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专题07 空间几何体的结构特征、表面积和体积
知识点1 多面体的结构特征
1、棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。
（1）有两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；
（2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
2、棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
（1）这个多边形面叫做棱锥的底面；
（2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
（4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。
棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。
3、棱台：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。
（1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；
（2）其他各面叫做棱台的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。
【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；（2）侧面都是梯形；
（3）各侧棱的延长线交于一点。
知识点2 旋转体的结构特征
1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱。
（1）旋转轴叫做圆柱的轴；
（2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
（3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
（4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面；（2）母线有无数条，都平行于轴；
（3）轴截面为矩形。
2、圆锥：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
（1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；
（2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；
（3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。
【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形；
（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线；
（3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。
（4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。
3、圆台
第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面；
（2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点；
（3）轴截面为等腰梯形。
4、球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。
（1）球心：半圆的圆心叫做球的球心；
（2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；
（3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。
知识点3 立体图形的直观图
1．画法：常用斜二测画法．
2．规则：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直；
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3、直观图与原图多边形面积之间的关系
其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图
知识点4 空间几何体的表面积与体积公式
　　名称几何体　　 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
考点1 多面体的结构特征
【例1】（2023·全国·高一专题练习）“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要 D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【解析】若棱柱有相邻两个侧面是矩形，则两侧面的交线必定垂直于底面，
所以该棱柱为直棱柱，满足充分性；
若棱柱为直棱柱，则棱柱有相邻两个侧面是矩形，满足必要性；
故“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的充要条件，故选:.
【解后反思】
1.棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
2.判断棱锥、棱台的方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法.
(2)直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
【变式1-1】（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）以下说法正确的是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．
A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥
【答案】C
【解析】①棱柱的两个底面平行且侧棱两两相互平行，故侧面是平行四边形，故正确；
②平行六面体是各面都为平行四边形的六面体，
而长方体是各面都为矩形的平行六面体，故正确；
③直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱，显然长方体的侧棱与底面都垂直，
故为直棱柱，故正确；
④底面是正多边形且各侧面为全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误；
⑤底面为长方形的直四棱柱是长方体，故错误；
⑥四棱柱、五棱锥均有六个面，都是六面体，正确.故选：C
【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）在2022年第二十四届冬奥会上，中国代表队创造了历史最好成绩，首都北京也成为第一座“双奥之城”．如图所示，坐落于北京的国家游泳中心（又称“水立方”），是中国健儿为国争光的地方，“水立方”可以抽象出的几何体是（ ）．
A．圆柱 B．四棱锥 C．四棱台 D．长方体
【答案】D
【解析】由图可知，“水立方”是可以抽象为长方体模型，故选：D
【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共项点的三角形的几何体叫棱锥
【答案】D
【解析】因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，
所以A、B错误；
因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，
所以C选项错误，D选项正确.故选：D.
考点2 旋转体的结构特征
【例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球
【答案】A
【解析】由圆锥的定义可得直角三角形绕直角边旋转，
所得的旋转体为圆锥，故选：A
【解后反思】1.判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
2.简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）下列几何体表示圆锥的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A图表示圆柱，B图表示球，C图表示圆锥，D图表示四棱柱.故选：C.
【变式2-2】（2023春·天津和平·高一第五十五中学校考阶段练习）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆面
B．正四棱锥的侧面都是正三角形
C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
【答案】B
【解析】对于A：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故A正确；
对于B：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B错误；
对于C：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确；
对于D：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，
另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台，故D正确．故选：B．
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列说法中不正确的是（ ）
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
【答案】ABD
【解析】对于A，将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；
对于B，当这两个平行截面与底面平行时正确，
当这两个平行截面不与圆柱的底面平行时，
夹在圆柱的两个平行截面间的几何体就不是旋转体，所以B错误；
对于C，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，所以，C正确.
对于D，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误．故选：ABD.
考点3 直观图与原图的判断
【例3】（2023·全国·高一专题练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍相等 B．水平放置的三角形的直观图仍是三角形
C．相等的角在直观图中仍相等 D．水平放置的菱形的直观图仍是菱形
【答案】B
【解析】如图所示为正方形及其直观图，显然，A错误；
，C错误；
正方形是特殊的菱形，直观图为平行四边形，D错误；
水平放置的三角形的直观图仍是三角形，B正确.故选：B.
