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动量矩定理
一、 质点的动量矩定理(theorem of angular momentum)
质点对定点O的动量矩
作用力F 对同一点O的矩
将动量矩对时间取一阶导数，得
动量矩定理
则上式为
因为
所以
上式为质点动量矩定理：
质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。
动量矩定理
上式在直角坐标轴上的投影式
动量矩定理
质点系的动量矩定理
设质点系内有n 个质点。Fi(i)——第i个质点上的内力，Fi (e)——第i个质点上的外力。
由质点的动量矩定理有：
这样的方程共有n个，相加后得
而
所以
动量矩定理
上式称为质点系动量矩定理：
质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和（外力对点O的主矩）。
应用时，取投影式
动量矩定理
动量矩守恒定律
1、质点：
如果
则
常矢量。
如果
则
常量。
上述两种情况就是质点的动量矩守恒定律。
2、质点系：
如果
则
则
如果
常矢量。
常量。
上述两种情况就是质点系的动量矩守恒定律。
动量矩定理
动量矩定理
动量矩定理的应用
　　应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）
1．已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。
2．已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体
的角加速度或角速度的改变。
3．已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数
和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。
例：高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为R，转动惯量为J，作用在鼓轮上的力偶矩M，小车和矿石总质量为m，轨道的倾角为θ。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。
动量矩定理
解：取整体为研究对象,其受力分析如图示。
由质点系对O轴的动量矩定理，有：
因
得
Fx
mg
FN
Fy
P
a
动量矩定理
m1
m2
例: 已知:
求角加速度。
解：取整体为研究对象
由质点系对O轴的动量矩定理，有：
m1g
m2g
mg
FOx
FOy
vA
vB
动量矩定理
解：取整体为研究对象
因为
所以
常数
当θ= 0时，
当θ≠0时，
由LZ1=LZ2，得
mg
mg
动量矩定理

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