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高考数学命题永恒的方向
————转化与化归思想方法的应用
转化与化归的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法。www.21-cn-jy.com
转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的。等价转化要求转化过程中的前因和后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后所得结果为原题的结果；不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。非等价转化不要求转化过程具有充要性。应用转化、化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化。常见的转化形式有：繁与简的转化、一般与特殊的转化、数与形的转化、主与次的转化、正与反的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、函数与方程的转化、三角与圆锥曲线的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等。本文就转化的方式及转化中应注意的问题举例分析如下。
一、转化的方式
1、繁与简的转化
有些问题的条件、结论比较复杂，或者一般解题方法过于笨拙，此时，可对条件、结论进行变形，化归为简单形式，对常规解法进行反思，寻找简捷解法。
例1、化简 。
[解析] 原式=
=
=
===1.
[评析] 本题中出现的角的形式多，故应先变角。化简三角函数的基本方法：统一角、统一名， 通过观察“角”，“名”，“次幂”，找出突破口，利用切化弦、降幂、 逆用公式等手段将其化简。
2、一般与特殊的转化
当某问题一时无法找到解决的突破口时，可将问题特殊化，再回到一般情形进行研究。
例2、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则=______。
[解析]不妨认为一个正四棱柱为正方体，与正方体的所有面成角相等时，则与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等，即为体对角线与该正方体侧面所成角，故。21cnjy.com
3、数与形的转化
数与形的转化是一种极其重要的转化。数与形是数学研究的两类基本对象，
由于坐标系的建立，使形与数互相联系，互相渗透，互相转化。根据题设
条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学图形来解决问题，这种
方法称数形结合法。
例3、已知实数满足方程，试求的取值范围。
[解析] 由已知条件知表示已知圆上一点P（x,y）到原点的斜率（如图），不妨设其斜率为k.要使直线OP与圆有公共点当且仅当圆心O1（3，0）到直线的距离不大于圆的半径，即，故的取值范围为。
[评析] 数形结合，联想斜率或两点的距离公式利用解析几何方法求解，方法新颖，妙趣横生，富有创造性。
4、主与次的转化
在解与方程、不等式有关问题时，为了使代数式简单、明朗化，可采用反客为主的解题策略，将主元与参数的地位相互交换。变更主元实现主与次的转换，能够起到化高次为低次、化繁为简、化生为熟、简捷求解之作用。21世纪教育网版权所有
例4、已知方程中的a为负整数，求使方程至少有一个整数解时a的值。

解得 。因此，x整数值为2、3、4、5、6、7逐个代入得x=2时，；x=3 时，。故当为或时，方程至少有一个整数解。21·世纪*教育网
[评析]本例通过变更主元，起到了化繁为简的作用，所以合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在．　　21*cnjy*com
5、正与反的转化
解题一般是从正面入手，习惯正向思维，当正面处理感到困难时，不妨从其反面入手思考，此法称为逆向思维方法。【版权所有：21教育】
例5、 10张奖卷中只有3张有件有奖，5个人购买，每人一张，至少有1人中奖的概率为 （ ）
A . B. C . D .
分析；记事件A为“至少有1人中奖”，则其对立事件为“无人中奖”，先求的概率。
[解析], 则, 选 D.
[评析]；本题采用了逆向思维方法，采用这种方法可使问题解答变的简便。
6、空间与平面的转化
例6、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直 角三角形，
(ACB＝90(，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则
CP＋PA1的最小值是____。
解析 连A1B，沿BC1将△CBC1展开与A1BC1在同一个平面内，如图2所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值.通过计算可得(A1C1C＝90(又(BC1C＝45(，((A1C1C＝135( ，由余弦定理可求得
A1C＝。
7、函数、方程与不等式的转化
例7、 已知二次函数f（x）=ax2+2x－2a－1，其中x=2sinθ（0<θ≤）。
若二次方程f（x）=0恰有两个不相等的实根x1和x2，求实数a的取值范围．?
分析 注意0<θ≤，则－1≤2sinθ≤2，即－1≤x≤2，问题转化为二次
方程根的分布问题，根据图象得出等价的不等式组。?
[解析] 由以上分析，问题转化为二次方程ax2+2x－2a－1=0．在区间［－1,2］上恰有两个不相等的实根，由y=f（x）的图象（如图所示），得等价不等式组：
Δ=4+4a（2a+1）>0，?
－1<<2，?
af（－1）=a（－a－3）≥0，?
af（2）=a（2a+3）≥0．?
解得实数a的取值范围为?［-3，］．? 例7图
[评析] 本题体现了函数与方程的转化、数与形的转化，直观明了．?
