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二项式定理的应用
二项式定理
⑴这个公式叫做二项式定理.
⑵展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有项.
⑶二项式系数：各项的系数叫做二项式系数.
展开式的通项
展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作.
题型 求某项系数
例. 二项式中展开式的常数项是
例. 在的展开式中，的系数是
例. 若二项式的展开式中的第四项等于,则的值是
题型 多个多项式
例. 的展开式中，的系数是
例. 设则 ； ；
例. 的展开式中的系数为.
例. 求当的展开式中的一次项的系数为.
例. 求式子的常数项为
例. 的展开式中，的系数是
例. 的展开式中的系数是
例. 求的展开式中的系数是
例. 求展开式中的常数项是
例. 已知的展开式中没有常数项，且，则
题型 系数特征
例. 在的展开式中，系数为有理数的项有 项.
例. 求二项式的展开式中的有理项 .
例. 的展开式中第项与第项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项 ，系数最大的项 .
例. 在的展开式中，求二项式系数最大的项 .
例. 在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是 .
题型 求系数和
常用赋值举例：
⑴设，
①令，可得：
②令，可得：，即（假设为偶数），再结合①可得：
⑵设
①令，则有：，即展开式系数和
②令，则有：，即常数项
③令，设为偶数，则有：，所以，即偶次项系数和与奇次项系数和的差，由①③即可求出和的值
例. 已知，求的值 .
例. 已知，则的值为 .
例. 设，则的值为 .
例. 若，则等于 .
例. 若，且，则等于 .
例. 已知，若，则的值为 .
例. ，则的值是 .
例. 已知，，若，则 .
题型 逆用
例. .
例. .
题型 应用
例. 证明：能被整除
例. 已知，求证：能被整除.二项式定理的应用
二项式定理
⑴这个公式叫做二项式定理.
⑵展开式：等号右边的多项式叫做的二项展开式，展开式中一共有项.
⑶二项式系数：各项的系数叫做二项式系数.
展开式的通项
展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作.
题型 求某项系数
例. 二项式中展开式的常数项是
答案：常数项为.
例. 在的展开式中，的系数是
答案：.
例. 若二项式的展开式中的第四项等于,则的值是
答案：.
题型 多个多项式
例. 的展开式中，的系数是
答案：的系数为.
例. 设则 ； ；
答案：，
.
例. 的展开式中的系数为.
答案：的系数为.
例. 求当的展开式中的一次项的系数为.
分析：解法①：，，当且仅当时，的展开式中才有的一次项，此时，所以的一次项为，它的系数为.
解法②：
故展开式中含有的项为，故展开式中的系数为.
例. 求式子的常数项为
答案：，设第项为常数项，则，得，所以.
例. 的展开式中，的系数是
分析：已知表达式展开式中每一项由两部分相乘而成，要想凑得，不妨从其中一个式子切入进行分类讨论（以为例）
1：出，则出，该项为：
2：出，则出，该项为：
3：出，则出，该项为：
综上所述：合并同类项后的系数是.
例. 的展开式中的系数是
分析：本题不利于直接展开所有项，所以考虑将其转化为个因式如何分配所出项的问题：若要凑成有以下几种可能：
⑴：个，个，个，所得项为：
⑵：个，个，所得项为：，所以的系数是.
例. 求的展开式中的系数是
分析：因为的展开式的通项是，
的展开式的通项是，令，则有且，且，且，因此的展开式中的系数等于.
例. 求展开式中的常数项是
答案：
例. 已知的展开式中没有常数项，且，则
分析：的展开式的通项为，通项分别与前面三项相乘可得，因为展开式中不含常数项，
所以且且，即且且，所以
题型 系数特征
例. 在的展开式中，系数为有理数的项有 项.
答案：项
例. 求二项式的展开式中的有理项 .
分析：，令得或
当时，，
当时，.
例. 的展开式中第项与第项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项 ，系数最大的项 .
分析：二项展开式的通项，由第项与第项的系数相等得，，所以展开式中二项式系数最大得项为，设第项系数最大，则，解之得即或，所以系数最大得项为或.
例. 在的展开式中，求二项式系数最大的项 .
分析：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项.
例. 在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是 .
分析：只有第项的二项式最大，则，即，所以展开式中的常数项为第项等于.
题型 求系数和
常用赋值举例：
⑴设，
①令，可得：
②令，可得：，即（假设为偶数），再结合①可得：
⑵设
①令，则有：，即展开式系数和
②令，则有：，即常数项
③令，设为偶数，则有：，所以，即偶次项系数和与奇次项系数和的差，由①③即可求出和的值
例. 已知，求的值 .
分析：令，得，
令，得，
所以
求展开式系数和，充分利用赋值法.
赋值时，一般地，对于多项式有以下结论：
⑴的二项式系数和为；
⑵的奇数项的二项式系数和偶数项的二项式系数和；
⑶的各项系数和为；
⑷的奇数项的系数和为；
⑸的偶数项的系数和为.
例. 已知，则的值为 .
分析：本题虽然等式左侧复杂，但仍然可通过对赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令，得到，只需要再求出即可.令可得，所以.
例. 设，则的值为 .
分析：所求，在恒等式中令可得，令可得，所以
例. 若，则等于 .
分析：虽然的展开式系数有正有负，但与对应系数的绝对值相同，且展开式的系数均为正数.所以只需计算的展开式系数和即可.可得系数和为，所以.
例. 若，且，则等于 .
分析：由可得或，解得，所求表达式只需令，可得.
例. 已知，若，则的值为 .
分析：在恒等式中令可得系数和，与条件联系可考虑先求出，，令，可得，展开式中为最高次项系数，所以，所以,所以，即，解得.
例. ，则的值是 .
分析：设所以，令可得而在中，令，可得，所以.
例. 已知，，若，则 .
分析：由条件中恒等式的特点可得对应项的系数相等，在中，与相关的最高次项为，故以此为突破口求，等式左边的系数为，而右边的系数为，所以，
只需再求出即可，同样选取含的最高次项，即，左边的系数为，右边的系数为，所以，从而解得.
题型 逆用
例. .
答案：
例. .
答案：
题型 应用
例. 证明：能被整除
分析：
由于各项均能被64整除所以能被整除.
例. 已知，求证：能被整除.
分析：
显然括号内的数为正整数，故原式能被整除.

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