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方向导数与梯度, 格林定理
方向导数与梯度, 格林定理
标量场φ(x, y, z)在某点沿l方向的变化率称为φ
沿该方向的方向导数 。它的值与所选取的方向 有关, 设
方向导数
一、方向导数与梯度
每个坐标长度增量同各自坐标增量之比, 称为度量系数, 又称拉梅(G .Lame)系数, 分别为
直角坐标：
柱坐标：
球坐标：
与三个单位矢量相垂直的三个面积元和体积元分别是
面积元：
体积元：
直角坐标：
柱坐标：
面积元：
体积元：
球坐标：
面积元：
体积元：
是一个矢量
的模就是 在给定点的最大方向导数
方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即 的变化率最大的方向。
密勒算子
直角坐标：
柱坐标：
球坐标：
梯度运算规则:
2、梯度的物理意义
1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；
2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。
任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。
任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度
任何梯度场一定是无旋场。
梯度的重要性质
矢量场的通量
矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述
矢量场的通量
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；
在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
通过闭合面S的通量的物理意义：
在直角坐标系中，通量可以写成
a) 若 ，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；
b) 若 ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源；
c) 若 ，闭合面无源。

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