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约束·虚位移·虚功
约束·虚位移·虚功
表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。
一、约束及其分类 (Constraint)
限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。
约束方程：
x
O
y
M (x,y)
l
A(xA, yA)
B(xB, yB)
O
x
y
r
l
约束方程:
(1)几何约束和运动约束
(geometric constraint) (kinematic constraint)
限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。
限制质点或质点系运动情况的运动学条件,称为运动约束。
几何约束
x
O
y
M (x,y)
l
几何约束
或
运动约束
C
x
y
A
ω
vA
r
约束·虚位移·虚功
(2)定常约束和非定常约束
(Steady constraint) (Constraint depending on time)
x
O
y
M (x,y)
l
v
约束条件是随时间变化的，这类约束称为非定常约束。
约束条件不随时间变化的约束称为定常约束。
设开始时摆长：l0
x
O
y
M (x,y)
l
约束·虚位移·虚功
(3)完整约束和非完整约束
(holonomic constraint) (non-holonomic constraint)
如果约束方程中不含坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。
如果约束方程中含有坐标对时间的导数(如运动约束)而且方程不可能积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。非完整约束方程总是微分方程的形式。
完整约束方程的一般形式为：
式中n为质点系的质点数，s为完整约束的方程数。
约束·虚位移·虚功
非完整约束是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。
几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。
例如：车轮沿直线轨道作纯滚动。
该约束仍为完整约束。
C
x
y
A
ω
vA
r
积分，得
约束方程
约束·虚位移·虚功
(4)单面约束和双面约束
(unilateral constraint)
x
O
y
M (x,y)
l
绳
x
O
y
M (x,y)
l
杆
约束方程：
约束方程：
　　在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为双面约束。
限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单面约束。
约束·虚位移·虚功
双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。
本章只讨论定常的双面的几何约束，其约束方程的一般形式为
式中n为质点系的质点数，s为约束方程数。
约束·虚位移·虚功
F1
F2
A
O
B
F1
F2
A
O
B
二、虚位移(Virtual Displacement)
　　在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移，称为虚位移。
　　虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示虚位移。
杆AB平衡
约束·虚位移·虚功
必须注意：虚位移与实际位移(简称实位移)是不同的。
对于无限小的实位移，我们一般用微分符号表示，例如 …等。
　　实位移是质点系在一定时间内真正实现的位移，它除
了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及运动的初始
条件有关。而虚位移仅与约束条件有关。
　　因为虚位移是任意的无限小的位移，所以在定常约束
的条件下，实位移只是所有虚位移中的一个，而虚位移视
约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
　　对于非定常约束,某个瞬时的虚位移是将时间固定后，
约束所允许的虚位移，而实位移是不能固定时间的，所以
这时实位移不一定是虚位移中的一个。
约束·虚位移·虚功
虚功(Virtual Work)
F
m
上式也可写成
　　设某质点受力F作用。设想给质点一虚位移 ，则力F在虚位移 上作的功称为虚功，即
因为虚位移是假想的，因此虚功也是假想的，是虚的。
力在虚位移中作的功称为虚功。
约束·虚位移·虚功
理想约束(Ideal Constraint)
　　如果在质点系的任何虚位移上，所有约束力所作虚功的和等于零，则称这种约束为理想约束。即
理想约束的例子：
1、光滑固定面
FN
2、光滑铰链
约束·虚位移·虚功

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