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散度定理 The divergence theorem
上式称为散度定理, 也称为高斯公式。
散度定理 The divergence theorem
矢量的散度代表其通量的体密度, 因此, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量, 即
从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。
从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。
如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。
散度定理的物理意义：
2、散度的物理意义
1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
1、定义：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的
通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该
点的散度，以 div A 表示，即
3、直角坐标系中散度的表示
散度可用算符 哈密顿 表示为
哈密顿
拉普拉斯 2
正源
负源
无源
散度的基本运算公式
C为常矢量
k为常数
u为标量
矢量A沿某封闭曲线的线积分, 定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量), 记为
环量 Curl of a vector field
为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS趋近于零, 取极限
这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。
由于面元是有方向的, 它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系, 因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。 为此, 引入旋度(?curl或rotation?):
定义：
旋度的物理意义
矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时, 该面元矢量的方向 。
它描述A在该点处的旋涡源强度。
若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。
矢量A的旋度可表示为密勒算子 与A的矢量积, 即
计算▽×A时, 先按矢量积规则展开, 然后再作微分运算, 得
旋度的计算
即
旋度运算规则:
在直角坐标系中有

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