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质心运动定理
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将　　　　 代入到质点系动量定理，得
若质点系质量不变，则
质心运动定理(质心运动微分方程)
质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外
力的矢量和（外力系的主矢）。
1、投影形式：
①
②
质心运动定理
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质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运
动微分方程形式相似。对于任意一个质点系， 无论它作什
么形式的运动， 质点系质心的运动可以看成为一个质点的
运动， 并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，所有外力也集中作用在质心这个点上。
刚体系统：设第 i 个刚体 mi，vCi，由 则有
或
所以
刚体系统
上式在刚体系中特别有用，用此式不需要确定刚体系的质心。
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运动分析：设经过 t 时间后，流体AB
运动到位置ab，
[例] 流体流过弯管时，在截面A和B处的平均流速分别为
v1 , v2 (m/s)。求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。设流体不可压缩，流量Q(m3/s)为常量，密度为 (kg/m3）。
解:取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。受力如图示。
由质点系动量定理；得
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[例] 图示系统，重物A和B的质量分别为m1、m2。若A下降的加速度为a，滑轮质量不计。求支座O的约束力。
解：以整个系统为研究对象，受力如图，
建立如图坐标。设A下降的速度为vA，
B上升的速度为vB，则由运动学关系得
系统的动量在坐标轴上的投影为
由质点系的动量定理
注意到
可得
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4、质心运动守恒定律
　若　　　　，则　　　　 常矢量，质心作匀速直线运动； 若开始时系统静止，即　　　 则　　常矢量，质心位置守恒。
　若　　　　，则　　　　　 常量，质心沿x方向速度不变；
若存在　　　 则　 　常量，质心在x 轴的位置坐标保持不变。
5、质心运动定理可求解两类动力学问题：
已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力(包括约束力)。
　已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。
只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。
质心在x 轴的位置坐
标保持不变必满足
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解：选两物体组成的系统为研究对象。
所以质心在水平方向运动守恒。并且初始静止，必有 。
设大三角形向左的位移为S，则
－M S+m(Srx－S)=0
[例] 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。
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　解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。　
受力分析如图示，　　　　，且初始
时系统静止，所以系统质心的位置坐标
xC保持不变。
[例] 浮动起重船, 船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为
P2=10kN, 长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为 1=60 , 水的阻力不计, 求起重杆OA与铅直位置成角 2 =30 时船的位移。
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船的位移设向右为 x１，杆的位移
重物的位移
计算结果为负值，表明船的实际位移水平向左。
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[例]如图所示，电动机外壳固定在水平基础上，定子、转子的质量分别为m1、m2。设定子质心位于转轴中心O1，由于制造误差，转子质心O2 到O1的距离为e，已知转子以匀角速度w 转动。求：(1) 质心运动方程；(2)基础对电机总的水平和铅垂反力；(3) 若电机没有螺栓固定，各处摩擦不计，初始时电机静止，求转子以匀角速度w转动时电动机外壳的运动。
解：(1) 建立如图坐标，任一瞬时，q＝w t，即有
故质心运动方程为
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(2) 以系统为研究对象
由质心运动定理
因
故
得
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根据质心运动定理，有
可见，由于偏心引起的动约束力是随时间变化的周期函数。
或 a1=0， a2=e 2
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（3）以系统为研究对象，受力如图。
解得
由此可见，电动机在水平面上作往复运动。此时
由于SFx(e)＝0 ，所以
若 　　　　　　，则　　 　　。因此如电动机无螺栓固定，它将会跳起来。
当转子转过q，定子向右移动距离s，则
理论力学
中南大学土木建筑学院
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第十一章结束

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