【解后反思】画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.
【变式3-1】（2023·高一课时练习）如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解析】将其还原成原图，设，则可得，
，从而，所以，
即，故是等腰直角三角形.故选：C.
【变式3-2】（2021秋·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形
B．长方形的直观图是长方形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
【答案】A
【解析】由斜二测直观图的画法规则，平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，
可知三角形的直观图还是三角形，故A正确；
长方形跟正方形的直观图是平行四边形，故BC错误；
菱形的直观图是平行四边形，故D错误.故选：A
【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是______(填写序号)
【答案】③④
【解析】等腰三角形画成直观图后，原来的腰长不相等，①②不正确，③为的直观图，④为的直观图.
考点4 斜二测画法中的计算
【例4】（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在四边形OABC中，OA=2，，BC=3，且，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，为的直观图，
根据斜二测画法的规则可知，，，平行于轴，
∴该图形的面积为．故选：C.
【解后反思】平面多边形与其直观图面积间关系：一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到直观图的面积为S直，则有S直＝S原.
【变式4-1】（2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习）如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（ ）
A．14 B．10 C．28 D．14
【答案】C
【解析】∵A′D′∥y′轴，A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，
∴原图形是一个直角梯形．
又A′D′＝4，
∴原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，
故其面积为.故选：C
【变式4-2】（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，则（ ）
A．的长度大于的长度 B．的面积为4
C．的面积为2 D．
【答案】B
【解析】由图象知：，，
，为的中点，所以，A错误；
EMBED Equation.DSMT4 的面积，B正确；
因为，，
所以的上的高，
的面积，C错误，
，所以，D错误.故选：B
【变式4-3】（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△，其中，，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】由题设，△和△均为等腰直角三角形，
所以，即轴，原直角坐标系中轴，
而，则，
在△中边上的高等于的长，又，
所以△ABC的面积为.故选：C
考点5 多面体的表面积计算
【例5】（2023·高一单元测试）边长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了（ ）
A．36 B．72 C．108 D．240
【答案】C
【解析】由已知，边长为3的正方体分成27个全等的小正方体，则小正方体的边长为1，
边长为3的正方体表面积为，
每个小正方体的表面积为，27个小正方体的表面积之和为，
，所以表面积之和比原来增加了，故选：C．
【解后反思】棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
【变式5-1】（2022春·重庆九龙坡·高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形OAB，斜边长，若该直三棱柱的侧棱长为2，则该直三棱柱的侧面积为___________.
【答案】
【解析】由题意知：，
斜二测法知：原直三棱柱中，的对应边长为，对应边长为，
且对应边长不变，
故底面周长为，而直三棱柱的侧棱长为2，故其侧面积为.
【变式5-2】（2022春·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，已知，，则当最大时，求三棱锥的表面积.
【答案】
【解析】设，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以是等腰三角形，又，
所以底边上的高为，
所以，
，
，
三棱锥的表面积为：
【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设正六边形的边长为a，设六棱柱的高为3b，六棱锥的高为b，
正六棱柱的侧面积，
正六棱锥的母线长为
∴正六棱锥的侧面积，
∵正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，
∴，∴
∴，故选：B．
考点6 多面体的体积计算
【例6】（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）长方体的体积是，若为的中点，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】长方体的体积为，
三棱锥的体积为，故选：B
【解后反思】求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).
常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题.
【变式6-1】（2022·全国·高一专题练习）已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，
棱柱的底面面积为：．
棱柱的体积为：．
由三棱锥的体积的推导过程可知：
三棱锥的体积为：．故选：C．
【变式6-2】（2022春·河南鹤壁·高一河南省浚县第一中学校考阶段练习）如图1，水平放置的直三棱柱容器中，，，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形，如图2，则容器的高h为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【答案】A
【解析】在图1中，
在图2中，，
.故选：A.
【变式6-3】（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（ ）（参考数据：，参考公式：）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，正四棱台中，设棱台的高为，
则，
故.故选：B
【变式6-4】（2022春·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正四棱台的上下底面边长分别为1和4，高为3，则此棱台的体积为______．
【答案】21
【解析】因为正四棱台的上下底面边长分别为1和4，高为3，
所以棱台的体积为,
故答案为：21
考点7 旋转体的表面积计算
【例7】（2023春·北京·高一北京一七一中校考阶段练习）已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为圆柱的底面半径和高都是，所以圆柱的侧面积.故选：B.
