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（一维）自由粒子波函数
（一维）自由粒子波函数
沿x轴正方向传播的经典平面波的波函数为
它的复数形式为
一个自由粒子有动能E和动量p x，其对应的德布罗意波可用角频率 和波矢量 来表示。
自由粒子：空间各点概率相同，平面波
统计解释赋予波函数物理含义，对波函数有何要求？
波函数：某时刻，空间分布的概率幅（密度）
对波函数的要求：
1. 单值（允许有相位差）
2. 连续，函数及其各阶导连续（奇异点除外）
3. 有限，概率密度微元积分有限
4. 归一，全空间积分=1
定量地描述微观粒子的状态，引入波函数
那么，波函数是如何描述微观粒子运动状态的？
波函数：时间和空间的复函数，但它本身并不代表任何可观测的物理量。
经典：
量子：
修改了“存在” 的概念
存在 = 叠加
量子存在：波（相干叠加）粒（存在）二相
波函数 ，和概率相关。
本身并不代表任何可观测的物理量
因此波函数 y 又叫概率幅
波函数模的平方
代表t 时刻在空间坐标 附近单位体积内发现粒子的概率，即粒子出现的概率密度。
这里 是 的复共轭
在体积元中发现粒子的概率：
例：将波函数 归一化。
计算积分得：
则归一化的波函数为:
归一化它
设归一化因子为A，则波函数为
式中m为粒子质量。因为自由粒子不受外力场作用，其动能就是总能量。
用 E 和 p x 代替 和k，直接写出自由粒子平面波函数
平面波归一化：
归一化常数
自由粒子（坐标自由，无处不在）
确定的动量（动量受限，状态指标）
确定的动量和能量
思考：
如果坐标完全受限，动量空间完全受限，波函数如何？
自由粒子：动量确定，坐标自由
动量和坐标不能同时确定
经典：
确定的动量和坐标（一定精度范围内）
决定论，确定性
态叠加，不确定性
量子波函数：叠加，演化
*例2：波长l0= 0.1 的 x 射线与静止的自由电子碰撞。在与入射方向成90°角的方向观察时，散射波长多大？反冲电子的动能与动量多大？
e
解：
求散射波长
= lc
=0.1+0.024
=0.124( )
故：散射波长为 0.124 和0.1
反冲电子的动能
=3.8×10 -15J
=2.4×104eV
例3: 1959年，庞德（R.V.Pound）和瑞布卡（Q.A. Rebka）在哈佛塔做了一个著名的“引力紫移”实验。他们把发射14.4 keV的 光子的放射源 放在塔顶，在塔底测量它射来的 光子的频率 ，发现比在塔顶的频率 高了。已知塔高22.6m，利用光子在重力场中的能量守恒关系计算 。
解: 频率为 的光子具有质量
光子受到地球引力的作用，因此具有重力势能。取塔底的重力势能为零，则光子在重力场中的能量守恒关系为
其中 g为重力加速度，H为塔高。由上式可以得到
与他们实验测量的结果
是符合的。如果把 光子源放在塔底而在塔顶测量，那么观测到的就应是“引力红移”了。

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