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动量矩
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正负号规定与力对轴之矩的规定
相同。对着轴看：逆时针为正；
顺时针为负。
或右手螺旋法则确定正负。
　动量矩
一、质点的动量矩
质点对点O的动量矩：　　　　　　 　 矢量
质点对轴 z 的动量矩：　　　　　　　 代数量　
x
y
z
q
O
mv
MO(mv)
Mz(mv)
r
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由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。
由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平移和绕基点的转动。
若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质心运动定理)描述了刚体随同质心的运动变化和外力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
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质点
质点系
动量定理：
动量的改变 →外力（外力系主矢）
　 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零，
质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了
质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外
力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
质心运动定理：质心的运动 →外力（外力系主矢）
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质点系对z 轴的动量矩等于各质点对同一轴动量
矩的代数和。即
质点系对点O 的动量矩等于各质点对同一点动量
矩的矢量和。即
二、质点系的动量矩（动量的主矩）
动量矩度量物体在某瞬时绕固定点(轴)转动的强弱，kg·ｍ2/s。
质点对点O的动量矩在通过O 的z 轴上的投影等于质点
对z 轴的动量矩。即
同理
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2、定轴转动刚体
定轴转动刚体对转轴的动量矩等于
刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。
刚体动量矩计算
1、平移刚体
平移刚体可视为质量集中于质心的质点来计算对点（或轴）的动量矩。
对转轴
的动量矩
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3、平面运动刚体
质点系对质心的动量矩
O
x
y
z
x`
y`
z`
C
mivi
动坐标为平移坐标系
质点系对O点的动量矩
平面运动刚体
平面运动刚体对垂直于质量对称平面的某轴的动量矩，
等于刚体随同质心作平移时质心的动量对该轴的动量矩
与绕质心轴作转动时的动量矩之和。
对质心的动量矩用绝对速度
和用相对速度计算是相等的。
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解：
[例1] 滑轮A：m1，R1，J1
滑轮B：m2，R2，J2 ； R1=2R2
物体C：m3
求系统对O轴的动量矩。
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　将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
称为质点的动量矩守恒。
若　
则
常矢量
注意：用上式计算动量矩与力矩时，符号规定应一致。
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运动分析： 。
由动量矩定理
即
微幅摆动时，　　　　　并令　　　　，则
解微分方程,并代入初始条件　　　　　　　 则运动方程
，摆动周期
解：将小球视为质点，受力图如图示。
[例2] 单摆　已知m，l，t =0时 = 0，从静止
开始释放。 求单摆的运动规律。
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将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
质点系对任一固定点的动量矩
对时间的导数，等于作用在质
点系上所有外力对同一点之矩
的矢量和（外力系的主矩）。
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任
一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有
外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
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质点系的动量矩守恒
　　当　　　　 时，　常矢量。
　　当　　　　 时，　常量。
动量矩定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。　

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