【解后反思】1.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
2.计算球的表面积关键是确定球的半径.
【变式7-1】（2023春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考阶段练习）已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，
设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，则球的半径，
所以圆柱的表面积为：；
球的表面积为，
则圆柱的表面积与球的表面积之比为．故选：A．
【变式7-2】（2023春·河北邢台·高一邢台市南和区第一中学校考阶段练习）已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为9，
所以该圆柱的侧面积为.故选：D
【变式7-3】（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【解析】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为，高为，
母线就是直角三角形的斜边，
故所形成的几何体的表面积；
如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，
两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，即母线长是，
故所形成的几何体的表面积，
综上所述，所形成几何体的表面积是或.故选：B.
考点8 旋转体的体积计算
【例8】（2022春·河北保定·高一校联考阶段练习）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为，母线为，高为，则，解得，，
所以，
所以该圆锥的体积．故选：B
【解后反思】
1.求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积.
2.计算球的体积的关键是确定球的半径.
【变式8-1】（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设对应半径为R，对应半径为r，根据弧长公式可知，，
因为两个扇环相同，长度为长度的3倍，所以，
因为，所以，
所以曲池体积为.故选：D
【变式8-2】（2022春·山东德州·高一校考阶段练习）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，造型浑厚，工艺精美，其形状可视为圆台和圆柱的组合体，口径为28.8cm，经测量计算可知圆台和圆柱的高度之比约为，体积之比约为，则圆柱的底面直径约为（ ）
A．4cm B．14cm C．18cm D．22cm
【答案】C
【解析】设圆台的底面半径为rcm.圆台，圆柱的高分别为5hcm，7hcm，
则，
又，所以，
即，解得，所以.故选：C.
【变式8-3】（2020春·安徽宣城·高一安徽省宣城市第二中学校考阶段练习）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶 掇球壶 石飘壶 潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约接近于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设R为圆台下底面圆半径，r为上底面圆半径，高为，
则，，，
，故选：B．
考点9 几何体的外接球
【例9】（2022·全国乙（理）T9） 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又
则
当且仅当即时等号成立，故选C
【解后反思】“接”的问题处理规律
(1)旋转体的外接球：常用的解题方法是过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)多面体的外接球：常用的解题方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解．
①若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体，利用2R＝求R.
②一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱．先借助几何体的几何特征确定球心位置，然后把半径放在直角三角形中求解．
【变式9-1】（2022·新高考Ⅱ卷T7）正三棱台高为1，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选A．
【变式9-2】（2023·吉林省实验中学模拟预测）已知三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为(　　)
A.π B．14π C．56π D.π
【答案】B
【解析】以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PAB′B－CA′P′C′被平面ABC所截的三棱锥P－ABC符合要求，如图，
INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-12.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-12.TIF" \* MERGEFORMATINET
长方体PAB′B－CA′P′C′与三棱锥P－ABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP′，设外接球的半径为R，
则(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，
则所求表面积S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π.
【变式9-3】（2021 甲卷T11）已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以底面为等腰直角三角形，
所以所在的截面圆的圆心为斜边的中点，所以平面，
在中，，则，在中，，
故三棱锥的体积为．故选．
考点10 几何体的内切球
【例10】（2020 新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　　．
【答案】
【解析】因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，
如图，圆锥母线，底面半径，则其高，
不妨设该内切球与母线切于点，令，由，则，
即，解得，，
【解后反思】“切”的问题处理规律
(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.
(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.
【变式10-1】（2023·辽宁实验中学模拟预测）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(　　)
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】平面ACD截球O的截面为△ACD1的内切圆，
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∵正方体棱长为1，∴AC＝CD1＝AD1＝.
∴内切圆半径r＝tan 30°·AE＝×＝.∴S＝πr2＝π×＝，故选C.
【变式10-2】（2023·陕西·西安中学模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
【答案】π
【解析】圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝2，△PEO∽△PDB，
INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-160.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-160.TIF" \* MERGEFORMATINET
故＝，即＝，解得r＝，
故内切球的体积为π＝π.
