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7.2　离散型随机变量及其分布列 导学案
教学目标：
1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念.
2.理解随机变量的分布列，会求一些离散型随机变量的分布列
教学重难点：
重点：了解离散型随机变量的概念。
难点：会求离散型随机变量的分布列
教学过程：
自主预习：
随机变量的概念及表示
概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量
离散型随机变量的概念：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量。
注意：取值有限或取值无限但可列
表示：通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；
用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z
作用：随机变量有利于我们简洁地表示随机事件，一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果.
2.离散型随机变量的分布列
(1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
(2)表示：定义表示：P(xi)＝pi，i＝1，2，…，n.
表格表示
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
图形表示
(3)性质：
①pi≥0，i＝1，2，…，n；
②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(4)求离散型随机变量的分布列的一般步骤
(1)确定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义.
(2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…).
(3)写出分布列.
(6)离散型随机变量有特征：
(1)可用数值表示.
(2)试验之前可以判断其出现的所有值.
(3)在试验之前不能确定取何值.
(4)试验结果能一一列出.
作用：离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础.
3.两点分布
X 0 1
P 1－p p
对于只有两个可能结果的随机试验，若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布或0－1分布.
二、合作探究：
探究点1　随机变量的概念
　(1)(多选)抛掷一枚均匀硬币一次，不能作为随机变量的是(　　)
A.抛掷硬币的次数
B.出现正面的次数
C.出现正面或反面的次数
D.出现正面和反面的次数之和
(2)(2021·湖南长沙市长郡中学高二月考)抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，则“ξ>4”表示试验的结果为(　　)
A.第一枚为5点，第二枚为1点
B.第一枚大于4点，第二枚也大于4点
C.第一枚为6点，第二枚为1点
D.第一枚为4点，第二枚为1点
【解析】　(1)抛掷一枚硬币一次，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以某一个为标准，如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1，故B正确.而A项中抛掷次数就是1，不是随机变量；C项中标准不明；D项中，出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量.
(2)由于ξ表示“第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差”，差的最大值为6－1＝5，而ξ>4只有一种情况，即ξ＝5，此时第一枚为6点，第二枚为1点，故选C.
【答案】　(1)ACD　(2)C　
跟踪训练：1、 (多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　)
A.从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数
B.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数
C.某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
D.某加工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差
解析：选AB.A.只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.B.从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球、2个白球和1个黑球、1个白球和2个黑球、3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义.C.林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量.D.实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量.
探究点2　离散型随机变量的分布列
在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.
【解】　(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况.
P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
所以X的分布列为
X 0 1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.
故所求概率为P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0，10，20，50，60，则
P(Y＝0)＝＝＝，
P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，
P(Y＝50)＝＝＝，
P(Y＝60)＝＝＝.
所以随机变量Y的分布列为
Y 0 10 20 50 60
P
　
跟踪训练：1. 为了参加亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：
队别 北京 上海 天津 八一
人数 4 6 3 5
(1)从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一队的概率；
(2)中国女排奋力拼搏，战胜了韩国队获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列.
解：(1)“从这18名队员中选出两名，两人来自同一队”记作事件A，则P(A)＝＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2.
因为P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
2.某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab.
X 0 2 3
P a b c
则这名运动员得3分的概率是　　　　.
解析：由题意得2b＝a＋c，
c＝ab，a＋b＋c＝1，
且a≥0，b≥0，c≥0，
联立得a＝，b＝，c＝，
故得3分的概率是.
答案：
探究点3　两点分布的应用
一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球和4个红球.
(1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，设X＝求X的分布列；
【解】　(1)由题意知，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1
P
跟踪训练： 下列选项中的随机变量不服从两点分布的是(　　)
A.抛掷一枚骰子，所得点数X
B.某射击手射击一次，击中目标的次数X
C.从装有除颜色外其余均相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，设X＝
D.某医生做一次手术，手术成功的次数X
解析：选A.由题意可知B，C，D中的随机变量均服从两点分布，而抛掷一枚骰子，所得点数X的取值范围为{1，2，3，4，5，6}，所以A中的随机变量不服从两点分布.故选A.
三、拓展提高
例4、(2021·湖南师大附中高三月考)某校园歌手大赛决赛中，有6位参赛选手(1号至6号)登台演出，由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人，其中甲同学是1号选手的同班同学，必选1号，另在2号至6号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出3名.
(1)求甲同学选中3号且乙同学未选中3号选手的概率；
(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X，求X的分布列.
解：设A表示事件“甲同学选中3号选手”，B表示事件“乙同学选中3号选手”，C表示事件“丙同学选中3号选手”则
(1)P(A)＝＝，P(B)＝＝，
所以P(A)＝P(A)P()＝×＝.
(2)P(C)＝＝，X可能的取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝P()＝××＝××＝，
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
跟踪训练：1、已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.
解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)由题意可知X的可能取值为200，300，400，
则P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
故X的分布列为
X 200 300 400
P
当堂检测
1.(2021·江西南昌二中高二月考)下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是(　　)
A.将一枚均匀的正方体骰子掷两次，所得点数之和
B.某篮球运动员6次罚球中投进的球数
C.电视机的使用寿命
D.从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数
解析：选C.题目中A，B，D都属于离散型随机变量，而C电视机的使用寿命属于连续型随机变量.
2.袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球、5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回4个球”的事件为(　　)
A.X＝4　　　　　　　　　 B.X＝5
C.X＝6 D.X≤4
解析：选B.根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故X＝5，故选B.
3.袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3.现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.X＝3，第一种情况表示1个3，P1＝＝；第二种情况表示2个3，P2＝＝，所以P(X＝3)＝P1＋P2＝＋＝.
4.设随机变量ξ只能取5，6，7，…，16这12个值，且取每一个值的概率均相等，若P(ξ＜x)＝，则x的取值范围是　　　　.
解析：依题意知，ξ的分布列为
ξ 5 6 7 … 16
P …
由分布列知，P(ξ＜x)＝P(ξ＝5)＝.
故x∈(5，6].
答案：(5，6]

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