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江苏省苏州市2023年中考数学模拟考试卷
（时间：120分钟 满分：130分）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．当a＞0时，（　　）
A．±a B．a C．﹣a D．0
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．（2a2）3＝6a6
C．（﹣2a）2 a3＝4a5 D．x4÷x4＝0
3．为了解某中学2500名学生家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，从中随机调查400名家长，结果有380名家长持赞成态度，则下列说法正确的是（　　）
A．调查方式是全面调查
B．该校只有380名家长持赞成态度
C．样本是400
D．该校约有95%的家长持赞成态度
4．如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是的中点，连结BD，AC交于点E，若∠C＝38°，则∠CED的度数是（　　）
A．115° B．116° C．118° D．120°
5．把一张有一组对边平行的纸条，按如图所示的方式折叠，若∠EFB＝35°，则下列结论错误的是（　　）
A．∠CEF＝35° B．∠BGE＝70° C．∠BFD＝110° D．∠AEC＝120°
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点D′处，CD′交AB于点F，则AF的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝1，且经过A（m、c）、B（n、c）两点，则m+n的值为（　　）
A．1 B．2 C．c D．不能确定
8．如图，平面直角坐标系中，一次函数yx分别交x轴、y轴于A、B两点，若C是x轴上的动点，则2BC+AC的最小值（　　）
A．26 B．6 C．3 D．4
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．若一个数的相反数是﹣7，则这个数为 　 　．
10．有一组数据：1，1，1，1，m．若这组数据的方差是0，则m为　 　．
11．不等式组的解集是　 　．
12．一个不透明的口袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出的是白球的概率是　 　．
13．如图，半径为3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB的值为 　 　．
14．关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　．
15．如图，正方形ABCD边长为3，M、N在对角线AC上且∠MBN＝45°，作ME⊥AB于点E、NF⊥BC于点F，反向延长ME、NF交点G，则GE GF的值是　 　．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝15，若点P为BC上动点．以BP为斜边向矩形ABCD内部作等腰直角△BPQ，∠BQP＝90°．则DP+PQ的最小值为 　 　．
三．解答题（共11小题，满分82分）
17．（5分）计算：．
18．（6分）（1）x2﹣2x﹣3＝0； （2）2（x﹣3）＝3x（3﹣x）．
19．（6分）某校征求家长对某一事项的意见，随机抽取该校部分家长，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该事项的态度，将结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）这次共抽取了 　 　名家长进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是 　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该学校共有2000名学生家长，估计该学校家长表示“支持”的（A类，B类的和）人数大约有多少人？
20．（6分）交通拥堵是城市发展中的顽疾．某市从A地到火车站共有两条道路L1和L2，现准备对其中耗时多的一条道路进行拓宽改造，为此市交通局对从A地到火车站的行驶时间进行调查．现随机抽取驾车从A地到火车站的100人进行调查，调查结果如下：
行驶时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
驾行L1的人数 5 14 20 18 3
驾行L2的人数 1 4 16 18 1
（1）抽取行驶时间在50～60分钟到达火车站的人进行座谈，从这4人中随机抽取2人现场填写问卷，请用列表或画树状图法求这2人是选择不同道路到火车站的概率；
（2）以A地到达火车站所用时间的平均值作为决策依据，试通过计算说明，从A地到火车站应选择哪条道路进行拓宽改造？
21．（6分）如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若BG＝CA，求证：GA＝2DE．
22．（8分）如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与双曲线（k≠0）相交于A（m，2）和B（2，﹣1）两点，与x轴相交于点C，过点B作BD⊥x轴，垂足为点D．
（1）求双曲线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）根据图象直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
