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2022年7月浙江省普通高中学业水平考试
数学试题
（时间80分钟，总分100分）
选择题部分
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数（i为虚数单位）的实部是（ ）
A.1 B. C.2 D.
3.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
4.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到黄球的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知平面向量，.若，则实数（ ）
A. B.3 C. D.12
7.已知球的半径是2，则该球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
8.设，下列选项中正确的是（ ）
A. B. C. D.
9.中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水的温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.已知在25℃的室温下，函数近似刻画了茶水温度（单位：℃）随时间（单位：min）的变化规律.为达到最佳饮用口感，刚泡好的茶水大约需要放置（参考数据：，）（ ）
A.5min B.7min C.9min D.11min
10.设，是实数，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11.在中，设，，，其中.若和的重心重合，则（ ）
A. B.1 C. D.2
12.如图，棱长均相等的三棱锥中，点是棱上的动点（不含端点），设，二面角的大小为.当增大时，（ ）
A.增大 B.先增大后减小 C.减小 D.先减小后增大
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）
13.图象经过第三象限的函数是（ ）
A. B. C. D.
14.下列选项中正确的是（ ）
A.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直
B.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行
C.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直
D.过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
15.在锐角中，有（ ）
A. B.
C. D.
16.已知，设，是函数与图象的两个公共点，记.则（ ）
A.函数是周期函数，最小正周期是 B.函数在区间上单调递减
C.函数的图象是轴对称图形 D.函数的图象是中心对称图形
非选择题部分
三、填空题（本大题共4小题，每空分3分，共15分）
17.已知函数则______，______.
18.某广场设置了一些石凳供大家休息，每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的（如图，从棱的中点截）.如果被截正方体的棱长是4（单位：dm），那么一个石凳的体积是______（单位：）.
19.已知实数，，则的最小值是______.
20.已知平面向量，是非零向量.若在上的投影向量的模为1，，则的取值范围是______.
四、解答题（本大题共3小题，共33分）
21.（11分）在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，…，第六组，画出频率分布直方图如图所示.
（1）求第三组的频率；
（2）估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.
22.（11分）已知函数.
（1）求的值；
（2）求函数的最小正周期；
（3）当时，恒成立，求实数的最大值.
23.（11分）已知函数，其中.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）证明：函数存在唯一零点；
（3）设，证明：.
参考答案
1.D [∵，，∴.故选：D.]
2.C [复数的实部是2，故选：C.]
3.D [∵，∴，即函数的定义域为.故选：D.]
4.A [∵，∴.∵，∴.故选：A.]
5.C [5个大小质地完全相同的球，黄球有3个，则随机摸出1个球，摸到黄球的概率为.故选：C.]
6.B [由，可得，.故选：B.]
7.D [，故选：D.]
8.A
9.B [当，，已经接近60，又函数在上单调递减，则大约在7min时口感最佳.故选：B.]
10.B 11.D
12.C [取，的中点，，连接，交于点（重心），连接，则平面，过作，交于点.
当时，平面平面，此时二面角的平面角的余弦值为（射影法）；
当从运动到的过程中（图），为二面角的平面角的补角，且增大，增大，故二面角的平面角减小；
当时，二面角为直二面角；
当从运动到的过程中（图），为二面角的平面角，且减小，减小，故二面角的平面角减小.
]
13.BD [A中，过第一、二象限；B中，过第一、三象限；C中，过第一、二象限；D中，过第一、三象限.故选：BD.]
14.AC
15.ABC [因为，故A正确；
因为，故B正确；
因为，故C正确；
当，故D错误.]
16.BC [分别作出与（周期为）的图象（如图）.
当时，单调递增；
当时，单调递减，故B正确；作出的图象（如图），
可知其为周期函数，且最小正周期为，故A错误；
对于任意，此时作关于的对称函数，且也关于对称，故，即关于对称，故C正确，D错误.故选：BC.]
17.4 2 [；.答案：4；2.]
18. [正方体的体积为，截去的一个四面体的体积为，则石凳的体积为.]
19. [，当且仅当时取等号.]
20. [，令，，
.]
21.解：（1）第三组的频率为.
（2）平均值
，
因为，，
所以第25百分位数为.
22.解：（1）.
（2），
所以函数的最小正周期.
（3）当，恒成立，即，所以，
因为，所以，解得，即实数的最大值为.
23.解：（1）若.
（2）证明：在上单调递增，且，
，由零点存在定理得在内有唯一零点.
（3）证明：若，则，
.又，
，
令，
又，所以的图象开口向上，对称轴，
所以在上单调递增，
，
即.所以.

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