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首先要突出说明的是选题的现实价值，每一个研究的目的都是为了指导现实生活，一定要讲清本选题的研究有什么实际作用、解决什么问题；其次再写课题的理论和学术价值。
专题： 双星与多星系统
第七章 万有引力与宇宙航天
导入新课
通过前面的学习我们知道，理想化处理中天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力因此可能会出现两颗星球围绕某一点运动或多颗星球围绕某一位置运动的情况。
双星系统
01
一、双星系统
相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
在银河系中，双星的数量非常多，估计不少于单星。研究双星，不但对于了解恒星形成和演化过程的多样性有重要的意义，而且对于了解银河系的形成和演化，也是一个不可缺少的方面。
二、双星系统的特点
两颗恒星均绕共同的中心做匀速圆周运动，轨道半径r1、r2与两恒星间距离L的关系为r1＋r2＝L；
两恒星之间万有引力分别提供了两恒星的向心力，即两颗恒星受到的向心力Fn大小相等；
两颗恒星与旋转中心时刻三点共线，即两颗恒星角速度ω相同，周期T相同。
O
1
2
双星特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即两星球间的万有引力充当向心力
②两颗星的周期及角速度都相同，即周期相等，角速度相同
T1＝T2，ω1＝ω2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：
r1＋r2＝L
双星间的距离不变，万有引力公式中距离（两星球间距）与星球做圆周运动的轨道半径的不同
O
三、双星系统的轨道半径
如图，双星的质量分别为m1、m2，它们之间的距离为L，求各自圆周运动的半径r1、r2的大小及r1、r2的比值。
对m1:
对m2:
规律：m 越大，旋转半径越小，离中心越近。
r 1 + r2 = L
r1
r2
m2
m1
L
o
四、双星系统的速度关系
对m1:
对m2:
如图，双星的质量分别为m1、m2，它们之间的距离为L，轨道半径分别为r1和r2，求它们的线速度v1、v2的比值。
r1
r2
m2
m1
L
o
五、双星系统的质量
r1
r2
B
A
L
o
对A:
对B:
①
①+②得：
②
如图，A、B为双星系统，它们之间的距离为L，轨道半径分别为r1和r2，若运动周期为T，求两星的总质量。
宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。
1
2
O
2
1
对1分析：
对2分析：
两式相加可得：
如图，双星的质量分别为m1、m2，它们之间的距离为L，轨道半径分别为r1和r2，求它们的周期T。
双星系统的周期
--------①
--------②
--------③
--------④
--------⑤
--------⑥
2
1
1
2
2
1
2



è

=
T
r
M
L
M
M
G
p
L
r
r
=
+
2
1
2
2
1
1
r
M
r
M
=
L
M
M
M
r
2
1
2
1
+
=
L
M
M
M
r
2
1
1
2
+
=
2
2
2
2
2
1
2



