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非正弦周期函数的
有效值、和平均功率
非正弦周期函数的
有效值、和平均功率
1、有效值
I = √1/T∫0T i2dt
当 i =Im Sin(ωt+φ)时，
I = Im/√2
当 i =I0 + ∑Ikm Sin(kωt+φk) 时，
所以 I=√ I02 + I12 + I22 + I32 +…….. = √ ∑ Ik2
同理 U= √ ∑ Uk2
三角级数
f (t) = A0+ A1Sin(ωt+ φ1）+ A2Sin(2ωt+ φ)
+…….+ AkSin(kωt+ φk)+………
= A0 +∑ Ak Sin(kωt+ φk)
其中 A0 = a0，Ak=√ ak2 + bk2 ， tg φk =bk/ak
——三角函数组成——三角级数——傅立叶级数
A0——f (t) 的恒定（直流）分量——f (t) 的平均值
A1Sin(ωt+ φ1 )——一次谐波——基波，频率为ω
其余为高次谐波，频率为kω的分量，称为k次谐波。
k——奇数——奇次谐波；
k——偶数——偶次谐波
平均功率
N
i
u
设 u= U0 + ∑Ukm Sin(kωt+φku)
i=I0 + ∑Ikm Sin(kωt+φki)
瞬时功率 p=ui
平均功率 P=1/T∫0T p dt = 1/T∫0T ui dt
= U0I0 + U1I1Cosφ1 + U2I2 Cosφ2 + U3I3 Cosφ3 +…
=P0 + P1 + P2 + P3 +……
= ∑ Pk —— 各次谐波平均功率之和
步
骤
1。分解成傅立叶级数，取前几项
2。分别计算
恒定分量——直流电路
各次谐波的响应——用相量法
3。应用叠加原理，把各次谐波响应的 舜时值 相叠加。
例1
已知 u(t)=10 + 141.4 Sinωt+70.7 Sin(3ωt+300) (V)
XL(1)= ωL= 2Ω， XC(1)= 1/(ωC)= 15Ω
R1= 5Ω， R2= 10Ω
求：电流 i、i1 、i2 及R1支路吸收的有功功率P 。
C
L
R2
R1
i2
i1
u(t)
i
例1（续）解：
1。 u(t)的直流分量U0 =10V单独作用时
2。 基波u1(t) = 141.4 Sinωt（V）单独作用时
C
L
R2
R1
i2
i1
u(t)
i
L——短路，
∴ I1(0)=U0 /R1=10V/5Ω= 2A
I2(0)= 0,
I(0)= I1(0) + I2(0)
= I1(0) = 2A
C——开路
U1 = 100 00 (V)
I1(1)=U1 /(R1+jXL(1))
I2(1)=U1 /(R2–jXC(1))
I (1)= I1(1) + I2(1)
= 100/(5+j2)=18.55 –21.80 (A)
= 100/(10–j15)=5.55 +56.30 (A)
= 20.43 –6.380 (A)
例1（续）
3。 三次谐波u3(t) = 70.7 Sin (3ωt+ 30o ) (V) 单独作用时
U3 = 50 30o (V),
XL(3)= 3ωL= 6Ω，
I1(3)=U3 /(R1+jXL(3))
I2(3)=U3 /(R2–jXC(3))
I (3)= I1(3) + I2(3) = 8.61 10.17 o (A)
= 50 30o /(5+j6)
=6.40 –20.2o (A)
= 50 30o /(5–j5)
= 4.47 56.57 o (A)
XC(3)= 1/(3ωC)= 5Ω
C
L
R2
R1
i2
i1
u(t)
i
例1（续）
用瞬时值叠加
i1 =2+ 18.55√2 Sin (ωt–21.8o ) + 6.4√2 Sin (3ωt–20.19o ) (A)
i2 = 5.55√2 Sin (ωt+56.31o ) + 4.47√2 Sin (3ωt+56.57o ) (A)
i = 2+ 20.43√2 Sin (ωt – 6.38o ) + 8.61√2 Sin (3ωt+10.17o ) (A)
例1（续）
R1支路吸收的有功功率PR1
PR1 = U1(0) I1(0) + U1(1) I1(1) Cosφ1 + U1(3) I1(3) Cosφ3
= 10V*2A + 100V*18.55ACos21.8o+50V*6.4ACos50.19o
=1947(W)
或 I1 = √I1(0)2 + I1(1)2 + I1(3)2 + ……
= 19.725 (A)
∴PR1 = R1*I12 =1945.3(W)
C
L
R2
R1
i2
i1
u(t)
i
例2
ωt
Em
O
u(t)
π 2π 3π
u(t)
L
i
已知 Em =10V，f=10Hz，L=1/(2π)H
求： 电流 i =
解：u = (4Em/π)(Sinωt + 1/3Sin3ωt + 1/5Sin5ωt+……)
=9√2Sinωt +3√2Sin3ωt +1.8√2Sin5ωt (V)
例2(续)
u = 9√2Sinωt +3√2Sin3ωt +1.8√2Sin5ωt (V)
f1 =10Hz时， XL1 =2πf1L=10Ω
f3 =30Hz时， XL3 =2πf3L=30Ω
f5 =50Hz时， XL5 =2πf5L=50Ω
各电流分量的有效值为：
I1=U1/XL1 =9.0V/10Ω=0.9A，
I5=U5/XL5 =1.8V/50Ω=0.036A
I=√ I12 + I32 + I52 + …… = 0.915A
I3=U3/XL3 =3.0V/30Ω=0.1A

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