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南充高中2022—2023学年度下学期第一次月考
高2022级数学试题
（考试时间:120分钟 满分:150分）
命审题人：韩永强 郭登攀
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
2. 的值为（　　）
A. B. C. D.
3. 若，且，则角是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
4. 已知函数，下列含有函数零点的区间是（ ）
A B. C. D.
5. 函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
6. 《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）
A. B. C. D.
7. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设函数，若关于方程且在区间内恰有个不同的根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（ ）
A. 一个周期是
B. 完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆
C. 完成一个周期，顶点的轨迹长度是
D. 完成一个周期，顶点轨迹与轴围成的面积是
10. 下列命题中真命题的为（ ）
A. 命题“，”的否定是 “，”
B. 若第一象限角，则是第一或第三象限角
C. 直线是函数的图象的一条对称轴
D. 的图象对称中心为
11. 下列说法正确的是（ ）
A. “，”是“”的充分不必要条件
B. 若，则的最小值为
C. 函数，，，，使得成立，则的最大值为
D. 函数是偶函数，且最小正周期为
12. 定义，设函数，给出以下四个论断，其中正确的是（ ）
A. 是最小正周期为的奇函数
B. 图象关于直线对称，最大值为
C. 是最小值为的偶函数
D. 在区间上是增函数
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知且 则 _________
14. 函数的定义域为__________．
15. 已知是定义域在上的奇函数，且，若 ，则________
16. 关于函数有下述四个结论:
①是偶函数；
②的最大值为；
③在有个零点；
④在区间单调递增；
⑤是周期为的函数.
其中所有正确结论的编号是_________
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知，计算下列各式的值．
（1）；
（2）.
18. （1）计算:
（2）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点求的值
19. 设函数，.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的值域.
20. 已知函数的最大值为.
（1）求的值；
（2）当时，求函数的最小值以及取得最小值时的集合.
21. 已知函数为偶函数，函数为奇函数，且满足
（1）求函数，的解析式;
（2）若函数 且方程恰有三个不同的解，求实数a的取值范围.
22. 已知函数.
（1）当时，求函数的零点;
（2）当，求函数在上的最大值;
（3）对于给定的正数，有一个最大的正数，使时，都有，试求出这个正数的表达式.南充高中2022—2023学年度下学期第一次月考
高2022级数学试题
（考试时间:120分钟 满分:150分）
命审题人：韩永强 郭登攀
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集的定义和运算求出，结合交集的概念和运算即可得出结果.
【详解】由题意知，
，又，
所以.
故选：A
2. 的值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由诱导公式可得，故选B.
3. 若，且，则角是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】C
【解析】
【分析】判断出、的符号，由此可判断出角的终边所在的象限.
【详解】，，又，则.
因此，角为第三象限角.
故选：C.
【点睛】本题考查象限角的判断，考查推理能力，属于基础题.
4. 已知函数，下列含有函数零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用零点存在性定理即可求解.
【详解】解析：因为函数单调递增，且，
，
，
，
.
且
所以含有函数零点的区间为.
故选：C．
5. 函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用奇偶性排除部分选项，再由函数的最大值与1的关系判断.
【详解】解：因为，
所以是奇函数，故排除AC，
又，故排除B
故选：D
6. 《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用扇形弧长公式可直接构造方程组求解.
【详解】设所在扇形圆心角为，中周对应的半径为步，则外周对应的半径为步，
则，解得：，即扇形的圆心角大小为.
故选：D.
7. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由对数函数的定义域可得，从而即可得解.
【详解】由已知可得，
由正弦函数的性质知.
故选：C.
【点睛】本题考查了对数型复合函数定义域的确定，考查了三角函数性质的应用，属于基础题.
8. 设函数，若关于的方程且在区间内恰有个不同的根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将问题转化为与在内有且仅有个不同的交点，在的情况下，作出与的大致图象，结合图象可构造不等式组求得的范围；在的情况下，分析可知不合题意.
