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氢原子的量子力学描述
氢原子的量子力学描述
主要内容：
1. 氢原子中电子的运动
*2. 塞曼效应
0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为
x
0 a
V ( x )


势能函数
令
V (x) = 0 0 < x < a
V (x) = ∞ 0 < x 或 x > a
0 > x 或 x > a 区域
量子数为 n 的定态波函数为
由归一化条件
定态波函数
可得
波函数
能量量子化和定态波函数
x
0 a
概率分布
一维无限深势阱粒子的驻波特征
波函数
x
0 a
势能函数
0 a x
V0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
V ( x ) = 0 　x ≥ a （Ⅲ区）
V ( x ) = 0 x ≤ 0 （Ⅰ区 ）
V( x ) = U0 0≤ x ≤ a （Ⅱ区）
E
V
（Ⅰ区）
（Ⅱ区）
（Ⅲ区）
波函数在 x = 0 ，x = a 处连续
(Ⅲ区)
(Ⅰ区)
(Ⅱ区)
x = 0 处：
x = a 处：
0 a x
V0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
E
三个区域的波函数分别为
B3 = 0
Ⅲ区无反射波，所以
求解以上4个方程，可得 A1 、B1 、 A2 、B2 和 A3 间关系，从而得到反射系数 和透射系数
V
0 a x
V0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
E
V
结论
入射粒子一部分透射到III 区，另一部分被势垒反射回I 区
E > V0 , R≠0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。
E < V0 , T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应
透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差V0 - E 变化，随着势垒的加宽、加高透射系数减小.
粒子类型 粒子能量 势垒高度 势垒宽度 透射系数
电子 1eV 2eV
1eV 2eV
质子 1eV 2eV
5×10-10m
0.024
2×10-10m
0.51
3×10-38
2×10-10m
扫描隧道显微镜
扫描隧道显微镜原理图
势能函数
m — 振子质量
定态薛定谔方程
能量量子化
— 固有频率
讨论
普朗克量子化假设 En=nhv E0= 0
零点能 与 经典物理 En=(n+1/2)hv E0= hv/2
（零点能）
例
设质量为m 的微观粒子处在宽为a 的一维无限深方势阱中,
求
粒子在 0< x < a/4 区间中出现的概率, 并对n = 1 和n =
的情况算出概率值.
(2)在那些量子态上, a/4 处的概率密度最大
解
(1)概率密度
粒子在 0< x < a/4 区间中出现的概率:
（2）a/4 处的概率密度
n = 2,6,10,……等量子态。

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