23．（8分）在平面直角坐标系中，⊙M过坐标原点O且分别交x轴、y轴于点A，B，点C为第一象限内⊙M上一点．若点A（6，0），∠BCO＝30°．
（1）求点B的坐标；
（2）若点D的坐标为（﹣2，0），试猜想直线DB与⊙M的位置关系，并说明理由．
24．（8分）某超市销售一种商品，成本价为20元/千克．经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系y＝﹣x+180，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
（1）如果该超市销售这种商品每天获得3900元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
（2）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
25．（8分）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，DB∥AC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2，若AO＝CO＝80cm，∠AOC＝120°．
①点O到AC的距离为　 　cm，AC的长为　 　cm（结果保留根号）；
②若BO＝20cm，则熨烫台的高度h＝　 　cm；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为128cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图3）．求该熨烫台支撑杆AB的长度．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
26．（10分）如图1，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点G在CD上，且DG＝5，点P从点B出发，以1单位每秒的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x秒．
（1）△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求y＝34时x的值；
（2）在点P从B向C运动的过程中，是否存在使AP⊥GP的时刻？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，M，N分别是AP、PG的中点，在点P从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形是什么形状 　 　，并直接写出它的面积 　 　．
27．（11分）如图1，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠DAC＝37°，AC＝10，点O在边AD上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，OD为半径在AD的下方作半圆O，半圆O与AD交于点M．（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）
如图1，当OD＝2时，∠OCD＝　 　°，点C到半圆O的最短距离＝　 　；
（2）半圆O与AC相切时，求OD的长？
（3）如图2，半圆O与AC交于点E、F，当EF＝6.4时，求扇形EOF的面积？
（4）以AD，DC为边矩形ABCD，当半圆O与△ABC有两个公共点时，则OD的取值范围是 　 　.中小学教育资源及组卷应用平台
江苏省苏州市2023年中考数学模拟考试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．当a＞0时，（　　）
A．±a B．a C．﹣a D．0
【分析】根据即可求解．
【解答】解：当a＞0时，．
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的性质，掌握是解题的关键
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2＝2a4 B．（2a2）3＝6a6
C．（﹣2a）2 a3＝4a5 D．x4÷x4＝0
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方的运算法则，单项式乘以单项式的运算法则，同底数幂的除法法则解答即可．
【解答】解：A、原式＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、原式＝8a6，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、原式＝4a5，原计算正确，故此选项符合题意；
D、原式＝1，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】考查了单项式乘单项式，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方等知识点，属于基础题，熟记相关计算法则是解题的关键．
3．为了解某中学2500名学生家长对“骑电动车需戴头盔”的态度，从中随机调查400名家长，结果有380名家长持赞成态度，则下列说法正确的是（　　）
A．调查方式是全面调查
B．该校只有380名家长持赞成态度
C．样本是400
D．该校约有95%的家长持赞成态度
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：A．调查方式是抽样调查，故此选项不合题意；
B．400名家长里有380名家长持赞成态度，故此选项不合题意；
C．样本容量是400，故此选项不合题意；
D．该校约有：100＝95%的家长持赞成态度，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
