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哈密顿正则方程
哈密顿正则方程
保守系统的情形
非保守系统的情形
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保守系统的情形
1. Lagrange 变量与Hamilton 变量
Lagrange 函数： ；
Lagrange 变量：变量qj， ，t 称为～，其中qj为广义坐标，j =1, 2, … ,k
Hamilton 以广义动量 pj 代替广义速度
Hamilton 变量：变量qj ，pj ，t称为～，其中pj 为广义动量，j =1,2,…,k
Hamilton 函数：
哈密顿正则方程( Hamilton canonical equation)：以Hamilton 函数H代替Lagrange函数，用2k个关于广义坐标 qj 和广义动量 pj 为变量的一阶常微分方程组，称为哈密顿正则方程或简称正则方程。
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保守系统的情形
2．哈密顿正则方程的推导
利用勒让德变换把以( qj , , t )为变量的Lagrange函数L变换成以( qj, pj, t )为新变量的Hamilton函数 H
将Lagrange函数
代入Hamilton原理，即
对上式进行变分运算，得
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将上式中的第一项改写成
则有
因为系统在始末位置是确定的，有
于是有
保守系统的情形
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根据广义动量的定义 ，由勒让德变换可得
因此
对于完整系统，由于δqj 是相互独立的，且可取任何值，则
即得关于变量 的Hamilton正则方程
保守系统的情形
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3. Lagrange函数和Hamilton函数的对比
Lagrange函数L和Hamilton函数H都可看作是系统的描述函数
Lagrange函数包含了位形空间中描述系统运动的全部特征；
Hamilton函数包含了相空间中描述系统运动的全部特征。
Hamilton原理、Hamilton正则方程和Lagrange方程是互为等价的。
4. Hamilton函数的物理意义
为改写 中的第一项，将广义动量 代入，并利用欧拉齐次函数定理，有
（Euler齐次函数的意义 ）
保守系统的情形
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因为
即
与广义能量积分对比，Hamilton函数 H 与广义能量积分意义相同。
对于保守系统，则 T=T2 , T0=0 ，因此
总机械能
对于保守系统，Hamilton函数H等于系统的总机械能。
5. 证明：
表明 H 的变化与系统的变化无关，仅与 H 是否显含 t 有关
保守系统的情形
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非保守系统的情形
Hamilton原理一般式
其中主动力的虚功可写成
式中 和 分别表示有势力和非有势力的虚功。这样Hamilton原理可变为
将根据勒让德变换 得到的 代入上式，并进行变分运算，得
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就可得到存在非有势力作用的Hamilton正则方程
其中Q j 为系统的非有势力对应于广义坐标 qj 的广义力。
非保守系统的情形
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例1 试用Hamilton正则方程求出水平弹簧质量振动系统的运动微分方程
解：单自由度系统，x为广义坐标
构造H函数
对于保守系统
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所以
消去px得：
整理得
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