8、向量与其他知识的转化
平面向量沟通数学各分支之间的联系，主要涉及：平面向量的基本知识、平面向量与三角函数、平面向量与解析几何、平面向量与数列等知识。向量形式的多样性与运算的灵活性为学生提供了多角度、多层次、多方位的思维空间。21教育名师原创作品
例8、已知，动点P满足, (1)求动点P的轨迹方程；
(2) 设A,B是轨迹P上两点，O为原点，,其中是实数，且，又, 求Q点的轨迹方程。
[解析] (1) 设动点P坐标为 (x,y)，由椭圆定义，得轨迹方程；
(2)因为，为实数，且。所以
，故三点共线.由 得Q为AB中点。易得Q点轨迹方程。
　评析：解析几何与平面向量相结合是近几年高考命题的一个趋势。
9、数学语言的转化
例9、 对任意函数f(x), x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下
①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f(x0)；
②若x1D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f(x1)，并依此规律继续下去现定义。（1）若输入x0=，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出{xn}的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；（3）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}，满足对任意正整数n均有xn＜xn+1；求x0的取值范围。
分析 本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力以及函数求值的简单运算、方程思想的应用，解不等式及化归转化思想的应用。解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言。
解析： （1）∵f(x)的定义域D=（–∞,–1)∪(–1,+∞)，∴数列{xn}只有三项，；
（2）∵,即x2–3x+2=0，∴x=1或x=2，即x0=1或2时，
故当x0=1时，xn=1，当x0=2时，xn=2（n∈N*）。
（3）解不等式，得x＜–1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x2＜–1或1＜x1＜2，
对于函数，若x1＜–1，则x2=f(x1)＞4，x3=f(x2)＜x2，
若1＜x1＜2时，x2=f(x1)＞x1且1＜x2＜2，依次类推可得数列{xn}的所有项均满足xn+1＞xn（n∈N*)。2-1-c-n-j-y
综上所述，x1∈(1,2)，由x1=f(x0),得x0∈(1,2)。
[评析]此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目。 由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言， 这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换。
【误点警示】 考生易出现以下几种错因：（1）审题后不能理解题意；（2）题意转化不出数学关系式，如第2问；（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化。
10、整体与局部的转化
从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗。
例10、 一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球表面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
分析：若利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选 B。
二、转化中的注意问题
1、转化的有效性
转化作为一种思想方法，能否如期完成，与转化方法的选择有关，同时还要考虑到转化目标设计性与转化方法的可行性、有效性。
例11、 当时，函数的最小值为（　 ）
A　2 　B　 　C　4 　D　

[解析] 由
，当且仅当，即时，取“”。 ∵，∴存在使，这时．选C。
【方法总结】求由三角函数构成的函数的最值问题，常见的有与，，等类型。本题变换目标，应从分子开始。
2、转化的等价性
保持等价转化，除能够准确表述各知识点所包含的定义、概念、定理、公式外，还应对其有较深刻的理解。
例12、 求函数的最大值。

[评析]（1）本题也可如下转化：令Y=，X=2+x，则(X+2)2+Y2=1（Y≥0），求的最大值，即求半圆(X-1)2+Y2=1（Y≥0）上的点与原点连线斜率的最大值，易知。
（2）本题由于定义域的限制，转化后表示的图形是半圆x2+y2=1（y∈[0，1]，不能误认为是圆x2+y2=1，以确保转化的等价性。2·1·c·n·j·y
【方法总结】有些代数式经变形后具备特定的几何意义，此时可考虑运用数形结合求解，如：比值——可考虑与斜率联系；根式——可考虑与距离联系；二元一次式——可考虑与直线的截距相联系。
3、转化的多样性
由于转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能有多种转化方向和途径，因此设计合理、简捷的转化方案，也显得十分重要。
例13、 展开式的项数为_________。
[解析]法1、展开式中的项的形式为 , 且 , ， 此时，项数问题转化为方程的非负整数解个数问题，方程非负整数解个数有，故展开式项数为 【出处：21教育名师】
法2、展开式中的项的形式有三种类型 ；； ；其中 ， 则项数为.