4．如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是的中点，连结BD，AC交于点E，若∠C＝38°，则∠CED的度数是（　　）
A．115° B．116° C．118° D．120°
【分析】设半圆的圆心为O，连结AO，BO，BC，根据直径所对的圆周角是直角得到∠CBD＝90°，根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等得到∠BOC＝∠AOB，根据等腰三角形两底角相等得到∠A＝∠ACO＝38°，求出∠AOC的度数，进而得到∠BOC＝∠AOB的度数，根据圆周角定理得到∠ACB∠AOB的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到∠CED＝∠ACB+∠CBD的度数．
【解答】解：如图，设半圆的圆心为O，连结AO，BO，BC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∵B是的中点，
∴∠BOC＝∠AOB，
∵OA＝OC，∠ACO＝38°，
∴∠A＝∠ACO＝38°，
∴∠AOC＝180°﹣38°﹣38°＝104°，
∴∠BOC＝∠AOB＝52°，
∵∠ACB是所对的圆周角，
∴∠ACB∠AOB52°＝26°，
∵∠CED是△BCE的外角，
∴∠CED＝∠ACB+∠CBD＝26°+90°＝116°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理，遇到弧的中点，经常转化为圆心角相等或圆周角相等，这是解题的关键．
5．把一张有一组对边平行的纸条，按如图所示的方式折叠，若∠EFB＝35°，则下列结论错误的是（　　）
A．∠CEF＝35° B．∠BGE＝70° C．∠BFD＝110° D．∠AEC＝120°
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：A．∵AE∥BF，
∴∠C'EF＝∠EFB＝35°（两直线平行，内错角相等），
由折叠性质可得：∠CEF＝∠C'EF＝35°，
故A选项不符合题意；
B．∵AE∥BF，
∴∠C'EF＝∠EFB＝35°，
由折叠可得：∠C'EF＝∠FEG＝35°，
∵∠BGE＝∠FEG+∠EFB＝35°+35°＝70°，
故B选项不符合题意；
C．∵AE∥BF，
∴∠EGF＝∠AEC＝110°（两直线平行，内错角相等），
∵EC∥FD，
∴∠BFD＝∠EGF＝110°（两直线平行，内错角相等），
故C选项不符合题意；
D∵纸条按如图所示的方式析叠，
∴∠FEG＝∠C'EF＝35°，
∴∠AEC＝180°﹣∠FEG﹣∠C'EF＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形ABCD沿AC折叠，使点D落到点D′处，CD′交AB于点F，则AF的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】由折叠可知AD＝AD′＝4，∠DCA＝∠D′CA，由矩形可得AB∥CD，进而得出∠DCA＝∠CAF，AF＝FC，设未知数，在直角三角形中由勾股定理求解即可．
【解答】解：由折叠可知AD＝AD′＝4，∠DCA＝∠D′CA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAF，
∴∠CAF＝∠FCA，
∴AF＝FC，
设AF＝x，则FC＝x，FB＝8﹣x，
在Rt△BCF中，由勾股定理得，
FC2＝FB2+BC2，
即x2＝（8﹣x）2+42，
解得x＝5，
即AF＝5，
故选：B．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，直角三角形的边角关系，理解翻折变换的性质、直角三角形的边角关系是解决问题的前提．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝1，且经过A（m、c）、B（n、c）两点，则m+n的值为（　　）
A．1 B．2 C．c D．不能确定
【分析】根据抛物线的对称性即可求得．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x＝1，且经过A（m、c）、B（n、c）两点，
∴A（m、c）、B（n、c）两点关于直线x＝1对称，
∴1，
∴m+n＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象函数性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性解决本题的关键．
8．如图，平面直角坐标系中，一次函数yx分别交x轴、y轴于A、B两点，若C是x轴上的动点，则2BC+AC的最小值（　　）
A．26 B．6 C．3 D．4
【分析】2BC+AC＝2（BCAC），先得到∠BAO＝30°，作B点的对称点E，作CD⊥AE，所以CD，可得BCAC＝BC+CD，可得当B、C、D共线时，BCAC最小，进而可求得．
【解答】解：如图，
∵B（0，），A（3，0），
∴tan∠BAO，
∴∠BAO＝30°，
∴AB＝2OB＝2，
在BO的延长线上取OE＝OB，
∴∠OAE＝∠BAO＝30°，
作CD⊥AE于D，
∴CDAC，
∴BCAC＝BC+CD，
∴当B、C、D在同一条直线上时，
BCAC最小，
过B点作BH⊥AE于H，
在Rt△ABH中，∠BAH＝2∠BAO＝60°，
∴BH＝AB sin60°
＝2
＝3，
∴BCAC最小值是3，
∴2BC+AC＝2（BCAC）最小值是6，
故选：B．
