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波函数 一维定态薛定谔方程
波函数 一维定态薛定谔方程
主要内容：
1. 波函数及其统计解释
2. 薛定谔方程
3. 定态波薛定谔方程
4. 一维无限深势阱中的粒子
*5. 一维有限势垒——隧道效应
*6. 一维谐振子
波函数及其统计解释
微观粒子
具有波动性
用物质波波函数描述
微观粒子状态
1925年薛定谔
例如自由粒子沿 x 轴正方向运动，由于其能量（E）、动量( p )为常量，所以 v 、 不随时间变化，其物质波是单色平面波，因而用类比的方法可确定其波函数.
类比
亦可写成
（实部）
自由粒子的物质波波函数为
物质波波函数的物理意义
x
电子束
—— t 时刻，粒子在空间 r 处的单位体积中出现的概率，又称为概率密度.
时刻 t , 粒子在空间 r 处 dV 体积内出现的概率.
归一化条件 (粒子在整个空间出现的概率为1).
波函数必须单值、有限、连续（标准条件）.
概率密度在任一处都是唯一、有限的, 并在整个空间内连续.
单个粒子在哪一处出现是偶然事件；
大量粒子的分布有确定的统计规律.
电子数 N=7
电子数 N=100
电子数 N=3000
电子数 N=20000
电子数 N=70000
出现概率小
出现概率大
电子双缝干涉图样
薛定谔方程 (1926年)
描述低速情况下，微观粒子在外力场中运动的微分方程.
该方程是质量为m , 势能为 V ( r , t )的粒子的薛定谔方程.
说明
薛定谔方程是量子力学的基本定律，它不可能由更基本的原理经过逻辑推理得到。下面通过对自由粒子物质波波函数微分得到相应的自由粒子应满足的薛定谔方程.
沿 x 轴正方向运动的自由粒子
沿 方向自由运动的粒子
，其中E 是自由粒子的能量，即
自由粒子满足的薛定谔方程
算符
如
则:
若
则:
算符:代表某种数学运算.
算符运算：
（1）相等
（2）和与差
（3）乘积
例
则:
则:
在量子力学中,每一个力学量都有对应的算符.
能量算符
动量算符
（拉普拉斯算符）
哈密顿算符
用算符表示薛定谔方程，有
粒子在稳定力场中运动，势能函数 V ( r ) 、能量 E 不随时间变化，粒子处于定态，对应的定态波函数可写为
定态薛定谔方程
代入薛定谔方程，有
粒子的能量
（定态波函数）
定态薛定谔方程
通过定态薛定谔方程求解粒子能量E和定态波函数 ( r ) 。
说明
定态时，概率密度在空间上的分布稳定
一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)
波函数在 x = 0 处连续，有
解为
x
0 a
V ( x )


所以
在 x = a 处连续，有
因此
所以
粒子的能量

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