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轨道角动量
氢原子，单电子，电子在原子核的库仑场中运动，中心立场，势能函数为：
中心力场，角动量守恒，
在经典力学中，角动量定义为
在量子力学中，
轨道角动量
求角动量的本征方程
首先定义角动量算符！
定义角动量的平方算符
中心力场，中心对称，方程表达在球坐标下
角动量和哈密顿对易，角动量守恒，角动量模长，角动量投影，哈密顿，三者共享本征函数
先求最简单的，角动量投影算符 的本征函数
在球坐标系中，轨道角动量z轴投影
y
r
x
z
0
球坐标与直角坐标系之间坐标变换
一维问题，一阶线性微分方程
的本征方程
其中
是本征值，
是本征波函数。
通解：
由周期性边界条件
，限定ml取值
由波函数的归一化条件
得
则角动量在z轴上的投影
的归一化本征波函数为:
这要求ml必须是整数，
即
在球坐标系中，轨道角动量
的本征方程
角动量算符
和
的共同本征波函数可写作
微分相加，无交叉项，分离变量
本征方程：
其中，
已解，有态指标
根据波函数的量子化条件（略过程），得本征值
本征方程变为为:
其中 l 称为角量子数，
,称为轨道磁量子数。
和
的共同本征函数是球谐函数
l=0,1,2的球谐函数
取核所在点为原点：
x
y
z
0
r
则球坐标中的定态薛定谔方程为
线性齐次微分方程，微分相加无交叉，分离变量法
薛定谔方程
动能项，和角动量有关
根据对易关系：
有共同本征函数,
部分已求解
总的波函数
为球谐函数：

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