【点评】本题考查了“胡不归”问题，即PA+k PB形式问题，解决问题的关键是根据三角函数构造出“k”或．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．若一个数的相反数是﹣7，则这个数为 　7　．
【分析】根据相反数的定义即可得出答案．
【解答】解：﹣7的相反数是7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了相反数的定义，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
10．有一组数据：1，1，1，1，m．若这组数据的方差是0，则m为　1　．
【分析】一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，根据方差的定义即可求解．
【解答】解：依题意可得，
平均数：，
∴0，
解得m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了方差，熟练运用方差公式是解题的关键．
11．不等式组的解集是　﹣3≤x＜1　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式1﹣x≤4，得：x≥﹣3，
解不等式1，得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜1，
故答案为：﹣3≤x＜1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．一个不透明的口袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出的是白球的概率是　　．
【分析】直接利用概率公式求出答案．
【解答】解：∵一个不透明的口袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，
∴摸出的是白球的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
13．如图，半径为3的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB的值为 　　．
【分析】设⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD，根据切线定理得到BO平分∠ABC，OD⊥BC，解直角三角形即可得解．
【解答】解：设⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD，
∵⊙O与AB、BC都相切，
∴BO平分∠ABC，OD⊥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠OBD∠ABC＝30°，
∵OD＝3，tan∠OBD＝tan30°，
∴BD＝3，
∵BC＝8，
∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3，
∴tan∠OCB．
故答案为：．
【点评】此题考查了切线的性质，熟记切线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
14．关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＜4　．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解关于m的不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，
解得m＜4．
故答案为：m＜4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．如图，正方形ABCD边长为3，M、N在对角线AC上且∠MBN＝45°，作ME⊥AB于点E、NF⊥BC于点F，反向延长ME、NF交点G，则GE GF的值是　　．
【分析】过M作MQ⊥BC于Q，过N作NP⊥AB于P，依据等腰直角三角形的性质即可得出CMMQGF，ANPNEG，再判定△ABN∽△CMB，根据相似三角形的性质，即可得到CM×AN＝AB×CB，进而得出GE GF的值是．
【解答】解：如图所示，过M作MQ⊥BC于Q，过N作NP⊥AB于P，
则Rt△APN中，ANPNEG，
Rt△CMQ中，CMMQGF，
∵正方形ABCD中，AC是对角线，
∴∠BAN＝∠MCB＝45°，
又∵∠MBN＝45°，
∴∠ABN＝∠ABM+45°＝∠CMB，
∴△ABN∽△CMB，
∴，即CM×AN＝AB×CB，
∴GFEG＝9，即2GF×EG＝9，
∴GE GF的值是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合运用，判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝15，若点P为BC上动点．以BP为斜边向矩形ABCD内部作等腰直角△BPQ，∠BQP＝90°．则DP+PQ的最小值为 　　．
【分析】延长DC到点F，使CF＝CD，连接PF，延长BQ交AD于点E，作FH⊥BE于点H，交BC于点G，先证明∠CFG＝∠CGF＝45°，∠HGB＝∠HBG＝45°，则CG＝CF＝6，HG＝HB，所以BG＝9，再由勾股定理求得FG＝6，HG，即可求得FH，再由“垂线段最短”推导出DP+PQ，即可求出DP+PQ的最小值为．
【解答】解：如图，延长DC到点F，使CF＝CD，连接PF，延长BQ交AD于点E，作FH⊥BE于点H，交BC于点G，
∵PQ＝BQ，∠BQP＝90°，
∴∠QBP＝∠QPB＝45°，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝15，
∴CF＝CD＝AB＝6，∠BCD＝90°，
∴∠GCF＝180﹣∠BCD＝90°，