[评析]本题应用组合思想以及方程思想解决有关多项展开式中的项数问题。
例14、 已知,求a+b的最小值。
分析：此题虽简单，但有多种证法。
[解1] “1”的转化为，利用基本不等式。
由 a+b=(a+b)( )=1+9+
当且仅当, 即。,, 即a=4,b=12, a+b的最小值16。
[解2] “1”的转化为，利用柯西不等式。
, a+b=(a+b)( )=
，当且仅当, 即a=3b时, a+b的最小值16。
[解3] 由转化为三角函数。
设,则 a+b==
当时
a+b的最小值16。
4、转化的等价性与非等价性的不同要求
在中学数学里，等价转化的问题是比较多的，但也有非等价转化转化问题，应予以区分。如，某些恒等证明或不等式证明中的转化问题，求某些充分或必要条件的问题等都有非等价转化。
例15、 若a>0,b>0. 且a+b=1，证明 。
分析：利用分析法转化变形不要求等价。
证明： 欲证，只需证，
即证。而成立，所以也成立，故原式成立。
小结；转化与化归应遵循的基本原则：
　　⑴熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
　　⑵简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
　　⑶和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
　　⑷直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
⑸正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
热身练习
一、选择题：
1.，，(其中e为自然常数)的大小关系是(　　)
A.<<　 B.<< C.<< D.<<
2．在△ABC中，已知tan＝sinC，给出以下四个论断：①tanA·＝1；②0其中正确的是(　　)
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③21世纪教育网
3．已知点F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)21*cnjy*com
A．(1，＋∞) B．(1，)
C．(－1，＋1) D．(1,1＋)21世纪教育网
4．已知k<－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是(　　)
A．1 B．－1 C．2k＋1 D．－2k＋1
5．设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是(　　)
A．－2 B．－ C．－3 D．－
6．已知非零向量a，b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则等于(　　)
A. B．4 C. D．2
二、填空题：
7．已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝{y|y2－6y＋8≤0}，若A∩B≠?，则实数a的取值范围为________．
8．将组成篮球队的12名队员名额分配给7个学校，每校至少1名，不同的分配方法种类有________种．【来源：21·世纪·教育·网】
9．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么f(2)，f(1)，f(4)的大小关系是________．
10．对a，b∈R，记max{a，b}＝，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
三、解答题：
11．(12分)设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R，a>0)，其中f(0)＝3，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)若f′(－1)＝f′(3)＝－36，f′(5)＝0，求函数f(x)的解析式；
(2)若c＝－6，函数f(x)的两个极值点为x1，x2满足－112．(13分)已知函数f(x)＝x3＋x2－2.
(1)设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1＝3.若点(an，a－2an＋1)(n∈N*)在函数y＝f′(x)的图象上，求证：点(n，Sn)也在y＝f′(x)的图象上；
(2)求函数f(x)在区间(a－1，a)内的极值．
参考答案
1.解析：由于＝，＝，＝，故可构造函数f(x)＝，于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝.
而f′(x)＝′＝＝，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因此有f(4)答案：A
因为0°即sin＝，解得C＝90°，则有0°①tanA·＝tanA·＝tan2A.
当A≠45°时，tan2A≠1.所以结论①错．②因为0°0.又sinA＋sinB＝sinA＋cosA，而(sinA＋cosA)′＝cosA－sinA＝0，解得A＝45°.当0°0；当45°因此当0°对于相当数量的数学问题，解答的过程都是由繁到简的转化过程．本题是一道三角判断题，由所给的已知条件直接判断四个结论是困难的，因此对所给已知条件进行适当的化简变形是必不可少的．通过使用诱导公式、同角公式、倍角公式以及方程的思想，最终解得C＝90°.于是原问题等价于“在Rt△ABC中，C＝90°，给出以下四个论断：①tanA·cotB＝1；②0本题是由繁到简进行等价转化的典型试题．
答案：B
3．解析：易求A，△ABF2为锐角三角形，则∠AF2F1<45°即<2c，e2－2e－1<0,1－1，故1答案：D
4．解析：利用换元的方法，转化为二次函数在闭区间上的最值．
答案：A
5．解析：令a＝sinα，b＝cosα转化为三角函数问题．
答案：C
6．解析：(a＋2b)·(a－2b)＝0?|a|＝2|b|，＝2.
答案：D
7．解析：由题意得A＝{y|y>a2＋1或y由得，
∴a≤－或≤a≤2.
点评：一般地，我们在解题时，若正面情形较为复杂，就可以先考虑其反面，再利用其补集求得其解，这就是“补集思想”．
8．解析：转化为分组问题．用隔板法共有C＝462.
答案：462
9．解析：数形结合．
答案：f(2)10．解析：转化为函数问题．21世纪教育网[来源:21世纪教育网]答案：
11．解：∵f(0)＝3，∴d＝3.
(1)据题意，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由f′(－1)＝f′(3)＝－36知x＝1是二次函数f′(x)图象的对称轴，又f′(5)＝f′(－3)＝0，【来源：21cnj*y.co*m】
故x1＝－3，x2＝5是方程f′(x)的两根．
设f′(x)＝m(x＋3)(x－5)，
将f′(－1)＝－36代入得m＝3，
∴f′(x)＝3(x＋3)(x－5)＝3x2－6x－45，
比较系数得：a＝1，b＝－3，c＝－45.
故f(x)＝x3－3x2－45x＋3为所求．
(2)据题意，f(x)＝ax3＋bx2－6x＋3，
则f′(x)＝3ax2＋2bx－6，
又x1，x2是方程f′(x)＝0的两根，
且－10，
则，即.
则点(a，b)的可行区域如图．
∵λ＝(a－3)2＋(b＋1)2，
∴λ的几何意义为点P(a，b)与点A(3，－1)的距离的平方，观察图形易知点A到直线3a＋2b－6＝0的距离的平方d2为λ的最小值d2＝＝，21教育网
故λ的取值范围是.
故点(n，Sn)也在函数y＝f′(x)的图象上．
(2)f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
?
极小值
?
注意到|(a－1)－a|＝1<2，从而
①当a－1<－2②当a－1<0③当a≤－2或－1≤a≤0或a≥1时，f(x)既无极大值又无极小值．

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