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动量矩定理
2
一、质点的动量矩定理
两边叉乘矢径 , 有
左边可写成
　 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
故：
动量矩定理
O为固定点
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质点系的动量矩定理
左边交换求和与求导运算的顺序，并且注意
一质点系对固定点的动量矩定理
对质点系，将每一质点的动量矩定理求矢量和。得
对每一质点
4
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
　 运动分析： v =r
由动量矩定理：
[例] 已知:
5
[例] 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为a。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。
解：以系统为研究对象，受力如图。以顺时针为正，则
由 ，有
M
O
m2g
N
v
m1g
FOx
FOy
w
6
因 ,于是解得
若M＞m2gR sin a，则 a＞0，小车的加速度沿轨道向上。
必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。
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[例] 水平杆AB长2a，可绕铅垂轴 z 转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各联结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕 z 轴的角速度为w0。如某时此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成a 角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度w。
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
显然，此时的角速度w＜w 0。
8
解：　　　　　 系统的动量矩守恒。
猴A与猴B向上的绝对速度是一样的，均为 。
[例] 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度
上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？
动的速度多大？（轮重不计）
9
[例]行星齿轮机构的曲柄 OO1受力偶 M 作用而绕固定铅直轴 O 转动，并带动齿轮O1在固定水平齿轮O 上滚动如图所示。设曲柄 OO1为均质杆，长l、重 P；齿轮 O1为均质圆盘，半径 r 、重 Q。试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。
解：以曲柄为研究对象，曲柄作定轴转动，列出定轴转动微分方程
M
O1
O
a
Fn
Ft
Rn
Rt
O
O1
M
10
F'N1
F'1
FN2
F2
m1g
F
a
取板分析
11
由运动学关系，有
联立求解(1) ~ (4)，得
O1
F'n
F't
T
N
at
an
a1
取齿轮O1分析，齿轮O1作平面运动
M
O1
O
a
Fn
Ft
Rn
Rt
理论力学
中南大学土木建筑学院
12
　　研究刚体平面运动的动力学问题，一定要建立运动学
补充方程，找出质心运动与刚体转动之间的联系。
　　应用动量矩定理列方程时, 要特别注意正负号的规定
的一致性。

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