∵∠BHF＝∠BQP＝90°，
∴FH∥PQ，
∴∠CGF＝∠HGB＝∠QPB＝45°，
∴∠CFG＝∠CGF＝45°，∠HGB＝∠HBG＝45°，
∴CG＝CF＝6，HG＝HB，
∴BG＝BC﹣CG＝15﹣6＝9，FG6，
∵HG2+HB2＝BG2，
∴2HG2＝92＝81，
∴HG，
∴FH＝FG+HG＝6，
∵PC垂直平分DF，
∴DP＝FP，
∵DP+PQ＝FP+PQ，
∴FP+PQ≥FH，
∴DP+PQ，
∴DP+PQ的最小值是，
故答案为：．
【点评】此题重点考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三．解答题（共11小题，满分82分）
17．（5分）计算：．
【分析】先逐项化简，再算加减即可．
【解答】解：
＝1．
【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值的意义，零指数幂的意义是解答本题的关键．
18．（6分）（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）2（x﹣3）＝3x（3﹣x）．
【分析】（1）利用十字相乘法解方程；
（2）利用提公因式法解出方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（2）2（x﹣3）＝3x（3﹣x），
2（x﹣3）+3x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2+3x）＝0，
则x﹣3＝0或2+3x＝0，
解得：x1＝3，x2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
19．（6分）某校征求家长对某一事项的意见，随机抽取该校部分家长，按四个类别：A表示“非常支持”，B表示“支持”，C表示“不关心”，D表示“不支持”，调查他们对该事项的态度，将结果绘制成两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：
（Ⅰ）这次共抽取了 　60　名家长进行调查统计，扇形统计图中，D类所对应的扇形圆心角的大小是 　18°　；
（Ⅱ）将条形统计图补充完整；
（Ⅲ）该学校共有2000名学生家长，估计该学校家长表示“支持”的（A类，B类的和）人数大约有多少人？
【分析】（Ⅰ）从两个统计图可知，“C不关心”的频数为9人，占调查人数的15%，可求出调查人数，进而求出“D不支持”所占的百分比，求出相应的圆心角的度数；
（Ⅱ）求出“A非常支持”的人数，即可补全条形统计图；
（Ⅲ）求出样本中“A类与B类的和”所占的百分比，估计总体的百分比，通过计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）9÷15%＝60（人），360°18°，
故答案为：60，18°；
（Ⅱ）“A非常支持”的人数为：60﹣3﹣9﹣36＝12（人），补全条形统计图如下：
（Ⅲ）20001600（人），
答：该学校共有2000名学生家长中表示“支持”的（A类，B类的和）人数大约有1600人．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图，掌握频率是正确计算的前提，理解两个统计图之间的数量关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
20．（6分）交通拥堵是城市发展中的顽疾．某市从A地到火车站共有两条道路L1和L2，现准备对其中耗时多的一条道路进行拓宽改造，为此市交通局对从A地到火车站的行驶时间进行调查．现随机抽取驾车从A地到火车站的100人进行调查，调查结果如下：
行驶时间（分钟） 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60
驾行L1的人数 5 14 20 18 3
驾行L2的人数 1 4 16 18 1
（1）抽取行驶时间在50～60分钟到达火车站的人进行座谈，从这4人中随机抽取2人现场填写问卷，请用列表或画树状图法求这2人是选择不同道路到火车站的概率；
（2）以A地到达火车站所用时间的平均值作为决策依据，试通过计算说明，从A地到火车站应选择哪条道路进行拓宽改造？
【分析】（1）用列表法表示从驾行L1的3人和驾行L2的1人中任意选择2人，得出所有可能出现的结果，进而求出选择不同道路到火车站的概率；
（2）根据加权平均数的计算方法计算出驾行L1、驾行L2的所有人用时的平均数，比较得出答案．
【解答】解：（1）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有12种可能出现的结果情况，其中两人选择不同路线的有6种，
所以这2人是选择不同道路到火车站的概率为；
（2）驾行L1的所有人用时的平均数为152535455535（分），
驾行L2的所有人用时的平均数为152535455538.5（分），
∵35＜38.5，
∴从A地到火车站应选择驾行L2的道路进行拓宽改造．
【点评】本题考查列表法或树状图法求简单随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
21．（6分）如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若BG＝CA，求证：GA＝2DE．
【分析】（1）利用AAS证明△BED≌△CFD，得BE＝CF；
（2）利用HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF，得GE＝AF，从而解决问题．
【解答】证明：（1）∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠F，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE＝CF；
