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氢原子 薛定谔方程
氢原子 薛定谔方程
一、氢原子的薛定谔方程
薛定谔方程提出后，首先被用于求解氢原子，取
得了巨大成功。在氢原子中，电子在原子核的库仑场中运动，势能函数为：
U(r)不随时间变化，属定态问题，薛定谔方程为
U是r的函数，用球坐标 代替(x,y,z)。
负能量
二、重要结论
1. 能量量子化：氢原子能量取离散值
式中玻尔半径
n 为主量子数。n = 1 的量子态叫基态，其能量为
主量子数 n 决定总能量，不同角动量对应相同能量
能级简并：不同的量子态能量相同，简并度
每一个n的简并度？
以上结果只对氢原子和类氢粒子有效，单电子！
多电子能级由 n 和 l 共同决定！
例1. 处于第一激发态(n=2)的氢原子，如用可见光照射，能否使之电离？
解：使第一激发态氢原子电离
可见光最大能量：
故不能。
可见光的波长范围 400—800nm
该初始状态的主量子数为即
例2. 当氢原子从某初始状态跃迁到激发能（从基态到激发态所需的能量）为△E=10.19eV的状态时，发射出光子的波长是λ=4860Ao，试求该初始状态的能量和主量子数。
（普朗克常量 h = 6.63×10-34J·s, l eV=1.60×10-19J）
En
Ek
E1
解：所发射的光子能量为,
ε= hc/λ= 2 .56eV
氢原子在激发能为10.19eV的能级时，其能量Ek为,
Ek = E1+△E = -13.6+10.19=-3.41e V
氢原子在初始状态的能量En为,
ε= En -Ek , En =ε+Ek = 2.56-3.41=-0.85eV
△E=10.19eV
2. 角动量量子化：
角动量的长度是量子化的， L 表示角动量的大小，
对于给定的主量子数 n ，
l 称为轨道角动量量子数, 简称角量子数
3. 角动量投影量子化 ：
ml 称为磁量子数。
轨道角动量 的空间取向量子化，表现为 Lz不连续
注意 ：区分角动量量子数和角动量的大小！
注意： 磁量子数和角动量投影取值一致！
O
L
Lz
Lx
Ly
x
y
z
θ
以 l = 2 为例，画出空间量子化的情况。
x
y
z，
0
θ
设外磁场方向为z轴方向，则轨道角动量在z方向的投影为
4. 本征波函数
(1)归一化：
简并（单电子）或非简并（多电子）
量子数 ( n, l, ml ) 的每一种组合都表示一种不同的电子状态，用波函数表示:
例如:
径向波函数:
角度波函数：
在半径 r ~r +dr 之间的薄
球壳内电子出现的概率为
(2) 电子径向概率分布
(nl)
（3) 电子角向概率分布
( , )方向立体角d

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