【详解】在区间内恰有个不同的根等价于与在内有且仅有个不同的交点，
当时，作出与大致图象如下图所示，
若与在内有且仅有个不同的交点，则，
又，，，解得：；
当时，在上恒成立，在上恒成立，
与在上有且仅有一个交点，不合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（ ）
A. 一个周期是
B. 完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆
C. 完成一个周期，顶点的轨迹长度是
D. 完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知可作出顶点的运动轨迹，可知轨迹为两个圆，结合图象可知A正确，B错误；结合圆的周长和面积求法可求得轨迹长度和围成区域面积，知CD正确.
【详解】由已知可得：点一个周期运动轨迹如图所示，
对于A，当再次回落到轴上时，发生了个单位的位移，则一个周期为，A正确；
对于B，完成一个周期，顶点的轨迹由以为圆心，为半径的圆和以为圆心，为半径的圆共同组成，不是一个半圆，B错误；
对于C，由B知，顶点的轨迹为，C正确；
对于D，顶点的轨迹与轴围成的区域面积为两个圆的面积与的面积之和，
即所求面积为，D正确.
故选：ACD.
10. 下列命题中真命题的为（ ）
A. 命题“，”的否定是 “，”
B. 若是第一象限角，则是第一或第三象限角
C. 直线是函数的图象的一条对称轴
D. 的图象对称中心为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据全称命题的否定可知A错误；由象限角的范围可知B正确；利用代入检验法，结合余弦函数性质可知C正确；由正切函数对称性知D错误.
【详解】对于A，由全称命题的否定知：原命题的否定为，，A错误；
对于B，为第一象限角，，，
当时，为第一象限角；当时，为第三象限角；
综上所述：若为第一象限角，则为第一或第三象限角，B正确；
对于C，当时，，
是对称轴，C正确；
对于D，由正切函数性质知：图象的对称中心为，D错误.
故选：BC.
11. 下列说法正确是（ ）
A. “，”是“”充分不必要条件
B. 若，则的最小值为
C. 函数，，，，使得成立，则的最大值为
D. 函数是偶函数，且最小正周期为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据诱导公式和反例可验证充分性与必要性，知A正确；结合对勾函数单调性和的范围可知B错误；将问题转化为在上的值域是在上的值域的子集，根据正弦函数值域可求得，令可确定的范围，知C正确；验证可知不是的周期，知D错误.
【详解】对于A，当，时，，充分性成立；
若，，成立，此时，，必要性不成立；
“，”是“”的充分不必要条件，A正确；
对于B，当时，，
令，在上单调递减，，
即的最小值为，B错误；
对于C，若，，使得成立，则在上的值域是在上的值域的子集；
当时，，则；
在上单调递减，在上单调递增，；
令，解得：，，
当时，在上的值域是在上的值域的子集，
即的最大值为，C正确；
对于D，当时，；当时，；
不是的周期，D错误.
故选：AC.
12. 定义，设函数，给出以下四个论断，其中正确的是（ ）
A. 是最小正周期为的奇函数
B. 图象关于直线对称，最大值为
C. 是最小值为的偶函数
D. 在区间上是增函数
【答案】BD
【解析】
【分析】结合正余弦函数的图象和的定义可确定的图象，结合图象的对称性可确定奇偶性，知AC错误；根据图象可确定对称轴和最大值，知B正确；根据解析式和正弦函数性质可知D正确.
【详解】当时，；当时，；
由此可得图象如下图所示，
对于A，图象不关于原点对称，不是奇函数，A错误；
对于B，由图象可知：图象关于对称，且，B正确；
对于C，图象不关于轴对称，不是偶函数，C错误；
对于D，当时，，在上是增函数，D正确.
故选：BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知且 则 _________
【答案】##
【解析】
【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，结合三角函数在各象限的符号即可求解.
【详解】由，得，即.
因为，
所以，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
14. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
【详解】由，得，解得，
又，
∴
∴函数的定义域为．
答案：
15. 已知是定义域在上的奇函数，且，若 ，则________
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件及奇函数的定义即可求解.