（2）在Rt△BGE和Rt△CAF中，
，
∴Rt△BGE≌Rt△CAF（HL），
∴GE＝AF，
∴AG＝EF．
∵△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，
∴GA＝2DE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用HL证明Rt△BGE≌Rt△CAF是解题的关键．
22．（8分）如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与双曲线（k≠0）相交于A（m，2）和B（2，﹣1）两点，与x轴相交于点C，过点B作BD⊥x轴，垂足为点D．
（1）求双曲线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）根据图象直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
【分析】（1）利用B点的坐标根据待定系数法求得反比例函数的解析式；
（2）把A（m，2）代入（1）求得的抛物线的解析式，即可得出A点坐标，根据三角形面积公式即可求得；
（3）根据图象求得即可．
【解答】解：（1）∵双曲线（k≠0）经过B（2，﹣1），
∴k＝2×（﹣1）＝﹣2，
∴双曲线为y；
（2）把A（m，2）代入y得，2，
解得m＝﹣1，
∴A（﹣1，2），
∴S△ABD1×（2+1）．
（3）当y1＞y2时，x的取值范围为：x＜﹣1或0＜x＜2．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数解析式求法以及三角形面积求法，正确得出A点坐标是解题关键．
23．（8分）在平面直角坐标系中，⊙M过坐标原点O且分别交x轴、y轴于点A，B，点C为第一象限内⊙M上一点．若点A（6，0），∠BCO＝30°．
（1）求点B的坐标；
（2）若点D的坐标为（﹣2，0），试猜想直线DB与⊙M的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）连接AB，可得出AB就是直径，利用圆周角定理可得出△OAB是含有30°的直角三角形，通过解直角三角形求出OB即可；
（2）根据直角三角形的边角关系可求出∠DBO＝30°，再根据等边三角形的性质可求出∠MBO＝60°，进而得出∠MBD＝90°，得出结论．
【解答】（1）如图，连接AB，
∵∠BAO＝∠BCO＝30°，∠AOB＝90°，
∴AB为⊙M的直径，
∵A（6，0），
∴OA＝6．
∵tan∠BAO，
∴OB＝2，
∴B（0，2）；
（2）DB与⊙M相切，理由如下：
∵D（﹣2，0），
∴OD＝2，
在Rt△BOD中，tan∠DBO，
∴∠DBO＝30°，
连接OM，∵∠BMO＝2∠BCO＝2×30°＝60°，
∴∠MBO＝60°，
∴∠DBM＝∠DBO+∠MBO＝30°+60°＝90°，
∴DB是⊙M的切线，
即DB与⊙M相切．
【点评】本题考查圆周角定理，等边三角形的判断和性质，直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系和圆周角定理是解决问题的关键．
24．（8分）某超市销售一种商品，成本价为20元/千克．经市场调查，每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数关系y＝﹣x+180，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元．
（1）如果该超市销售这种商品每天获得3900元的利润，那么该商品的销售单价为多少元？
（2）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）依据题意列出方程，解方程即可得出结论；
（2）利用利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，利用二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）根据题意，得：
（x﹣20）（﹣x+180）＝3900，
整理，得：x2﹣200x+7500＝0，
解得：x1＝50，x2＝150，
∵30≤x≤80，
∴x＝150，不合题意，舍去，
∴x＝50．
答：如果该超市每天获得3900元的利润，销售单价应为50元．
（2）由题意，得w＝（x﹣20）（﹣x+180）
＝﹣x2+200x﹣3600
＝﹣（x2﹣200x+10000﹣10000）﹣3600
＝﹣（x﹣100）2+6400，
∵a＝﹣1＜0，
∴w有最大值．
当x＜100时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤80，
∴当x＝80时，w有最大值，此时，w＝﹣（80﹣100）2+6400＝6000（元）．
答：销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润是6000元．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，依据题意列出方程和二次函数的关系式是解题的关键．
25．（8分）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，DB∥AC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2，若AO＝CO＝80cm，∠AOC＝120°．
①点O到AC的距离为　40　cm，AC的长为　80　cm（结果保留根号）；