1．（2023·全国·高一专题练习）关于用“斜二测画法”所得的直观图，下列说法正确的是（ ）
A．菱形的直观图仍为菱形
B．相等的角，在直观图中仍相等
C．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的线段也平行
【答案】D
【解析】由直观图的做法可知：原图形中的平行性质仍然保持，而相等长度和角的大小不一定与原来相等.
选项A：菱形的直观图是平行四边形，错误；
选项B：相等的角在直观图中不一定相等，如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，错误；
选项C：平行于轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，错误；
选项D：平行线段在直观图中仍然平行，正确；
故选：D
2．（2023·全国·高一专题练习）有下列四种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
④棱台的侧棱延长后必交于一点.
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】对于①：当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，①错；
对于②③：如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，②③错；
对于④：棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，④正确.
故选：B
3．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】D
【解析】
如图，用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形，
因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形，
不可能为七边形，
故选:D.
4．（2023春·全国·高一专题练习）如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由直观图可还原如下图所示，
其中，，，
，的周长为.
故选：C.
5．（2023·河南郑州·统考二模）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设底面棱长为，正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则侧面为等边三角
形，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为.
故选：D
6．（2023·广西南宁·统考一模）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【解析】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，
一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，设，
圆锥底面周长为，所以，所以，
在中，由，得
故选：B．
7．（2023·全国·高一专题练习）已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为，则其母线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，圆台的体积，解得，
故圆台的母线长，
故选：B.
8．（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）长方体的体积是，若为的中点，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】长方体的体积为，
三棱锥的体积为，
故选：B
9．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）半径均为R的四个球两两之间有且仅有一个公共点，在以四个球心为顶点的三棱锥的内部放一个小球，小球体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】所得三棱锥是边长为的正四面体，不妨记为，令体积最大的小球半径为，球心为，
连接并延长交平面于点，则平面，为正三角形的中心，且，连接，，
则由正弦定理得，所以，
在Rt中，，
在Rt中，由得，则
所以小球的最大体积为.
故选：D.
10．（2023·青海·校联考模拟预测）已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为球的体积为，所以球的半径为1，
又球与正三棱柱的所有面都相切，
所以正三棱柱底面内切圆的半径为1，棱柱高为2，
设正三棱柱的外接球的球心为O，底面内切圆的圆心为,
设的中点为D，则在上，且,
又,则三棱柱外接球的半径为，
即外接球的表面积为,
故选：B
11．（2023春·山西晋中·高一校考阶段练习）下列命题不正确的是（ ）.
A．棱台的上 下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
【答案】ABCD
【解析】对于A：棱台的上、下底面相似，但侧棱长不一定相等，故A错误；
对于B：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥，也可能是组合体，与棱锥的定义相矛盾，故B错误；
对于C：两个的斜棱柱扣到一起，也满足这种情况，但是不是棱柱，故C错误；
对于D：直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体才是圆锥，故D错误；
故选：ABCD
12．（2023秋·广东清远·高三统考期末）已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则（ ）
A．所得的截面可以是五边形 B．所得的截面可以是六边形
C．该截面的面积可以为 D．所得的截面可以是非正方形的菱形
【答案】BCD
【解析】过正方体中心的平面截正方体所得的截面至少与四个面相交，所以可能是四边形、五边形、六边形，
又根据正方体的对称性，截面不会是五边形，但可以是正六边形和非正方形的菱形（如图）故A错误，BD正确；
因为四边形的面积为，当截面过中心且平行与底面时，截面为矩形（此时也是正方形），且面积为，若这个截面绕着中心旋转，转到与四边形重合，此时面积为，所以在转动过程一定存在截面面积为，C正确．
故选：BCD．
13．（2023·全国·高一专题练习）已知正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长为，则（ ）
A．正四棱台的高为 B．正四棱台的斜高为
C．正四棱台的表面积为 D．正四棱台的体积为
【答案】BCD
【解析】对于A，正四棱台上下底面对角线长为，
正四棱台的高，A错误；
对于B，正四棱台的斜高，B正确；
对于C，正四棱台侧面积为，上下底面面积分别为，
正四棱台的表面积，C正确；
对于D，正四棱台的体积，D正确.
故选：BCD.
