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旋度与散度的区别
一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度是一个标量函数；
旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系；
如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场）；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场）；
在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是场分量在与其垂直的方向上的变化规律；
在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对x、y、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。
旋度与散度的区别
因为旋度代表单位面积的环量, 因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和, 即
此式称为斯托克斯(Stokes?)定理或斯托克斯公式。
它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分, 或反之。
边条件决定场点，
任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度。
任何旋度场一定是无散场
任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零
柱坐标中矢量A的散度和旋度
为了对矢量函数求导, 一个常用的公式是
球坐标中矢量A的散度和旋度
将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度ψ与另一标量函数φ的乘积, 则有
取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得
(1)
沿n方向的方向导数
格林(?G .Green)第一恒等式 Green’s first identity
把式中的φ与ψ交换位置,
格林第二恒等式 Green’s first identity
(1)(2)两式相减 得
(1)
矢量格林定理
矢量格林第二定理:
利用上述格林定理, 可以将体积V中场的求解问题变换为边界S上场的求解问题。
如果已知其中一个场的分布特性, 便可利用格林定理求解另一场的分布特性。
亥姆霍兹定理的简化表述如下: 若矢量场F在无限空间中处处单值, 且其导数连续有界, 而源分布在有限区域中, 则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。 并且, 它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和, 即
如果 ，则称矢量场F为无旋场。无旋场F可以表示为另一个标量场的梯度，即
函数u称为无旋场F的标量位函数，简称标量位。
无旋场F沿闭合路径C的环量等于零，即
这一结论等价于无旋场的曲线积分 与路径无关，只与起点P和终点Q有关。
有源无旋场

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