②若BO＝20cm，则熨烫台的高度h＝　50　cm；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度h为128cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图3）．求该熨烫台支撑杆AB的长度．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°＝0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
【分析】（1）过点O作OE⊥AC，垂足为E，利用等腰三角形的三线合一可得出∠AOE的度数及AC＝2AE，在Rt△AEO中，通过解直角三角形可求出AE的长，再结合AC＝2AE即可求出AC的长；
（2）过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF＝128cm，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠OAC的度数，在Rt△ABF中，通过解直角三角形即可求出AB的长．
【解答】解：（1）①如图2，过点O作OE⊥AC，垂足为E，
∵AO＝CO＝80cm，
∴∠AOE∠AOC120°＝60°，AC＝2AE．
在Rt△AEO中，OEOA＝40（cm），
AE＝AO sin∠AOE＝8040（cm），
∴AC＝2AE＝80．
答：AC的长为80cm．；
②延长EO交BD于F，
∵DB∥AC，
∴∠BFO＝90°，∠FBO＝30°，
∵OB＝20cm，
∴OFOB20＝10（cm），
∴h＝OF+OE＝10+40＝50，
故答案为：40，80，50；
（2）如图，过点B作BF⊥AC，垂足为F，则BF＝128cm，
∵AO＝CO，∠AOC＝74°，
∴∠OAC＝∠OCA53°，
在Rt△ABF中，AB160（cm），
答：支撑杆AB长160cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）在Rt△AEO中，通过解直角三角形求出AE的长；（2）在Rt△ABF中，通过解直角三角形求出AB的长．
26．（10分）如图1，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点G在CD上，且DG＝5，点P从点B出发，以1单位每秒的速度在BC边上向点C运动，设点P的运动时间为x秒．
（1）△APG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并求y＝34时x的值；
（2）在点P从B向C运动的过程中，是否存在使AP⊥GP的时刻？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，M，N分别是AP、PG的中点，在点P从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形是什么形状 　平行四边形　，并直接写出它的面积 　15　．
【分析】（1）由图知S△APG＝S矩形ABCD﹣S△ABP﹣S△PCG﹣S△ADG，设BP＝x，分别表示出其面积即可找到表达式，再令y＝34，即可求出x；
（2）若△APG为直角三角形，则有：AP2+PG2＝AG2，用含x的式子分别表示出来，再代入求值即可求出x；
（3）分情况当P与B或当P与C重合时找到MN的位置，结合图象即可判断MN扫过区域的形状并求出面积．
【解答】解：（1）由题意可知：GC＝DC﹣DG＝9﹣5＝4，设BP＝x，则PC＝12﹣x，
∵S△APG＝S矩形ABCD﹣S△ABP﹣S△PCG﹣S△ADG＝AD ABAB BPPC GCAD DG，
∴y＝12×99x（12﹣x）×45×12，
∴y＝﹣2.5x+54，
当y＝34时，34＝﹣2.5x+54，
解得：x＝8；
（2）若在点P从B向C运动的过程中，存在使AP⊥GP，在△APG为直角三角形，则有：AP2+PG2＝AG2，
在Rt△ABP中，AP2＝AB2+BP2＝92+x2＝81+x2，
在Rt△PCG中，PG2＝PC2+GC2＝（12﹣x）2+42＝x2﹣24x+160，
在Rt△ADG中，AG2＝AD2+DG2＝122+52＝169，
∴81+x2+x2﹣24x+160＝169，
化简得：x2﹣12x+36＝0，
即（x﹣6）2＝0，
解得：x＝6；
（3）如图所示：当点P与B点重合时，点M位于AB中点，点N位于PG中点；当点P'与C点重合时，点M'位于AC中点，点N'位于P'G中点；
∵M是AB的中点，M'是AC的中点，N是PG的中点，点N'是P'G中点，
∴MM'、NN'分别是△ABC、△GBC的中位线，
∴MM'∥BC且MM'BC，NN'∥BC且NN'BC，
∴四边形MM'NN'为平行四边形，
∴MN扫过的区域为平行四边形，
∴SBC （ABGC）12×（94）＝15，
故答案为：平行四边形；15．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
27．（11分）如图1，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠DAC＝37°，AC＝10，点O在边AD上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，OD为半径在AD的下方作半圆O，半圆O与AD交于点M．（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）
如图1，当OD＝2时，∠OCD＝　30　°，点C到半圆O的最短距离＝　2　；
（2）半圆O与AC相切时，求OD的长？
（3）如图2，半圆O与AC交于点E、F，当EF＝6.4时，求扇形EOF的面积？
（4）以AD，DC为边矩形ABCD，当半圆O与△ABC有两个公共点时，则OD的取值范围是 　OD≤8或3＜OD＜6　.
