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含时薛定谔方程
微观粒子状态随时间变化的动力学方程
薛定谔方程满足的几个条件：
（1）时间一阶导（坐标动量地位相等）
（3）方程是普遍适用的（系数不包括状态参量）
（2）方程是线性的（态叠加原理）
含时薛定谔方程
满足以上几个条件，由自由粒子的运动方程，引出普遍的波动方程
在经典力学中，物体的运动满足牛顿定律，它给
出了物体运动状态随时间的变化规律。
在量子力学中，微观粒子的运动规律用薛定谔方程描述。所谓微观粒子的运动规律, 也就是波函数 ψ 随时间和空间的变化规律。
玻恩的统计观点解释了微观粒子波动性和粒子性之间的关系，但是并没有说明波函数是如何随时间变化的，我们还需要知道微观粒子的运动遵循什么样的规律？
薛定谔方程是量子力学的基本方程，在量子力学中的地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位。
薛定谔方程的诞生：
德布罗意论文寄送到维也纳大学，德拜命中年讲师薛定谔解读论文
德拜:“既然是波，总应该有一个波动方程”
瑞士联邦工业大学
物理讨论会（1926）
德
拜
薛
定
谔
再读，凑出来薛定谔方程
通篇物质波，物质波到底是什么？无解，无奈，退而求其次
设粒子沿x方向运动, 波函数为
对x求一阶偏导
对t求一阶偏导
（1）
（2）
1. 以自由粒子为例
操作即算符
方程（2）表示波函数随时间的演化，但方程中含有状态量E，不能算是波动方程，必须借助动量算符，得到哈密顿算符的另一种表达形式
讨论
通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，利用能量关系式E = p2/2m可以导出如下方程：
即得自由粒子的薛定谔方程
再做算符替换：
称为能量算符
称为动量算符
动量算符
作用在波函数上，得到如下作用结果
坐标和动量的对易关系，
其他力学量算符的对易关系，同理可得
微分 导出 对易关系！
推论
2.一维势场中的薛定谔方程
势场中粒子能量
得一维势场中的薛定谔方程
用算符代替物理量
3. 推广到三维势场中粒子
引入拉普拉斯算符
上式写成
引入哈密顿算符
可得一般形式的薛定谔方程
这就是薛定谔（1926）提出的描述微观粒子运动规律的非相对论的波动方程：
狄拉克（1928）提出了相对论性的狄拉克方程，
它们是量子力学的基本方程，二人分享了1933年
诺贝尔物理学奖。
两个独立的方程：
二阶微分方程
一阶微分方程
定态波函数
先解相对简单的一阶微分方程
得到时间部分的解
时空合解：

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