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谐振子 ( Harmonic oscillator)
一、势函数
m：振子质量， ：固有频率，x：位移
二、定态薛定谔方程
谐振子 ( Harmonic oscillator)
哈密顿量
有定态薛定谔方程
这是一个变系数常微分方程，求解复杂，直接给结果。
波函数的单值、有界、连续性要求谐振子的能量必须是量子化的，求得能级公式为（其中 n 为量子数）
结论
O
x
n=0
n=3
n=2
n=1
|ψ0|2
|ψ3|2
|ψ2|2
|ψ1|2
1. 普朗克假设的谐振子能量量子化是解薛定谔方程的自然结果。
2. 能级是等间隔的，
基态能量为
称为零点能。
零点能：谐振子的最低能量不等于零，即它永远不能静止不动。这与经典力学截然不同, 是波粒二向性的表现，可用不确定关系加以说明。
3. 谐振子运动中可能进入势能大于其总能量的区域。
O
x
n=0
n=3
n=2
n=1
|ψ0|2
|ψ3|2
|ψ2|2
|ψ1|2
一唯谐振子的能级和概率密度分布图
4. 量子的基态位置概率分布在x=0处概率最大，而经典谐振子基态（能量零点）在x=0处静止不动（概率1）
5.当 零点能可忽略，对应经典谐振子情况。
最后得粒子的波函数为
（2.11）
由（2.7）式可得
（2.12）
此式说明，由于 是整数，所以粒子的能量只能取离散的值。这就是说，这个做圆周运动的粒子的能量“量子化”了。在这里，能量量子化这一微观粒子的重要特征很自然地从薛定鄂方程和波函数的标准条件得出了. 是量子数。
即角动量也量子化了，而且等于 的整数倍。
根据能量和动量关系有 ，而此处 ，再由
（2.13）
式可得这个做圆周运动的粒子的角动量（此角动量矢量沿z轴方向）为
玻尔假设现在变为薛方程的自然结果
解 设粒子被束缚在长度为 a 的一维无限深方势阱中运
动形成驻波，根据驻波条件有
由德布罗意关系式可知
0
a
n=1
n=2
n=3
E1
E2
E3
x
例. 一维无限深方势阱中的粒子的波函数在边界处为
零，其定态为驻波。试根据德布罗意关系式和驻波条件证明：该粒子定态动能是量子化的，求出量子化能级和最小动能公式（不考虑相对论效应）。
若已知基态粒子的波函数为 ，
求粒子在基态x=a/2时的概率密度？
所以定态动能为量子化的，量子化能级为
最小动能公式为
由归一化条件有：
由此得：
根据波函数的物理意义， 为粒子在各处出现的概率密度, 即概率密度分布为
归一化的基态波函数为
x=a/2时的概率密度
0
a
n=1
n=2
n=3
E1
E2
E3
x
例: 在核(线度1.0×10-14m)内的质子和中子可以当成 是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运 动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一 激发态到基态转变时，放出的能量是多少MeV？
粒子的能量为：
n= 1,2,3…
由上式，质子的基态能量为(n=1):
第一激发态的能量为：
从第一激发态转变到基态所放出的能量为：
讨论：实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般就是几MeV,上述估算和此事实大致相符。
n=1
n=2
n=3

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