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哈密顿正则方程
质点的动量矩
则
因为对应于广义坐标x , y, z的广义力Fx , Fy, Fz与势能函数 V 有如下关系:
用泊松括号表示的正则方程
2
这样
同理可得
如果有势力 为有心力，并令坐标原点取在力心，则
因此
由泊松括号性质1可得
为正则方程的首次积分，即质点 M 在运动过程中Lx、Ly,、Lz 都保持恒量，这实际上就是熟知的质点在有心力作用下运动时，对力心的动量矩在三个直角坐标轴方向分别守恒。
用泊松括号表示的正则方程
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泊松定理（雅可比-泊松定理）
定理：
已知函数： (q1, q2, … , qk, p1, p2, … , pk, t )=C1和函数ψ(q1, q2, … , qk, p1, p2, … , pk, t )=C2是正则方程的首次积分，则函数( , ψ) =C3也是它的首次积分。( ,ψ)为函数 及ψ所构成的泊松括号。
证明：
已知 (q1, q2, … , qk, p1, p2, … , pk, t )=C1和ψ(q1, q2, … , qk, p1, p2, … , pk, t )=C2是正则方程的首次积分，因此
则
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由泊松括号性质(10)，函数H, , ψ构成泊松恒等式：
可得
则
即
可推得
即
则 也是正则方程的首次积分
泊松定理（雅可比-泊松定理）
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泊松定理的说明
若系统存在能量积分H = h，且已知另一首次积分 (qj, pj, t )=C，则由泊松定理可得( , H )=C1也是正则方程的首次积分
因此， (qj, pj, t )=C，则
即
上式说明，若系统存在能量积分，则正则方程的首次积分对时间的导数 亦是其首次积分；推广下去，函数 ，
，…也都是首次积分。
泊松定理（雅可比-泊松定理）
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应用泊松定理求首次积分的说明
根据定理，似乎只要已知正则方程的两个首次积分，便可连续应用泊松定理求出正则方程的全部首次积分，但事实并非如此。因为用这样的方法得到的首次积分常常为原积分的线性组合或恒等式，不是独立的，因此，不能由它再求出新的积分。
内旋积分系的概念
设f1, f2, … , fs 是正则变量qj，pj的函数，且是正则方程的一组首次积分。若
( fν , fμ ) = 0 ( ν, μ= 1,2, … , s )
则不能由这组首次积分得到新的首次积分，这组积分为内旋积分系。
例如，不受力作用的自由质点，它的能量积分和三个动量积分成为内旋积分系。
泊松定理（雅可比-泊松定理）
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例5 质量为m的质点M，受有心力的作用，如取力心为坐标原点O，则质点运动时对Ox 及Oy 轴的动量矩守恒，试用泊松定理证明质点M 对Oz轴的动量矩 Lz=常数，即守恒。
解：取质点M的直角坐标x, y, z为广义坐标，按质点对Ox 及Oy 轴的动量矩守恒条件，得到它的正则方程的两个首次积分
Lx, Ly均为正则方程的首次积分。根据泊松定理( Lx, Ly)=C 也为首次积分，即
泊松定理（雅可比-泊松定理）
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故对Oz轴的动量距守恒，即Lz = C
泊松定理（雅可比-泊松定理）
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则变量 r 及其偏导数可以从方程中分离出来，于是有:
此时，可设解的形式为
得
10
可积分得
因此，该系统的Hamilton-Jacobi方程的全积分为:
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由于Hamilton函数 H 中不显含时间 t ，在这种情况下存在能量积分，所以
即
*
由于H 函数中不显含时间 t，且 为循环坐标，因此方程的解可设为:
由于h , β1 , β2 , β3 并不是独立的，因此可取 h=β1，式*可变为:
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