14.(2023·寿光模拟)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计)，假设该沙漏每秒钟漏0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，以下结论正确的是(π≈3.14)(　　)
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A．沙漏中的细沙体积为 cm3
B．沙漏的体积是128π cm3
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D．该沙漏的一个沙时大约是1 985秒
【答案】ACD
【解析】A项，根据圆锥的截面图可知，细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r＝×4＝(cm)，
所以体积V＝·πr2·＝··＝(cm3)；
B项，沙漏的体积V＝2××π××h＝2××π×42×8＝(cm3)；
C项，设细沙流入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知，
＝×π××h1，所以＝h1，所以h1≈2.4(cm)；
D项，因为细沙的体积为 cm3，沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，
所以一个沙时为≈×50≈1 985(秒)．
15．（2023春·浙江宁波·高一校联考期中）如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则（ ）
A．圆锥的底面半径为1
B．圆柱的体积是外接球体积的四分之三
C．该组合体的外接球表面积与圆柱底面面积的比值为
D．圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半
【答案】CD
【解析】如图，设圆锥的顶点为，圆柱上下底面的圆心分别为，，的中点为，
由题意，设圆锥的高为，圆柱的高为，圆柱的上下底面圆半径为，
则，解得，，故A错误；
圆柱的体积为，
外接球体积为，
则，故B错误；
圆柱底面面积为，
外接球表面积，
则，故C正确；
圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面积为，
圆柱侧面积为，
所以圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半，故D正确.
故选：CD.
16．（2023·河南焦作·统考模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为_________．
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得，
母线长，
则圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为.
故答案为：.
17.（2023·盐城中学模拟预测）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.
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【答案】2 600π
【解析】将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm2)．
18．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）一个与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为，则球的体积为______．
【答案】##
【解析】因为与球心距离为的平面截球所得的圆面面积为，所以该截面圆的半径为1，
因此球的半径为，故该球的体积为.
故答案为：
19．（2023·天津河东·一模）如图所示，一个由圆锥和圆柱组成的玻璃容器，中间联通（玻璃壁厚度忽略不计），容器中装有一定体积的水，圆柱高为10，底面半径为3，圆锥高为，底面半径大于圆柱，左图中，圆柱体在下面，液面保持水平，高度为，右图中将容器倒置，水恰好充满圆锥，则圆锥底面的半径为________．
【答案】
【解析】,
解得.
故答案为：
20．（2023春·山西晋中·高二校考阶段练习）我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底面分别是边长为和的正方形，高为1，则该刍童的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】设该刍童外接球的球心为O，半径为R，上底面中心为，下底面中心为，
则由题意，，，，．
如图，当O在的延长线上时，设，则在中，①，
在中，②，
联立①②得，，所以刍童外接球的表面积为，
同理，当O在线段上时，设，
则有，，解得，不满足题意，舍去．
综上所述，该刍童外接球的表面积为20π．
故答案为：．
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专题07 空间几何体的结构特征、表面积和体积
知识点1 多面体的结构特征
1、棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。
（1）有两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；
（2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
2、棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
（1）这个多边形面叫做棱锥的底面；
（2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；
（4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。
【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。
棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。
3、棱台：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。
（1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；
（2）其他各面叫做棱台的侧面；
（3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；
（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。
【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；（2）侧面都是梯形；
（3）各侧棱的延长线交于一点。
知识点2 旋转体的结构特征
1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱。
（1）旋转轴叫做圆柱的轴；
（2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
（3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
（4）无论转到什么位置，平行与轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面；（2）母线有无数条，都平行于轴；
（3）轴截面为矩形。
2、圆锥：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
（1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；
（2）直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；
（3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。
【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形；
（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线；
（3）母线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。
（4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。
3、圆台
第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。
【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面；
（2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点；
（3）轴截面为等腰梯形。
4、球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。
（1）球心：半圆的圆心叫做球的球心；
（2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；
（3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。
知识点3 立体图形的直观图
1．画法：常用斜二测画法．
2．规则：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直；
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3、直观图与原图多边形面积之间的关系
其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图
知识点4 空间几何体的表面积与体积公式
　　名称几何体　　 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
考点1 多面体的结构特征
【例1】（2023·全国·高一专题练习）“棱柱有相邻两个侧面是矩形”是“该棱柱为直棱柱”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要 D．既非充分又非必要条件
【解后反思】
1.棱柱结构的辨析方法
(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义.
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
2.判断棱锥、棱台的方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法.
