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一维无限深方势阱中的粒子
(Particle in infinite square-well otential)
一、无限深一维方势阱
粒子处于束缚态：
在阱内势能为零，粒子不受力的作用；
在边界处，势能突然增加到无限大，粒子受到无限大斥力。粒子被限制在00
a
x
粒子在力场中的势能函数为：
一维无限深方势阱中的粒子
(Particle in infinite square-well otential)
这种势能分布即为无限深方势阱。
二、求解定态薛定谔方程
由于势函数不随时间变化，所以属定态解。
(0利用能量关系：
上式变为：
此方程通解为:
其中A、B、k 均为常数，A、B由边界条件确定。
边界条件要求：
阱内：U = 0，方程为
连续条件
阱外：物理上，势能为无穷就是粒子不能到达，
因此有: 有界条件
所以有：
（若B=0，则势阱内无粒子）
由归一化有：
归一化条件
则：
n 叫量子数
由此得：
总波函数：
由 和 解得：
定态本征解：
定态能量本征值：
讨论
（1）能量是量子化的: 在经典力学中，粒子的动能可连续取值；而量子力学的结果是，能量是量子化的。且由薛定谔方程自然而然地得到，不需人为假定。
（2）没有零点能:最低的能级是 n=1 能级 对经典物理来说这是不可理解的，而按量子理论是可以理解的。
若E=0，
则
但势阱中 ，所以E不能为零。
根据不确定关系，
（4）根据波函数的物理意义， 为粒子在各处出现的概率密度。
由图，在势阱内概率密度随x改变，且与n有关。但是按经典理论,粒子在各点出现的概率应该是相同的。
0
a
n=1
n=2
n=3
E1
E2
E3
x
当 时，量子化-->连续
(5)每一个能量本征态对应于德布罗意 波的一个特定波长的驻波
，
可见a越大 越小,当a大到宏观尺度时， ,能量可看作连续变化，这和经典理论相对应。
（3）相邻两个能级之差
(6) 把坐标原点移至势阱中点，则把上面结果中的 x 改
为 x -a/2， 就得到新坐标系下的波函数（可能有正负号
的差别，但作为波函数是等价的）：
n = 1,3,5,… 时的波函数是偶函数, 这些状态叫做偶宇
称态，n = 2,4,6,… 时的波函数是奇函数，这些态叫做
奇宇称态。
E
O
a/2
x
-a/2
E1
n=1
4E1
n=2
9E1
n=3
E
O
a
x
E1
n=1
4E1
n=2
9E1
n=3
En
ψn
|ψn|2
E
O
a/2
x
-a/2
无限深方势阱内粒子的
能级、波函数和概率密度
E1
n=1
4E1
n=2
9E1
n=3
量子力学：
E
E1
E3
E2
-a/2
a/2
x
U0
En
ψn
|ψn|2
0
能量小于U0的粒子，只能在
阱内运动,不可进入其能量小于势能的 的区域，否则动能将为负值。
薛定谔方程给出的解 , 在其势能U0大于总能量E的区域 内虽然逐渐衰减，但仍有一定的值。
讨论：与经典理论不同，微观粒子能进入势能远大于总能量的区域，这可用测不准关系加以说明, 在该区域内，其动能的不确定度大于观察不到的负动能值。
指数降低
经典理论：
粒子可以以负动能穿透势阱，如果负动能区不是太宽，粒子还可以贯穿势垒，隧道效应。
E
ψ(x)
U
O
a
x
U0
对有限厚度的势垒，粒子的势能函数为
a 越小, U0 越小, 穿透率越高
如果 或势垒宽度a较大，即能量太低或势垒太宽，粒子将无法穿越。
穿透系数为
隧道效应:
隧道电流I与样品和
针尖间距离S的关系
利用扫描隧道显微镜看到的硅表面
（ 7 7 重构图象）
隧道效应已经被实验完全证实。 粒子从放射性核中放出就是隧道效应的例子。隧道效应的重要应用是扫描隧道显微镜。

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