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　刚体定轴转动微分方程
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对于一个定轴转动刚体
于是，得到刚体定轴转动微分方程
一、刚体定轴转动微分方程
　刚体定轴转动微分方程
代入质点系动量矩定理，有
FN1
FN2
x
y
z
Fn
F2
F1
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特殊情况：
若　　　　　　　 ，则　　　　恒量，刚体作匀速转动或
保持静止。
若　　 常量，则 a =常量，刚体作匀变速转动。
　将　　　　　 与　　　 比较，刚体的转动惯量　 是刚
体转动惯性的度量。
解决两类问题：
① 已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。
② 已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。
但不能求出轴承处的约束力，需用质心运动定理求解。
4
[例] 如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和F2 。求滑轮的角加速度a 。
解：由刚体定轴转动的微分方程
于是得
由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。
F1
F2
O
R
a
5
[例]如图，飞轮对转轴的转动惯量为J，以初角速度w0绕水平轴转动，其阻力矩 M＝－bw (b 为常数)。求经过多长时间，角速度降至初角速度的一半，在此时间内共转多少转
解：以飞轮为研究对象，由刚体定轴转动的微分方程，有
M
w0
将（1）式变换，有
将上式求定积分，得
6
即
将上式求定积分，得
转过的角度为
因此转过的转数
将 改写为
7
[例] 如图所示，啮合齿轮各绕定轴O1、O2转动，其半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，转动惯量分别为J1、J2，今在轮O1上作用一力矩M，求其角加速度。
　　解：分别以两轮为研究对象，受力如图，由刚体定轴转动的微分方程，有
由运动学关系，得
注意到 ，联立求解以上三式得
O1
r1
r2
O2
M
FO1y
FO1x
Ft
Fn
m1g
FO2y
FO2x
m2g
O1
O2
F′
t
F′
n
M
8
O
FOx
FOy
W=mg
O
FOy
FOx
W=mg
解除约束前：
FOx=0, FOy=mg/2
突然解除约束瞬时：
FOx=？,FOy=？
[例]关于突然解除约束问题
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突然解除约束瞬时，杆OA将绕O轴转动，不再是静力学问题。这时， 0， 0。需要先求出 ，再确定约束力。
应用定轴转动微分方程
应用质心运动定理

O
FOx
FOy
W=mg
10
[例] 长l，质量为m 的均质杆 AB 和 BC 用铰链 B 联接，并用铰链 A 固定，位于平衡位置。今在 C 端作用一水平力F，求此瞬时，两杆的角加速度。
解：分别以AB和BC为研究对象，受力如图。 AB和BC分别作定轴转动和平面运动。对AB由定轴转动的微分方程得
A
B
FAx
FBx
FBy
aB
W
aAB
C
B
A
F
FAy
11
BC作平面运动，取B为基点，则
将以上矢量式投影到水平方向，得
(4)
由(1) ~ (4)联立解得
对BC由刚体平面运动的微分方程得
(2)
(3)
B
G
C
aBC
F
W
aGx
aGy
atGB
F'By
F'Bx
12
O
[例]平板质量为m1，受水平力F 作用而沿水平面运动，板
与水平面间的动摩擦系数为f ，平板上放一质量为m2的均质
圆柱，它相对平板只滚动不滑动，求平板的加速度。
解：取圆柱分析，
于是得：
F
a
C
FN1
F1
m2g
a
aO
a

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