(2)直接法
棱锥 棱台
定底面 只有一个面是多边形，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
【变式1-1】（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）以下说法正确的是（ ）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．
A．①②④⑥ B．②③④⑤ C．①②③⑥ D．①②⑤⑥
【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）在2022年第二十四届冬奥会上，中国代表队创造了历史最好成绩，首都北京也成为第一座“双奥之城”．如图所示，坐落于北京的国家游泳中心（又称“水立方”），是中国健儿为国争光的地方，“水立方”可以抽象出的几何体是（ ）．
A．圆柱 B．四棱锥 C．四棱台 D．长方体
【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共项点的三角形的几何体叫棱锥
考点2 旋转体的结构特征
【例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．圆台 D．球
【解后反思】1.判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
2.简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）下列几何体表示圆锥的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023春·天津和平·高一第五十五中学校考阶段练习）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆面
B．正四棱锥的侧面都是正三角形
C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列说法中不正确的是（ ）
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
考点3 直观图与原图的判断
【例3】（2023·全国·高一专题练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍相等 B．水平放置的三角形的直观图仍是三角形
C．相等的角在直观图中仍相等 D．水平放置的菱形的直观图仍是菱形
【解后反思】画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.
【变式3-1】（2023·高一课时练习）如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【变式3-2】（2021秋·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形
B．长方形的直观图是长方形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知等腰三角形ABC，则如图所示的四个图中，可能是△ABC的直观图的是______(填写序号)
考点4 斜二测画法中的计算
【例4】（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，在四边形OABC中，OA=2，，BC=3，且，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（ ）
A． B．5 C． D．
【解后反思】平面多边形与其直观图面积间关系：一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到直观图的面积为S直，则有S直＝S原.
【变式4-1】（2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习）如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（ ）
A．14 B．10 C．28 D．14
【变式4-2】（2023春·浙江宁波·高一余姚中学校考阶段练习）如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，则（ ）
A．的长度大于的长度 B．的面积为4
C．的面积为2 D．
【变式4-3】（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）用斜二测画法画△ABC的直观图为如图所示的△，其中，，则△ABC的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
考点5 多面体的表面积计算
【例5】（2023·高一单元测试）边长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了（ ）
A．36 B．72 C．108 D．240
【解后反思】棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
【变式5-1】（2022春·重庆九龙坡·高一四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形OAB，斜边长，若该直三棱柱的侧棱长为2，则该直三棱柱的侧面积为___________.
【变式5-2】（2022春·河北沧州·高一校考阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，已知，，则当最大时，求三棱锥的表面积.
【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
考点6 多面体的体积计算
【例6】（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）长方体的体积是，若为的中点，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解后反思】求解正棱台的表面积和体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱).
常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥.利用正棱锥的有关知识来解决问题.
【变式6-1】（2022·全国·高一专题练习）已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C．1 D．
【变式6-2】（2022春·河南鹤壁·高一河南省浚县第一中学校考阶段练习）如图1，水平放置的直三棱柱容器中，，，现往内灌进一些水，水深为2．将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为三角形，如图2，则容器的高h为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【变式6-3】（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（ ）（参考数据：，参考公式：）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2022春·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正四棱台的上下底面边长分别为1和4，高为3，则此棱台的体积为______．
考点7 旋转体的表面积计算
【例7】（2023春·北京·高一北京一七一中校考阶段练习）已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【解后反思】1.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
2.计算球的表面积关键是确定球的半径.
【变式7-1】（2023春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考阶段练习）已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2023春·河北邢台·高一邢台市南和区第一中学校考阶段练习）已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2023春·河北邯郸·高一校考阶段练习）等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为（ ）
A． B．或 C． D．或
考点8 旋转体的体积计算
【例8】（2022春·河北保定·高一校联考阶段练习）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解后反思】
1.求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积.
2.计算球的体积的关键是确定球的半径.
【变式8-1】（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）中国古代数学的瑰宝《九章第术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2022春·山东德州·高一校考阶段练习）如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，造型浑厚，工艺精美，其形状可视为圆台和圆柱的组合体，口径为28.8cm，经测量计算可知圆台和圆柱的高度之比约为，体积之比约为，则圆柱的底面直径约为（ ）
A．4cm B．14cm C．18cm D．22cm
【变式8-3】（2020春·安徽宣城·高一安徽省宣城市第二中学校考阶段练习）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶 掇球壶 石飘壶 潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约接近于（ ）
A． B． C． D．
考点9 几何体的外接球
【例9】（2022·全国乙（理）T9） 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A. B. C. D.
