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高斯定理
高斯定理
在真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的电荷的电量的代数和的 倍。
高斯
用电通量的概念给出电场和场源电荷之间的关系
曲面为任意闭合面且点电荷在曲面内
·
q
S
S’
电场线
穿过球面S的每一条电场线必然通过曲面S’，反之亦然，故通过曲面S’的电通量：
点电荷在闭合曲面外
电场线
q
·
S’’
进出S’’的电场线的条数相等，净通量为零，故通过曲面S’’的电通量：
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
q1
q2
qj
qj+1
qn
S
生场电荷为多个点电荷
高斯定理成立
推论：对任意连续电荷分布亦正确。
注意
2. 但E并非只源于q，而是由面内面外所有电荷共同产生的。
1.高斯定理可从库仑定律严格导出，它是平方反比规律的必然结果。源于库仑定律，高于库仑定律
(适用运动电荷的电场)。
3. q等于零时，面通量为零，但面电场并不一定为零
4. q等于零，只说明净电荷为零，但面内并不一定无电荷。
常见的电量分布的对称性：
球对称
柱对称
面对称
均匀带电的
球体
无限长
无限大
点电荷
球面
带电线
柱面
柱体
平板
平面
高斯定律的成立条件是普遍的，但为了用高斯定理求场强，问题本身必须具有良好的对称性，以便将高斯定理中面积分下的 提到积分号外。
例1：求均匀带电球面的电场分布。设球面半径为R，球面上所带总电量为q(q>0)。
分析:
P
r
S
解：当r>R时，高斯面为S，应用高斯定理:
方向沿径矢向外
与整个球面的电量都集中在球心时的场强相同
球对称性，场强沿着径矢方向，放射状分布，空间球面场强大小相等。设P是空间任意一点，做高斯面 （球面）。
R
O
对称性，E提到积分号外
P
r
R
S
当rS’
所以均匀带电球面场强分布：
对于q<0的情况，场强的大小与q>0的情况一样，但球外场强的方向指向带电球面。
E
r
用高斯定理求场强的一般步骤：
1. 分析对称性；
2. 确定闭合高斯面（积分面） ；
5. 在有些问题中，闭合面内的净电荷也要用积分计算。
3. 分析高斯面 的大小和方向（必要坐标投影），将 积出来；
4. 积分结果：电场和生场电荷的数学关系，求出电场，并说明电场的方向；
解：
例2：求均匀带电球体的电场分布。球体半径为R，球体总电量Q(Q>0)。
球对称，高斯球面，球外场强大小也为:
方向沿径矢向外
与整个球体的电量都集中在球心时的场强相同
P
r
R
S
E
r
当r方向沿径矢向外
S’
.
例3：求无限长均匀带电圆柱面的电场分布。已知圆柱面半径为R，单位长度带电量为 。
分析：
h
S
·
P

R
r
柱对称，电场分布圆柱辐射状，空间柱面场强大小相等，方向向外。
当r>R时，高斯面为S，应用高斯定理:
设P是空间任意一点，与圆柱面轴线的距离为r。通过P点做闭合高斯面（柱面加上下底）
上下底面上各点场强与底面平行，故上下底无电通量

h
S
·
P
R
r
而
所以
方向垂直于圆柱面向外
与整个圆柱面的电量都集中在轴线上的场强相同
当rh’
S’
r

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