互独立事件的概率,
其首次遇到红灯前已经过了两个交通岗的概率．
(2)依题意该学生在途中遇到红灯数ξ服从二项分布
则期望望,方差
4. 从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件:“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
(2)若该批产品共100件,从中任意抽取2件,表示取出的2件产品中二等品的件数,求的分布列．
【答案】(1)从该批产品中任取1件是二等品的概率;
(2)的分布列为
0 1 2
【解析】(1)记表示事件“取出的2件产品中无二等品”,
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．
则互斥,且,
故
于是.解得；
(2)的可能取值为.
若该批产品共100件,由(1)知其二等品有件,
故,,．
所以的分布列为
0 1 2
巩固练习(20mins)
1. 随机变量的分布列如下:
其中成等差数列,若,则的值是 ．
【答案】；
【解析】
由题意知:,解得,
所以.
2. 射击手射击1次,击中目标的概率为0.8,他连续射击5次,且各次射击是否击中相互之间没有影响．计算(结果保留到小数点后第2位):
(1)5次射击中恰有2次击中的概率；
(2)5次射击中至少有2次击中的概率；
(3)5次射击中恰有2次击中,且其中第3次击中的概率．
【答案】(1)0.05；
(2)0.99；
(3)0.02
【解析】根据题意,设为5次射击中恰有次击中的概率,
(1)5次射击中恰有2次击中的概；
(2)“5次射击中至少有2次击中”与“最多击中2次”为对立事件,
则5次射击中至少有2次击中的概率
(3)5次射击中恰有2次击中,且其中第3次击中
即第3次击中与其余的4次试验中有恰有2次发生,
故其概率
3.在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中,两人一对一比赛规则如下:若某人某次投篮命中,则由他继续投篮,否则由对方接替投篮. 现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛,甲和乙每次投篮命中的概率分别是,.两人共投篮3次,且第一次由甲开始投篮. 假设每人每次投篮命中与否均互不影响.
(1)求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；
(2)若投篮命中一次得1分,否则得0分. 用表示甲的总得分,求的分布列和数学期望．
【答案】(1)3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是;
(2)的分布列为:
0 1 2 3
【解析】(1)记 “3次投篮的人依次是甲、甲、乙” 为事件A.
由题意, 得．
答:3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是．
(2)由题意,的可能取值为0,1,2,3,则
, ,
, ．
所以,的分布列为:
0 1 2 3
的数学期望.
拔高练习(30mins)
1. 袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等．
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)用表示取出的3个小球上所标的最大数字,求随机变量的分布列和均值．
【答案】(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率为；
(2)随机变量的分布列为:
1 2 3 4
【解析】(1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为,
则 ．
(2)由题意所有可能的取值为:,,,.
；
；
；
．
随机变量的分布列为:
1 2 3 4
随机变量的均值为
.
2. 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．
(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．
(2)按比赛规则甲获胜的概率．
【答案】记事件=“甲打完3局才能取胜”,记事件=“甲打完4局才能取胜”,
记事件=“甲打完5局才能取胜”
(1)甲打完3局才能取胜概率,甲打完4局才能取胜概率,
甲打完5局才能取胜概率;
(2)按比赛规则甲获胜的概率为.
【解析】甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为．
记事件=“甲打完3局才能取胜”,记事件=“甲打完4局才能取胜”,
记事件=“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜,相当于进行3次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜
∴甲打完3局取胜的概率为．
②甲打完4局才能取胜,相当于进行4次独立重复试验,且甲第4局比赛取胜,前3局为2胜1负
∴甲打完4局才能取胜的概率为．
③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验,且甲第5局比赛取胜,前4局恰好2胜2负
∴甲打完5局才能取胜的概率为．
(2)事件＝“按比赛规则甲获胜”,则,
又因为事件、、彼此互斥,
故．
答:按比赛规则甲获胜的概率为．
3. 随着2022年北京冬奥会的成功申办,冰雪项目已经成为北京市民冬季休闲娱乐的重要方式,为普及冰雪运动,寒假期间学校组织高一年级学生参加冬令营,其中一班有3名男生和1名女生参加,二班有2名男生和2名女生参加.活动结束时,要从参加冬令营的学生中选出部分学生进行展示.
(1)若要从参加冬令营的这8名学生中任选4名,求选出的4名学生中有女生的概率;
(2)若要从一班和二班参加冬令营的学生中各任选2名,设随机变量表示选出的女生人数,求的分布列和数学期望.
【答案】(1)选出的4名学生中有女生的概率为;
(2)的分布列为:
0 1 2 3
【解析】(1)设选出的4名学生中有女生为事件,
则
(2)随机变量可取值为,则
随机变量的分布列为
0 1 2 3

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