【解后反思】“接”的问题处理规律
(1)旋转体的外接球：常用的解题方法是过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)多面体的外接球：常用的解题方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解．
①若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体，利用2R＝求R.
②一条侧棱垂直底面的三棱锥问题：可补形成直三棱柱．先借助几何体的几何特征确定球心位置，然后把半径放在直角三角形中求解．
【变式9-1】（2022·新高考Ⅱ卷T7）正三棱台高为1，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【变式9-2】（2023·吉林省实验中学模拟预测）已知三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为(　　)
A.π B．14π C．56π D.π
【变式9-3】（2021 甲卷T11）已知，，是半径为1的球的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
考点10 几何体的内切球
【例10】（2020 新课标Ⅲ）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为　　．
【解后反思】“切”的问题处理规律
(1)找准切点，通过作过球心的截面来解决.
(2)体积分割是求内切球半径的通用方法.
【变式10-1】（2023·辽宁实验中学模拟预测）如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(　　)
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A. B. C. D.
【变式10-2】（2023·陕西·西安中学模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
1．（2023·全国·高一专题练习）关于用“斜二测画法”所得的直观图，下列说法正确的是（ ）
A．菱形的直观图仍为菱形
B．相等的角，在直观图中仍相等
C．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等
D．若两条线段平行，则在直观图中对应的线段也平行
2．（2023·全国·高一专题练习）有下列四种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
④棱台的侧棱延长后必交于一点.
其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
4．（2023春·全国·高一专题练习）如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河南郑州·统考二模）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广西南宁·统考一模）如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A． B． C．6 D．
7．（2023·全国·高一专题练习）已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的体积为，则其母线长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023春·天津滨海新·高一大港一中校考阶段练习）长方体的体积是，若为的中点，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）半径均为R的四个球两两之间有且仅有一个公共点，在以四个球心为顶点的三棱锥的内部放一个小球，小球体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·青海·校联考模拟预测）已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023春·山西晋中·高一校考阶段练习）下列命题不正确的是（ ）.
A．棱台的上 下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
12．（2023秋·广东清远·高三统考期末）已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则（ ）
A．所得的截面可以是五边形 B．所得的截面可以是六边形
C．该截面的面积可以为 D．所得的截面可以是非正方形的菱形
13．（2023·全国·高一专题练习）已知正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长为，则（ ）
A．正四棱台的高为 B．正四棱台的斜高为
C．正四棱台的表面积为 D．正四棱台的体积为
14.(2023·寿光模拟)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计)，假设该沙漏每秒钟漏0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，以下结论正确的是(π≈3.14)(　　)
INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-152.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-152.TIF" \* MERGEFORMATINET
A．沙漏中的细沙体积为 cm3
B．沙漏的体积是128π cm3
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D．该沙漏的一个沙时大约是1 985秒
15．（2023春·浙江宁波·高一校联考期中）如图是一个圆锥和一个圆柱的组合体，圆锥的底面和圆柱的上底面完全重合且圆锥的高度是圆柱高度的一半，若该组合体外接球的半径为2，则（ ）
A．圆锥的底面半径为1
B．圆柱的体积是外接球体积的四分之三
C．该组合体的外接球表面积与圆柱底面面积的比值为
D．圆锥的侧面积是圆柱侧面积的一半
16．（2023·河南焦作·统考模拟预测）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，书中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，则直角圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为_________．
17.（2023·盐城中学模拟预测）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.
INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-149.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\2022\\大一轮\\数学\\人教A版 新教材\\WORD\\7-149.TIF" \* MERGEFORMATINET
18．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）一个与球心距离为的平面截球所得的圆的面积为，则球的体积为______．
19．（2023·天津河东·一模）如图所示，一个由圆锥和圆柱组成的玻璃容器，中间联通（玻璃壁厚度忽略不计），容器中装有一定体积的水，圆柱高为10，底面半径为3，圆锥高为，底面半径大于圆柱，左图中，圆柱体在下面，液面保持水平，高度为，右图中将容器倒置，水恰好充满圆锥，则圆锥底面的半径为________．
20．（2023春·山西晋中·高二校考阶段练习）我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底面分别是边长为和的正方形，高为1，则该刍童的外接球的表面积为______.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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