【分析】（1）连接OC，OC与半圆O交于点B，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可；
（2）设切点为N，连接ON，OC，设OD＝ON＝r，利用勾股定理列出方程即可求解；
（3）过点O作OH⊥EF于点H，连接OF，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得OD的值，得到A，M，E三点重合，利用扇形的面积公式解答即可；
（4）利用分类讨论的思想方法求得半圆O与△ABC有一个，两个，三个公共点时的OD值，结合图形即可得出结论．
【解答】解：（1）连接OC，OC与半圆O交于点B，
在Rt△ADC中，
∴sin∠DAC，
∴DC＝AC sin37°＝10×0.6＝6．
在Rt△ODC中，
∵tan∠OCD，
∴∠OCD＝30°．
∵OC4，
∴BC＝OC﹣OB＝422，
∴点C到半圆O的最短距离＝2，
故答案为：30；2；
（2）当半圆O与AC相切时，设切点为N，连接ON，OC，如图，
∵∠ADC＝90°，
∴CD为半圆O的切线，
∵CN为半圆O的切线，
∴CD＝CN＝6，
∴AN＝AC﹣CN＝4．
设OD＝ON＝r，
∵AD8，
∴OA＝8﹣r．
∵CN为半圆O的切线，
∴ON⊥AC．
∴OA2＝ON2+AN2，
∴（8﹣r）2＝r2+42，
解得：r＝3．
∴OD＝3；
（3）过点O作OH⊥EF于点H，连接OF，如图，
则EH＝FH3.2，
∵∠AHO＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，
∴△AOH∽△ACD，
∴，
∴，
∴OH（8﹣OD）．
∵OH2+HF2＝OF2，
∴，
解得：OD＝4或OD＝﹣13（不合题意，舍去），
∴OD＝4，
∴OM＝OA＝OD＝4，
∴A，M，E三点重合，
∴∠EOF＝180°﹣2×37°＝106°．
∴扇形EOF的面积；
（4）如图，
当⊙O1与AC边相切与点M1时，O1M1⊥AC，
此时，⊙O1与△ABC有一个公共点，
由（2）知：O1M1＝3．
当⊙O1与BC边相切与点M2时，O2M2⊥BC，
此时，⊙O1与△ABC有三个公共点，
∴O2M2＝CD＝6．
∴当圆心O在O1与O2之间时，半圆O与△ABC有两个公共点，
∴3＜OD＜6；
当⊙O的圆心O在O2与点A之间时，此时⊙O与△ABC有两个或三个公共点，
当⊙O经过点B时，⊙O与△ABC有三个公共点，
∵OB2＝OA2+AB2，OB＝OD，OA＝8﹣OD，
∴OD2＝（8﹣OD）2+62，
解得：OD．
∴当OD时，⊙O与△ABC有三个公共点，
∴当OD≤8时，，⊙O与△ABC有两个公共点，
综上，当半圆O与△ABC有两个公共点时，OD的取值范围是OD≤8或3＜OD＜6．
故答案为：OD≤8或3＜OD＜6．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，圆的有关计算，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，直线与圆的位置关系，连接经过切点的半径和作出圆的弦心距是解决此类问题常添加的辅助线．

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