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势垒穿透 (Barrier penetration)
半无限深方势阱的势能函数为
定态薛定谔方程,
定性分析求解：波函数连续可导，左井外无概率，右井可穿透，束缚态，半驻波，井外指数衰减，能级对应波节数
得到如下图所示量子化的能级、波函数和概率密度。
E
O
a/2
x
U0
U
-a/2
势垒穿透 (Barrier penetration)
原子操纵
1994年初，中国科学院真空物理实验室的研究人员成功地利用一种新的表面原子操纵方法，通过STM在硅单晶表面上直接提走硅原子，形成平均宽度为2纳米(3至4个原子)的线条。从STM获得的照片上可以清晰地看到由这些线条形成的“100”字样和硅原子晶格整齐排列的背景。
1993年,科罗米等在铜表面用扫描隧道显微镜针尖的操作, 移动48个Fe原子组成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。
单个氙原子(尺度为0.1纳米)已被排列成了一列
吸附在铂单晶表面上的碘原子3×3阵列STM图象
例1：一粒子在一维无限深方势阱中运动而处于
基态。从阱宽的一端到离此端点1/4阱宽的距离
内它出现的概率多大？
解：
基态波函数为: n=1,
粒子从阱宽的一端到离此端点1/4阱宽的距离内它出现的概率为
例2: 一质量为m的粒子在自由空间绕一定点作圆周运动，圆半径为r。求粒子的波函数并确定其可能的能量值和角动量值。
解: 取定点为坐标原点，圆周所在的平面为xy平面。由于r 和 都是常量，所以 只是方位角 的函数。令 表示此波函数。又因为U=0，所以粒子的薛定谔方程式可变为
或
和自由粒子平面波运动方程类似，其解表达为
其中
（2.6）式是 的单值有限连续函数。单值性要求
(2.6)
(2.7)
（2.8）式给出ml 必须是整数,即
由此得
(2.8)
(2.9)
或
所有 值范围内的总概率为1--归一化条件，求出 式中归一化因子A的值，由此得
于是有
将此值代入（2.6）式，得和 相对应的定态波函数为：
（2.10）
设任意的初位相为零

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