资源简介

(共13张PPT)
Hamilton canonic equation的首次积分
Hamilton canonic equation的首次积分
系统的首次积分是方程降阶降维的基础，讨论Hamilton canonic equation的降阶降维问题
能量积分
循环积分
H 中不显含某些广义动量的情况
2
例 、水平直管以匀角速度 绕铅直轴旋转。管内放有用弹簧相联的两相同质量 m 的小球。小球可沿直管无摩擦地滑动。已知弹簧刚度系数为 k ，原长为 l ，试写出系统的Hamilton正则方程。小球尺寸略去不计。
解：两个自由度，x1、x2为广义坐标，主动力均为有势力
构造H函数
则
3
Hamilton正则方程
给定初始条件 后，就可得出正则变量 的函数
4
如果Hamilton函数 ，即不显含 t 时，则
可得
则
（常数）
因为
所以
Hamilton canonic equation的能量积分
如果是保守系统，则T＝T2，T0＝0
则
即Hamilton equation的首次积分等于总机械能（机械守恒）
5
由 H 函数定义
对某一广义坐标 ql 求偏导数
代入 （勒让德变换，或定义广义动量），得
因此，如果在Lagrange函数中存在某个循环坐标ql，则在Hamilton函数中也存在相同的循环坐标ql。
设q1, q2,…, ql ( l6
根据正则方程有
于是得 l 个循环积分
利用循环坐标可对Hamilton正则方程进行降维，将上式代入Hamilton函数得
此时Hamilton正则方程为
对于循环坐标，有
即对 H 求 pj 偏导，后将 pj 用 Cj 代替
7
积分上式，得:
为积分常数。
降为 ( j =l+1, l+2,…, k )
若系统有 l 个循环坐标，则Hamilton正则方程的个数由2k个降为2(k-l)个。因此对于一个力学系统，希望找到尽可能多的循环坐标，循环坐标越多，对于方程的求解就越有利。
8
设p1, p2,…, pl ( l < k )不显含在 H 中，则Hamilton函数可表示为
则
方程故由 k 个减少到 k-l 个。
H函数化为
9
（ 方程个数由 k 个，减少为 k-l 个）
故共降维2l ，即方程个数减少为2( k-l )个。
10
例3 、空心圆管OA绕铅垂轴O在水平面内转动。它对O轴的转动惯量J0=md2，质量为m的质点M在圆管内运动，设质点受引力Fr= -μm/r2，式中 r 是质点到转轴O点的矢径，μ是常数。试列出系统的Hamilton正则方程并求首次积分。
解：系统有两个自由度，选r、φ为广义坐标，系统的动能
取无穷远处为零势能点，势能
而
11
广义动量
求Hamilton函数，因为系统为保守的，故
由上式可知，φ为循环坐标，则存在循环积分，即广义动量守恒
12
pφ= 常数
又
则
存在广义能量积分
即 T +V = 常数
13

展开更多......

收起↑