【详解】因为是定义域在上的奇函数，
所以，即，
所以，
，
，
，
所以.
故答案为：.
16. 关于函数有下述四个结论:
①是偶函数；
②的最大值为；
③在有个零点；
④在区间单调递增；
⑤是周期为的函数.
其中所有正确结论的编号是_________
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据奇偶性定义可知①正确；分别判断的值域，结合最值点可确定②正确；结合正弦函数值域可确定在的零点个数，知③错误；化简函数解析式，结合正弦函数单调性可知④正确；通过验证知⑤错误.
【详解】对于①，定义域为，，
为偶函数，①正确；
对于②，，，
当时，即或时，，②正确；
对于③，当时，，，则此时无零点；
由①知：为偶函数，当时，无零点；
又，在有个零点，③错误；
对于④，当时，，
则在上单调递增，④正确；
对于⑤，，，，
不是的周期，⑤错误.
故答案为：①②④.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知，计算下列各式的值．
（1）；
（2）.
【答案】（1）2 （2）1
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系，利用已知条件即可求出；
（2）根据同角三角函数的平方关系构造齐次式，再利用商数关系化简，代入求值即可.
【小问1详解】
解：已知，化简，
得，所以.
【小问2详解】
.
18. （1）计算:
（2）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点求的值
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数运算和对数运算法则计算即可；
（2）利用三角函数的定义得到角α的正弦，余弦和正切，再结合诱导公式求出答案.
【详解】（1）
（2）因为角的终边过点
所以，，
故，
故.
19. 设函数，.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）（）
（2）
【解析】
【分析】（1）令（），解得答案.
（2）令，可得，计算最值得到值域.
【小问1详解】
令（），得（），
函数的单调递增区间是（）
【小问2详解】
令，可得，
当，即时，，
当，即时，.
函数的值域为
20. 已知函数的最大值为.
（1）求的值；
（2）当时，求函数的最小值以及取得最小值时的集合.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）令，可将函数化为，讨论二次函数对称轴的位置可确定单调性，结合可构造方程求得的值；
（2）根据二次函数单调性可确定，结合此时的取值可求得结果.
【小问1详解】
；
令，则，，对称轴为；
①当，即时，在上单调递减，
，不合题意；
②当，即时，在上单调递增，
，解得：（舍）；
③当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
，解得：或（舍）；
综上所述：.
【小问2详解】
由（1）可得：在上单调递增，在上单调递减，
，即，此时，
则取得最小值时的取值集合为.
21. 已知函数为偶函数，函数为奇函数，且满足
（1）求函数，的解析式;
（2）若函数 且方程恰有三个不同的解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性得到，组成方程组，求出答案；
（2）得到的解析式，画出其图象，求出方程的两个解，数形结合得到实数a的取值范围.
【小问1详解】
因为为偶函数，为奇函数，所以，
由已知，可得，
即，所以，
解得；
【小问2详解】
，
作出函数的图象如下图所示：
由，解得，或，
因为方程恰有三个不同的解，
所以由图可知， 或，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
22. 已知函数.
（1）当时，求函数的零点;
（2）当，求函数在上的最大值;
（3）对于给定的正数，有一个最大的正数，使时，都有，试求出这个正数的表达式.
【答案】（1）和
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别在和的情况下，令即可求得零点；
（2）确定分段函数解析式，分别在、和的情况下，根据的单调性确定；
（3）将问题转化为在给定区间内恒成立，分别在和的情况下确定即可.
【小问1详解】
当时，；
当时，，
令，解得：（舍），；
当时，，
令，解得：；
综上所述：的零点为和.
【小问2详解】
由题意得：，
当，即时，在上单调递减，；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
又，，，
；
综上所述：.
【小问3详解】
时，，，，
问题转化为在给定区间内恒成立.
，分两种情况讨论：
当时，是方程较小根，
即时，；
当时，是方程的较大根，
即时，；
综上所述：.

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