è

=
T
r
M
L
M
M
G
p
双 星 规 律
1．若在双星模型中，图中L、m1、m2、G为已知量，双星运动的周期如何表示？
2．若双星运动的周期为T，双星之间的距离为L，G已知，双星的总质量如何表示？
由① ⑤两式得：
由① ②两式得：
【思维深化】
三星系统
02
一、三星系统
三星系统是指有三颗恒星组成的恒星系统，一般是由一对双星和另一颗距离较远的星组成的一个双星系统。这三颗恒星的距离相对于其他恒星很远，因此三星系统受其他星体引力影响通常忽略不计。
二、一条直线上的三星系统
如图，A、B、C三颗星质量相等，行星B位于中心位置不动，另外两颗行星A、B围绕它做匀速圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，B在连线的中点处，所受的合力为零（受力平衡）。对A，B、C对A的万有引力提供A做匀速圆周运动的向心力；对C，A、B对C的万有引力提供A做匀速圆周运动的向心力;
A
B
C
两行星A、B转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
三、一条直线上的三星系统的特点
算一算：设每颗星的质量均为m，轨道半径为R,求第一种形式（直线等间距排列）下星体的线速度和周期;
【解析】对A受力分析如图：
①
②
③
A
B
C
四、正三角形排列的三星系统
A、B、C三颗行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星做匀速圆周运动的向心力所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。
A
B
C
O
A
B
C
O
三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
五、正三角形排列的三星系统的特点
【解析】设星体做圆周运动的半径为r,则相邻两星体间距离
s
F
Fn
对A受力分析如图：
算一算：假设质量均为m的正三角形排列的三颗星体的运动周期
，求该种形式下任意两星体间距s为多少？
四星系统
03
一、四星系统的第一种可能情况
宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗恒星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。
如图，其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动，它们转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。
L
r
对四星中任一星体，由牛顿第二定律有：
二、四星系统的第二种可能情况
另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于正三角形的中心0点，外围三颗星绕O点做匀速圆周运动，它们转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等，如图。
L
r
对三颗星中任一星体，由牛顿第二定律有：
典例分析
04
1．如图所示，星球A、B组成双星系统，A、B绕连线上的O点做匀速圆周运动，则A、B的（　　）
A．质量相等
B．线速度大小相等
C．向心力大小之比等于轨道半径之比
D．向心加速度大小之比等于轨道半径之比
D
2．天狼星双星系统由质量不同的主序星和伴星组成。仅考虑两星间的万有引力，两星的运动均可视为绕它们连线上某点O的匀速圆周运动，周期相同。若两星视为质点，相距为L，主序星在时间t内转过n圈，引力常量为G，则（　　）
A．伴星运动的角速度大小为
B．伴星运动的轨道半径为L
C．主序星和伴星的总质量为
D．主序星与伴星绕O点运动的线速度大小之比等于它们的质量之比
C
A．主序星和伴星周期相同，由题有周期为
则主序星和伴星周期相同，角速度也相同，有
B．两星视为质点，相距为L，两星的运动均可视为绕它们连线上某点O的匀速圆周运动，则伴星运动的轨道半径应该小于L，故B错误；
C．设主序星的质量为M，做匀速圆周运动的半径为R，伴星的质量为m,做匀速圆周运动的半径为r,则由牛顿第二定律有
D．由牛顿第二定律有
主序星与伴星绕O点运动的线速度大小之比不等于它们的质量之比，故D错误。
3．双子星中两星球的质量之比为，周围无其他星球，则（　　）
A．两星球的周期之比为1:2
B．两星球的速率之比为1:2
C．两星球的向心力之比为2:1
D．两星球的轨道半径之比为2:1
B
4．在某科学报告中指出，在距离我们大约1600光年的范围内，存在一个四星系统。假设四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用。假设某种四星系统的形式如图所示，三颗星体位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星体刚好位于三角形的中心不动。设每颗星体的质量均为m，引力常量为G，则（　　）
A．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的向心加速度大小与m无关
B．位于等边三角形三个顶点上的每颗星体做圆周运动的线速度大小为
C．若四颗星体的质量m均不变，距离L均变为2L，则周期变为原来的2倍
D．若距离L不变，四颗星体的质量m均变为2m，则角速度变为原来的2倍
A．根据题意可得每颗星轨道半径为
每颗星受到的万有引力的合力为
B．由万有引力提供向心力得
CD．由万有引力提供向心力得
故C、D错误故选B
检 测
05
1．2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组的姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运行周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，RAA．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
B．若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，则其运动周期也一定为T2
C．恒星B的质量为
D．设三星由图示位置到再次共线的时间为t，则
A．C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有
若知道C的轨道半径，可求出B的质量，不能求出C的质量，A错误；
BC．恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，角速度和周期相同，由相互间的万有引力提供向心力
若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星根据上式可知，由于A与B的质量一定不相等，则其运动周期一定不是T2，BC错误；
D．三星由图示位置到再次共线时，有
D正确
2．（2023·福建漳州·统考三模）厦门大学天文学系顾为民教授团队利用我国郭守敬望远镜积累的海量恒星光谱，发现了一个处于宁静态的中子星与红矮星组成的双星系统，质量比约为2:1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，研究成果于2022年9月22日发表在《自然·天文》期刊上。则此中子星绕O点运动的（　　）
A．角速度大于红矮星的角速度
B．轨道半径小于红矮星的轨道半径
C．向心力大小约为红矮星的2倍
D．线速度小于红矮星的线速度
BD
3．宇宙中存在一些离其他恒星较远的四颗星组成的系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。天眼在观察中发现三颗质量均为m的星球A、B、C恰构成一个边长为L的正三角形，在它们的中心O处还有一颗质量为3m的星球，如图所示。已知引力常量为G，四个星球的密度相同，每个星球的半径均远小于L。对于此系统，若忽略星球自转，则下列说法正确的是（ ）
A．A、B、C三颗星球的线速度大小均为
B．A、B、C三颗星球的加速度大小均为
C．星球A和中心O处的星球表面的重力加速度之比为
D．若O处的星球被均分到A、B、C三颗星球上，A、B、C三颗星球仍按原轨道运动，则A、B、C三颗星球运动的周期将变大
AD
4．经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的某点O点做周期相同的匀速圆周运动．已知两颗星球之间的距离为L，质量m1＝3m，m2＝2m，引力常量为G。请你算出：
（1）m2的轨道半径；
（2）双星运动的周期。

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