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一维定态薛定谔方程的应用
若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。
为了简化计算，提出理想模型——无限深势阱。
一维无限深势阱：
一维定态薛定谔方程的应用
一、一维无限深势阱
a


势能不显含时间，而且分段，用薛定谔方程求解
时分为势阱内外分别进行
a


势阱外，定态薛定谔方程
由条件
而E为有限值
2
保守力与势能之间的关系：
在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的力，表明粒子不能越出势阱，即粒子在势阱外的概率为0。
势阱内的一维定态薛定谔方程为：
解为：
由边界条件得：
据归一化条件，得
得波函数表达式：
（1）粒子能量不能取连续值
得
能量取分立值（能级），能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质。
由
讨论：
波函数
（2）粒子的最小能量不等于零
最小能量
也称为基态能或零点能。
零点能的存在与不确定度关系协调一致。
不受外力的粒子在 0 到 a 范围内
出现概率处处相等。
量子论观点：
0
a
=1
=2
=3
=4
n
n
n
n
0
a
当 很大时， 量子概率分布就接近经典分布
经典观点：
（4）有限深势阱，粒子出现的概率分布
如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于势壁，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。
0
a
经典理论无法解释，实验得到证实。
得到两相邻能级的能量差
例题13-15 设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别为1.0×10-2m和10-10m。试讨论这两种情况下，相邻能级的能量差。
解：根据势阱中的能量公式
可见，两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我们可以把电子的能级看作是连续的。
当a=10-10m时
在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，这时电子能量的量子化就明显的表现出来。
当a=1cm时
当n>>1 时，能级的相对间隔近似为
可见能级的相对间隔
随着n的增加成反比地减小。
要小的多。这时，能量的量子
较之
当
时 ，
化效应就不显著了，可认为能量是连续的，经典图样和量
子图样趋与一致。所以，经典物理可以看作是量子物理中
时的极限情况。
量子数

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