资源简介

(共13张PPT)
正则变换
正则变换正则变换的目的：通过构造新的Hamilton函数，该系统具有更简洁的正则形式和更多的循环坐标，即得到系统更多的首次积分，且保证正则方程的形式不变。正则变换（Canonical transformation）母函数的各种形式正则变换( Canonical transformation )点变换描述同一力学系统可以采用不同的广义坐标，如q1,q2, … ,qk和Q1,Q2, … ,Qk，二者之间存在着一定的变换关系上述变换是将一组旧广义坐标q1,q2, … ,qk所确定的位形空间中的一个点，变换到一组新广义坐标Q1,Q2, … ,Qk所确定的位形空间中的一个点。这种变换称为点变换。点变换不影响Lagrange方程的结构。正则变换( Canonical transformation )正则变量：q1,q2, … ,qk,p1,p2, … ,pk正则变量（共轭变量）：Q1,Q2, … ,Qk,P1,P2, … ,Pk变换关系：(正则变换)对旧的正则变量，正则方程为正则变换( Canonical transformation )通过变换，旧的Hamilton函数H=H(qj,pj,t)变换成新的Hamilton函数H*=H*(Qj,Pj,t)，且保持正则方程的形式不变，即变量Q1,Q2, … ,Qk,P1,P2, … ,Pk仍称为正则变量或共轭变量。相空间的变换并非全为正则变换，如何构成正则变换？（两组变量需满足什么条件才能实现正则变换）要求：1.H*函数更简洁2.有更多的循环坐标3.新变量表示的动力学方程仍为正则的、简单、对称。正则变换( Canonical transformation )新旧两组正则变量q、p和Q、P均应满足Hamilton原理即上面两式同时成立时，两个被积函数并非完全相等，可以相差任一函数F对时间t的全导数。如设F是q、Q和t的函数由于系统在始末位置是确定的，则正则变换( Canonical transformation )的构造方法如下：对上式乘以dt，可变为正则变换成立的充要条件是：变换式使得两个微分式与的差等于某个函数F(q,Q,t)的全微分。正则变换( Canonical transformation )将上式改写成比较各项的系数，可以得到如下变换关系旧变量对F的关系新变量对F的关系新旧H函数关系变换是否为正则变换依赖于任意函数F(q,Q,t)的选择，F称为母函数。正则变换( Canonical transformation )母函数F如不含时间t时，有H*=H一般情况下，当给出了一组变换式以后，可根据微分式来判别变换是否为正则的.若给出一个母函数F，可由下式得到一组正则变换。在正则变换中，由于变换的广泛性，使得经过变换后的新变量可能不再具有原来物理意义上的“坐标”和“动量”了。正则变换( Canonical transformation )母函数的各种形式为了实现两组正则变量的变换，母函数F必须是包括两组变量的函数。由于4k个两组正则变量和时间t通过2k个变换关系联系着，所以其中只有2k+1个变量是独立的。母函数F在这2k个变量中要求两组变量各占一半，只含新变量或只含旧变量均不能使下式成立。因此，母函数F所显含的变量在最简单的情况下有四种不同形式：F1(q,Q,t),F2(p,Q,t),F3(q,P,t),F4(p,P,t)1)母函数为F1(q,Q,t)，该形式已讨论过，有关结果为2)母函数为F2(p,Q,t)应用勒让德变换，在F1(q,Q,t)基础上，确定F2(p,Q,t)的变换关系F1(q,Q,t)变量以p代替q；Q保持不变，且有： ，于是取F2(p,Q,t)母函数的各种形式则有得到（ ，又由 得到）将式两边对t求导，可得因此Hamilton函数的变换关系为母函数的各种形式3)母函数F3(q,P,t)仍使用上述方法，此时变量以P代替Q；q保持不变，且有： ，于是取且相应有如下关系成立由此得到变换关系为母函数的各种形式

展开更多......

收起↑