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点的运动的自然坐标法
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点的运动的自然坐标法
以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定 动点的位置的方法叫自然坐标法。
运动学
一.弧坐标（Arc coordinates）,自然轴系
1.弧坐标的运动方程S=f (t)
补充：极坐标法(对平面曲线运动时可用)
同理可导出柱坐标下的点的运动方程
（natural coordinating method）
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①切向加速度(the tangential acceleration)
----表示速度大小的变化
运动学
点的加速度
②法向加速度(the normal acceleration)
-----表示速度方向的变化
例: 料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R＝16cm，料斗沿铅垂提升的运动方程为y＝2t2，y以cm记，t 以s计。求卷筒边缘一点M在t＝4s时的速度和加速度。
O
M
R
M'
A0
A
M0
y
解：
此时M点的切向加速度为：
v＝4×4＝16 cm/s
当t=4 s时速度为：
运动学
M点的法向加速度为：
M点的全加速度为：
运动学
O
M
R
M'
A0
A
M0
y
例: 列车沿曲线轨道行驶，初速度v1=18km/h，速度均匀增加，行驶s=1km后，速度增加到v2=54km/h，若铁轨曲线形状如图所示。在M1、M2点的曲率半径分别为ρ1=600m, ρ2=800m 。求列车从M1到M2所需的时间和经过M1和M2处的加速度。
M1
M2
V1
V1
an1
a1
a2
an2
ar1
ar2
解：
运动学
求列车经过M1和M2时的法向加速度为：
运动学
M1
M2
V1
V1
an1
a1
a2
an2
ar1
ar2
列车经过M2时的加速度为：
运动学
列车经过M1时的全加速度为：
例: 杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M 运动，已知φ＝ωt (ω为常数)。求小环M 的运动方程、速度和加速度。
解：建立如图所示的直角坐标系。则
即为小环M 的运动方程。
=
=
t
R
t
R
w
w
2
cos
2
sin
故M点的速度大小为
运动学
其方向余弦为
故M点的加速度大小为
运动学
M
M
j
R
o
j
例: 半径为R 的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动， ，试分析轮子边缘一点M的运动。
运动学
解：取坐标系Axy如图所示，并设M 点所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为
这是旋轮线的参数方程。
o
R
C
A
x
y
运动学

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